2. Приближенное вычисление определенных интегралов.

Пример 1. Вычислим интеграл с точностью 10 ^{- 4}.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд, используя для этого биномиальный ряд 5 § 9.

Интегрируя этот ряд почленно, получаем:

с точностью 10 ^{- 4}.

.

2. Применение рядов к раскрытию неопределенностей.

Мы изучали ряд методов раскрытия неопределенностей, в частности, вида в разделах "Введение математического анализа" и "Дифференциальное исчисление функций одной переменной".

Рассмотрим еще один способ раскрытия неопределенностей, используя при этом разложение функций в ряд. Покажем на примерах.

Пример 2. Вычислить пределы

,

.

Решение. а) При непосредственной подстановке х = 0 в данную функцию получим неопределенность вида . Разложим cos 2x и в ряд:

Следовательно,

.

б) Разложим в ряд:

Подставим в заданный предел, получаем:

IV.Ряды Фурье.

§ 9. Тригонометрический ряд Фурье

1. Основные понятия и определения.

Определение. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если она на этом отрезке имеет не более конечного множества точек разрыва, причем все эти точки разрыва (если они существуют) либо устранимые, либо первого рода.

Определение. Кусочно-непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) называется кусочно-дифференцируемой (или кусочно-гладкой) на этом отрезке, если производная f'(x) этой функции существует и непрерывна всюду на отрезке [a,b], кроме, быть может, конечного множества точек, в которых существуют соответствующие односторонние производные:

для внутренних точек х отрезка

,

для концов а и b отрезка

.

Введем следующие обозначения:

- множество непрерывных на отрезке [a,b] функций,

- множество кусочно-непрерывных на отрезке [a,b] функций,

- множество кусочно-дифференцируемых на отрезке [a,b] функций,

- множество интегрируемых на отрезке [a,b] функций.

Между этими множествами справедливы следующие соотношения:

  ;   .

Определение. Интегрируемые на отрезке [a,b] функции называются ортогональными на этом отрезке, если

.

Определение. Система функций , интегрируемых на отрезке [a,b], называется ортогональной на этом отрезке, если каждые две функции этой системы ортогональны друг другу на отрезке [a,b], т.е.

, если k  т.

В качестве примеров ортогональных систем функций можно привести следующие:

1. Основная тригонометрическая система функций

(1)

ортогональная на отрезке [-l, l].

В частности, если l = , то получим тригонометрическую систему функций

, (2)

ортогональную на отрезке [-,].

2. Система многочленов Лежандра:

ортогональна на отрезке [-1;1].

2. Тригонометрический ряд Фурье.

Определение. Функциональный ряд вида

(3)

называется тригонометрическим рядом.

Члены этого ряда (3) - периодические функции с периодом 2l; если ряд (3) сходится на отрезке [-l;l], то он сходится и на всей числовой прямой и сумма S (х) этого ряда является периодической функцией с периодом 2l.

Теорема. Если функция f(x) разлагается в равномерно сходящийся на отрезке [-l;l] тригонометрический ряд (3):

, (4)

то коэффициенты этого ряда определяются однозначно по формулам Эйлера-Фурье:

(5)

Если функция , то числа , вычисленные по формулам (5) называются коэффициентами Фурье функции f(x) по основной тригонометрической системе функций (1), а соответствующий тригонометрический ряд (3) называется тригонометрическим рядом Фурье функции f(x).

Если (3) - тригонометрический ряд Фурье функции f(х) на отрезке [-l; l], то будем записывать

 , (6)

причем запись (4) будет означать, что сумма тригонометрического ряда Фурье функции f(х) равна значению функции f(х) с указанием множества значений х, при которых это равенство выполняется.

Возникает естественный вопрос: Какие условия необходимо наложить на функцию f(х), чтобы тригонометрический ряд Фурье этой функции сходился к ней самой?

Ответ на этот вопрос дают следующие теоремы.

Теорема 1 (о разложении). Пусть кусочно-дифференцируемая на отрезке [-l; l] функция f(х) продолжена на всю числовую прямую с периодом 2l.

Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(х) сходится в каждой точке х (-;) к значению , т.е.

. (7)

Заметим, что если в точке х функция f(х) непрерывна, то

и, следовательно, сумма тригонометрического ряда Фурье (7) функции f(х) в точке х равна значению функции в этой точке.

Теорема 2 (о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье). Если непрерывная, кусочно-дифференцируемая на отрезке [-l; l] функция f(х) имеет равные значения на концах этого отрезка:

,

то тригонометрический ряд Фурье функции f(х) сходится равномерно к самой функции на отрезке [-l; l], т.е.

, (8)

где - коэффициенты Фурье функции f(х), вычисляемые по формулам (5).