Свойства углов, связанных с окружностью

1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

2. Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

4. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади

1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

C = 2  R.

2. Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

S =  R².

3. Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом  ,измеренным в радианах, вычис ляется по формуле:

L = R  .

4. Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в   радиан вычисляется по формуле:

S =  R²  .

Вписанные и описанные окружности о кружность и треугольник

• центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

r =  ,

где S — площадь треугольника, а  — полупериметр;

• центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по форм уле:

R =    ,

R =  ;

здесь a, b, c — стороны треугольника,   — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

• центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;

• центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

Окружность и четырехугольники

• около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

 +   =   +   = 180°;

• в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

a + c = b + d;

• около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;

• около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;

• в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

23) Каноническое уравнение эллипса

Опубликовано: 29 июня 2009.

Рубрика: Эллипс.

п.2. Каноническое уравнение эллипса.

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение эллипса имеет вид:

                                    .                                     (4)

   Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на эллипсе удовлетворяют уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любоерешение уравнения (4) дает координаты точки, лежащей на эллипсе. Отсюда будет следовать, что уравнению (4) удовлетворяют те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на эллипсе. Отсюда и изопределения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4) является уравнением эллипса.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов равна 2а:

                                    .

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками накоординатной плоскости и найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

,  , откуда получаем:

                  .

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

                      .

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

                       .

Возводим в квадрат

                .

Раскрываем скобки и сокращаем на  :

                   ,

откуда получаем:

                 .

Используя равенство (2), получаем:

                                 .

Разделив последнее равенство на  , получаем равенство (4), ч.т.д.

2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

   Тогда из (4) следует:

                                .

Подставляем это равенство в выражение для фокальных радиусов точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

Таким образом,  . Аналогично,  .

Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

 или   и т.к.  , то отсюда следует неравенство:

                               .

Отсюда, в свою очередь, следует, что

 или   и

                                ,  .                          (5)

Из равенств (5) следует, что  , т.е. точка М(х, у) является точкой эллипса, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Определение. Канонические для эллипса оси координат называются главными осями эллипса.

Определение. Начало канонической для эллипса системы координатназывается центром эллипса.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса , есть величина постоянная.          Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость   окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью   . В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым. Пусть   и   -- фокусы эллипса. Начало  системы координат расположим на середине отрезка   . Ось   направим вдоль этого отрезка, ось    -- перпендикулярно к этому отрезку 

24) Гипербола

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением   , где   -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).         Определение 12 . 5   Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.          Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось   направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему.         Теорема 12 . 3   Пусть расстояние между фокусами   и   гиперболы равно   , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна   . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение   ( 12 .8) где  ( 12 .9)          Доказательство .     Пусть    -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).   Рис. 12 . 9 . Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то   , то есть  ,   . В силу последнего неравенства вещественное число   , определяемое формулой ( 12.9 ), существует. По условию, фокусы --   ,   . По формуле ( 10.4 ) для случая плоскости получаем  По определению гиперболы   Это уравнение запишем в виде   Обе части возведем в квадрат:  После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству  Опять обе части возведем в квадрат:  Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим  С учетом формулы ( 12.9 ) уравнение принимает вид  Разделим обе части уравнения на   и получим уравнение ( 12.8 )      Уравнение ( 12.8 ) называется каноническим уравнением гиперболы.         Предложение 12 . 3   Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат к оординатные оси   и   , а начало координат -- центр симметрии гиперболы.          Доказательство .     Проводится аналогично доказательству предложения 12.1 .      Проведем построение гиперболы, заданной уравнением ( 12.8 ). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения   как функцию   , при условии, что   ,  и построим график этой функции. Область определения -- интервал  ,   , функция монотонно растет. Производная  существует во всей области определения, кроме точки   . Следовательно, график -- гладкая кривая (без углов). Вторая производная   во всех точках интервала   отрицательна, следовательно, график -- выпуклый вверх. Проверим график на наличие асимптоты при   . Пусть асимптота имеет уравнение  . Тогда по правилам математического анализа В ыражение под знаком предела домножим и разделим на   .

Получим Итак, график функции имеет асимптоту   . Из симметрии гиперболы следует, что    -- тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки   , а именно, образует ли график   и симметричная ему относительно оси   часть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке -- гладкая кривая (есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения ( 12.8 )   через   :  Очевидно, что данная функция имеет производную в точке   ,  , и в точке   у гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции   (рис. 12.10).  Рис. 12 . 10 .График функции  Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 12.11.  Рис. 12 . 11 .Гипербола         Определение 12 . 6   Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением ( 12.8 ), с осью   называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками  и   называется мнимой осью . Числа   и   называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром . Величина   называется эксцентриситетом гиперболы.                  Замечание 12 . 3   Из равенства ( 12.9 ) следует, что   , то есть у гиперболы  . Эксцентриситет   характеризует угол между асимптотами, чем ближе   к 1, тем меньше этот угол.                  Замечание 12 . 4   В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами   и   может быть произвольным. В частности, при   мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид   , если взять   , а оси   и   направить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рис. 12.12).   Рис. 12 . 12 .Равносторонняя гипербола            Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам и похожую на кривую рисунка 12.10 .         Пример 12 . 4   Постройте гиперболу   , найдите ее фокусы и эксцентриситет. Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение     ,   . Проводим асимптоты   и строим гиперболу (рис. 12.13).  Рис. 12 . 13 .Гипербола   Из формулы ( 12.9 ) получим   . Тогда фокусы --   ,   ,   .                  Пример 12 . 5   Постройте гиперболу   . Найдите ее фокусы и эксцентриситет. Решение. Преобразуем уравнение к виду   Данное уравнение не является каноническим уравнением гиперболы, так как знаки перед   и  противоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если переобозначить переменные   ,   , то в новых переменных получим каноническое уравнение  Действительная ось этой гиперболы лежит на оси   , то есть на оси  исходной системы координат, асимптоты имеют уравнение   , то есть уравнение  в исходных координатах. Действительная полуось равна 5, мнимая -- 2. В соответствии с этими данными проводим построение (рис. 12.14).  Рис. 12 . 14 .Гипербола с уравнением   Из формулы ( 12.9 ) получим   ,   , фокусы лежат на действительной оси --   ,   , где координаты указаны в исходной системе координат.