Линейная оболочка системы векторов. Подпространство. Базис подпространства

 Пусть    – система векторов из   . Линейной оболочкой   системы векторов   называется множество всех линейных комбинаций векторов данной системы, т.е

                

Свойства линейной оболочки:  Если  , то для     и   .

Линейная оболочка обладает свойством замкнутости по отношению к линейным операциям (операции сложения и умножения на число).

Подмножество пространства  , обладающее свойством замкнутости по отношению к операциям сложения и умножения на числа,  называется линейным подпространством пространства  .

    Линейная оболочка   системы векторов   – линейное подпространство пространства  .

   Система векторов     из    называется базисом  ,если

Любой вектор   можно выразить в виде линейной комбинации базисных векторов:                                      

                          .

2.  Система векторов      линейно независима.

Лемма Коэффициенты  разложения  вектора   по базису    определены однозначно.

Вектор  , составленный из коэффициентов разложения  вектора   по базису   называется координатным вектором вектора   в базисе    .

Обозначение   . Данная запись подчеркивает, что координаты вектора зависят от базиса.

Линейные пространства

Определения

Пусть дано множество   элементов произвольной природы. Пусть для элементов этого множества определены две операции: сложения  и умножения на любое вещественное число  :  , и множество  замкнуто относительно этих операций:  . Пусть эти операции подчиняются аксиомам:

1.   для  ;

2.   для  ;

3. в   cуществует нулевой вектор   со свойством   для  ;

4. для каждого   существует обратный вектор   со свойством  ;

5.   для  ;

6.   для  ,   ;

7.   для  ,   ;

8.   для  .

Тогда такое множество   называется линейным (векторным) пространством, его элементы называются векторами, и — чтобы подчеркнуть их отличие от чисел из   — последние называютсяскалярами¹⁾. Пространство, состоящее из одного только нулевого вектора, называется тривиальным .

§

Если в аксиомах 6 - 8 допустить умножение и на комплексные скаляры, то такое линейное пространство называетсякомплексным. Для упрощения рассуждений всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только вещественные пространства.

§

Линейное пространство является группой относительно операции сложения, причем группой абелевой.

Элементарно доказывается единственность нулевого вектора, и единственность вектора, обратного вектору  :  , его привычно обозначают  .

Подмножество   линейного пространства  , само являющееся линейным пространством (т.е.   замкнуто относительно сложения векторов и умножения на произвольный скаляр), называется линейным подпространством пространства  . Тривиальными подпространствами линейного пространства   называются само   и пространство, состоящее из одного нулевого вектора  .

П

П ример. Пространство   упорядоченных троек вещественных чисел  

операциями, определяемыми равенствами:

Геометрическая интерпретация очевидна: вектор в пространстве, «привязанный» к началу координат, может быть задан в координатах своего конца  . На рисунке показано и типичное подпространство пространства  : плоскость, проходящая через начало координат. Точнее говоря, элементами   являются векторы, имеющие начало в начале координат и концы — в точках плоскости. Замкнутость такого множества относительно сложения векторов и их растяжения²⁾ очевидна.

§

Исходя из этой геометрической интерпретации, часто говорят о векторе   произвольного линейного пространства   как оточке пространства  . Иногда эту точку называют «концом вектора  ». Кроме удобства ассоциативного восприятия, этим словам не придается никакого формального смысла: понятие «конец вектора» отсутствует в аксиоматике линейного пространства.

П

Пример. Основываясь на том же примере, можно дать и иную интерпретацию векторного пространства   (заложенную, кстати, уже в самом происхождении слова «вектор»³⁾) — оно определяет набор «сдвигов» точек пространства  . Эти сдвиги — или параллельные переносы любой пространственной фигуры — выбираются параллельными плоскости  .

§

В ообще говоря, с подобными интерпретациями понятия вектора все обстоит не так просто. Попытки аппелировать к его физическому смыслу — как к объекту, имеющему величину инаправление — вызывают справедливую отповедь строгих математиков. Определение же вектора как элемента векторного пространства очень напоминает эпизод с сепульками из знаменитого фантастического рассказа Станислава Лема (см. ☞ЗДЕСЬ ). Не будем зацикливаться на формализме, а исследуем этот нечеткий объект в его частных проявлениях.

П

Пример. Естественным обобщением   служит пространство  : векторное пространство строк   или столбцо . Один из способов задания подпространства в   — задание набора ограничений.

Пример. Множество решений системы линейных однородных уравнений:

образует линейное подпространство пространства  . В самом деле, если

— решение системы, то и

— тоже решение при любом  . Если

— еще одно решение системы, то и

— тоже будет ее решением.

?

Почему множество решений системы неоднородных уравнений не образует линейного подпространства?

П

Пример. Обобщая далее, можем рассмотреть пространство «бесконечных» строк или последовательностей  , обычно являющееся объектом математического анализа — при рассмотрении последовательностей и рядов. Можно рассматривать строки (последовательности) «бесконечные в обе стороны»   — они используются в ТЕОРИИ СИГНАЛОВ.

П

Пример. Множество  -матриц с вещественными элементами с операциями сложения матриц и умножения на вещественные числа образует линейное пространство.

В пространстве квадратных матриц порядка   можно выделить два подпространства: подпространство симметричных матриц и подпространство кососимметричных матриц. Кроме того, подпространства образуют каждое из множеств: верхнетреугольных, нижнетреугольных идиагональных матриц.

П

Пример. Множество полиномов одной переменной   степени в точности равной   с коэффициентами из   (где   — любое из множеств   или  ) с обычными операциями сложения полиномов и умножения на число из   не образует линейного пространства. Почему? — Потому что оно не является замкнутым относительно сложения: сумма полиномов   и   не будет полиномом  -й степени. Но вот множество полиномов степенине выше 

линейное пространство образует; только к этому множеству надо придать еще и тождественно нулевой полином⁴⁾. Очевидными подпространствами   являются  . Кроме того, подпространствами будут множество четных и множество нечетных полиномов степени не выше  . Множество всевозможных полиномов (без ограничения на степени) тоже образует линейное пространство.

П

Пример. Обобщением предыдущего случая будет пространствополиномов нескольких переменных   степени не выше   с коэффициентами из  . Например, множество линейных полиномов

образует линейное пространство. Множество однородных полиномов(форм) степени   (с присоединением к этому множеству тождественно нулевого полинома) — также линейное пространство.

§

С точки зрения приведенного выше определения, множество строк с целочисленными компонентами

рассматриваемое относительно операций покомпонентного сложения и умножения на целочисленные скаляры, не является линейным пространством. Тем не менее, все аксиомы 1 - 8 будут выполнены если мы допустим умножение только на целочисленные скаляры. В настоящем разделе мы не будем акцентировать внимание на этом объекте, но он довольно полезен в дискретной математике, например в ☞ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ. Линейные пространства над конечными полями рассматриваются ☞ ЗДЕСЬ.