2. Перейдем теперь к произвольным функциям

Пример 5. Разложим в ряд Маклорена следующие функции:

а)

Решение.

а) Применяя биномиальный ряд 5:

,

при и, заменяя х на - х, получаем:

Итак,

.

б) Преобразуем данную функцию.

.

Применяем известный ряд 4:

.

Тогда получаем:

,

.

Следовательно,

в) Известно, что показательная функция разлагается в ряд 1.

,

поэтому

.

Следовательно,

Заметим, что функция в точке х = 0 не определена, но имеет в этой точке предел:

.

Здесь мы воспользовались замечательным пределом для показательной функции

.

Таким образом, определив функцию f(х) в точке х = 0, полагая

f(0) = 1,

получим функцию

для которой справедливо полученное разложение для функции :

.

Пример 6. Разложить в ряд Маклорена функцию

.

Решение. Используем известное разложение 6. для arctg х:

.

Применяем правило умножения рядов, в частности, возведение степенного ряда в квадрат:

где .

Тогда получаем

.

Пример 7. Разложим в степенной ряд функцию

.

Решение. В интегральном исчислении мы получили формулу:

.

Разлагаем подынтегральную функцию в ряд. Для этого достаточно в биномиальном ряде 5. положить и сделать замену х = t². Получаем:

,

или

.

Следовательно, почленно интегрируя этот ряд, имеем:

,

или

, |х| < 1.

Вопросы для самопроверки

1.В чем состоит задача разложения функции в степенной ряд?

2.Каково необходимое условие разложимости функции в степенной ряд?

3.Сформулируйте теорему о единственности разложения функции в степенной ряд.

4.Запишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши

5.Дайте определение ряда Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции.

6.Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии разложимости функции в ряд Тейлора.

§ 8. Приложения рядов

1. Применение рядов к приближенным вычислениям функций.

Степенные ряды можно использовать для вычисления значений функций с любой, наперед заданной, точностью.

Пусть дана некоторая функция

. (13)

Тогда справедливо равенство

f (x)  , (14)

где - частичная сумма ряда (13).

По этой формуле можно достигнуть любую степень точности, но для этого иногда требуется вычислять с очень большим номером п.

Покажем это на конкретных примерах.

а) Вычисление логарифмов.

В § 3 было показано, что ряд (16) сходится к числу ln 2, т.е.

. (15)

Однако, этот ряд непригоден для приближенного вычисления ln 2, так как, применяя формулу (14) и задавая точность, например, 0,001, нам необходимо взять столько слагаемых ряда (13) для получения , чтобы было справедливо неравенство

. (16)

Действительно, ряд (15) знакочередующийся и абсолютная погрешность, получаемая от вычисления ln2 по формуле (14), не превосходит абсолютной величины первого отброшенного в ряде члена, т.е. первого члена остатка ряда :

Из (16) получаем, что при этом должно быть п > 999. Поэтому, чтобы получить три верных знака после запятой, необходимо вычислить сумму 1000 слагаемых, что, естественно, неразумно.

Следовательно, необходимо построить другой ряд с той же суммой f (x), но быстрее сходящийся. Для этого используем известный ряд :

заменяем х на - х и получаем:

Вычитаем из первого ряда второй:

или

(17)

Это разложение используется для вычисления логарифмов натуральных чисел и любого положительного числа и, т.к. его можно представить в виде

Например, при и = 2, получаем:

Из (18) получаем:

Этот ряд быстрее сходится, чем ряд (15).

Так, если необходимо вычислить с точностью 0,001, то достаточно взять в этом ряде только три слагаемых.

Действительно, абсолютная погрешность равенства (14) в этом случае равна

.

Остаток ряда r₃ является положительным рядом, поэтому для оценки его подберем мажорантный ряд, сумму которого сможем вычислить.

.

Здесь - сумма геометрической прогрессии вычислена по формуле.

Итак, получаем

.

Если в ряде (17) положить то получим ряд для вычисления логарифма целых чисел:

.

Тогда при п = 2 получаем:

;

при п = 4 имеем:

,

т.к. ln 4 = 2ln 2; ln 6 = ln 2 + ln 3 и т.д.

Зная, что ln 10 = ln 2 + ln 5 и модуль перехода от натурального логарифма к десятичному

,

можно вычислять десятичные логарифмы целых чисел, т.к.

lg n = M ln n.

б) Вычисление тригонометрических функций.

Значение тригонометрических функций можно вычислять с помощью рядов

Эти ряды знакочередующиеся и сумма их не больше первого члена .

Впервые эти формулы были получены Ньютоном. Они наиболее удобны для вычисления приближенных значений sin x и cos х при |x| < 1 в силу быстрой сходимости данных рядов. Если же |х|  1, то целесообразно использовать формулы приведения и свести задачу вычисления sin x или cos х для х  . Более того, если нам известны значения этих функций до , то значения до могут быть найдены из равенств

Вычислим, например, cos 5^о с точностью до 10^{- 5}. Переведем градусы в радианы:

.

Следовательно, подставляя в ряд cos х, получаем:

,

отсюда, .

Так как

.

Итак, с точностью до 10^{- 5} получаем:

cos 5⁰ = 0,99619.

в) Вычисление значений радикалов.

Для вычисления значений радикалов (корней) очень удобна формула (биномиальный ряд 5.):

.

Вычислим с точностью до 0,0001.

Получаем: .

Поэтому имеем:

Получили знакочередующийся ряд.

Итак, с точностью до 10^{- 4} получаем:

.

г) Показательные функции.

Для вычисления значений показательной функции используется ряд:

.

Очевидно, чем меньше х, тем быстрее сходится ряд.

Вычислим с точностью 0,0001.

Получаем:

,

,

т.к.

Следовательно,

.