18. Свойства треугольных норм и конорм для n элементов.

Ассоциативность для трех аргументов

T(a,b,c)=T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c)

S(a,b,c)=S(a,A(b,c))=S(S(a,b),c)

Аналогично для н аргументов

T(a1,...,an)=T(a1, T(a2,...,an))=T(T(a1,...,an-1),an)

S(a1,...,an)=S(a1, S(a2,...,an))=S(S(a1,...,an-1),an)

2. ограниченное произведение и ограниченная сумма

T(a1,...,an)=max [0, sum (xn-(n-1))]

S(a1,...,an)=min [1, sum (xn)]

3. Алгебраическое произведение и алгебраическая сумма

T(a1,...,an)=П xn

S(a1,...,an)=1- sum (1-xn)

4. Минимум и максимум

T(a1,...,an)=min(a1,...,an)

S(a1,...,an)=max(a1,...,an)

19. Понятие расстояния между множествами. Аксиомы расстояния. Абсолютное и относительное расстояние Хемминга для нм.

Аксиомы расстояния:

1. d(x,y)>=0 - неотрицательность

2. d(x,y)=d(y,x) - симметричность

3. d(x,y)<d(x,z) + d (z,y) - неравенство треугольника

4. d(x,x)=0

Для любых x,y, z из Е.

Абсолютное и относительное расстояние Хемминга для НМ.

Расстояние Хемминга (линейное или абсолютное линейное расстояние) для нечетких множеств

d(A,B)= sum I=1 to n (nuA (xi) - nuB (xi))

В данной случае под модулем понимается разность между максимальным и минимальным элементом. 

nuA (xi) - nuВ (xi) = max (nuA (xi), nuB (xi)) - min (nuA (xi), nuB (xi))

Для нахождения относительной меры близости (относительное расстояние Хемминга, относительное линейное расстояние) необходимо абсолютное расстояние Хемминга разделить на мощность множества. 

Абсолютное: d(A,B)= sum I=1 to n (nuA (xi) - nuB (xi))

Относительное: d(A,B)=1/n*d(A,B)

20. Абсолютное и относительное Евклидово расстояние. Определение Евклидовых норм. Частный случай Евклидовых норм.

Абсолютное и относительное евклидово расстояние.

Абсолютное: e(A,B)=sqrt(sum i=1..n (nuA (xi) – nuB(xi))^2)

Относительное: e(A,B)=1/sqrt(n)*e(A,B)

Определение евклидовых норм. Частный случай евклидовых норм.

Абсолютная: E^2(A,B)=sum i=1..n (nuA (xi) – nuB (xi))^2

Относительная: E^2(A,B)=1/n*e^2(A,B)

Для nuA (xi), nuB (xi) = {0;1}, e^2(A,B)=d(A,B); относ евк = относ хем.

21. Обычное множества, ближайшее к нечеткому. Свойства. Линейный и квадратичный индексы нечёткости.

Обычное множества, ближайшее к нечеткому.

Пусть А - НМ. ЧМ А' включает Е с характеристической функцией:

nuA' (xi)={0, nuA(xi)<0,5; 1, nuA(xi)>0,5; 0 или 1, nuA(xi)=0,5

называется ближайшим к НМ А.

Если не оговорено иного, то принимают значения ноль, когда ф.п.=0,5.

Обычное множество, ближайшее к нечеткому находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества А (имеет наименьшую норму).

Линейный индекс нечеткости.

V(A)=2/n*d(A,A_), A_ - М ближайшее к НМ А

V(A)=2/n* sum i=1..n min( nuA (xi); nuA_(xi))

Квадратичный индекс нечеткости

N(A)=2/sqrt(n) * e(A,A_)

N(A)=2/sqrt(n) * sqrt (sum i=1..n min(nuA^2 (xi); nuA_^2 (xi)))

22. Аксиоматический подход к определению нечеткости нм.

Основная идея аксиоматического подхода заключается в формулировании некоторых аксиом степени нечеткости и определении конкретных функционалов, удовлетворяющих этим требованиям. В общем случае, показатель размытости нечеткого множества определяется в виде функционала D(A) со значениями в положительной полуоси.