3. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Если интегрируемая на отрезке [-l; l] функция f(х) является четной на этом отрезке, то тригонометрический ряд Фурье этой функции имеет вид:

 , (9)

где

. (10)

Если интегрируемая на отрезке [-l; l] функция f(х) является нечетной на этом отрезке, то тригонометрический ряд Фурье этой функции имеет вид:

 , (11)

где

. (12)

Сумма рядов (9) и (10) определяется в соответствии с теоремой о разложении функции в тригонометрический ряд Фурье.

4. Тригонометрический ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [0;l].

Пусть на отрезке [0;l] задана функция . Продолжая эту функцию на промежуток [-l; 0) четным образом, полагая f(х) = -f(-х) для х  [-l; 0), получим некоторую четную функцию, совпадающую с функцией f(х) на заданном отрезке. Тригонометрический ряд Фурье этой новой функции на отрезке [0; l] - это ряд по косинусам (9), коэффициенты которого определяются по формулам (10).

Если функцию f(х) продолжить на промежуток [-l; 0) нечетным образом, полагая для х  [-l; 0) f(х) = -f(-х), то получим нечетную функцию, которая разлагается в тригонометрический ряд Фурье по синусам (11), коэффициенты которого определяются по формулам (12).

Таким образом, для интегрируемой на отрезке [0; l] функции f(х) можно записать два тригонометрических ряда Фурье: по косинусам (9) и по синусам (11), сумма которых определяется в соответствии с теоремой о разложении функции в тригонометрический ряд Фурье.

5. Условие полноты основной тригонометрической системы функций.

Теорема 3. Для всякой интегрируемой на отрезке [-l; l] вместе со своим квадратом функции f(х) формально построенный тригонометрический ряд Фурье (6) с коэффициентами Эйлера-Фурье этой функции (6) удовлетворяет равенству Ляпунова-Парсеваля

. (13)

6. Интегрирование тригонометрического ряда Фурье.

Теорема 4. Если функция f(х) кусочно-непрерывная на отрезке [-l; l], то тригонометрический ряд Фурье этой функции (6) можно почленно интегрировать по любому отрезку [,]  [-l; l] и сумма полученного при этом ряда будет равна .

7. Дифференцирование тригонометрического ряда Фурье.

Теорема 5. Если функция f(х) непрерывна, имеет непрерывные производные до т-го порядка включительно на отрезке [-l; l], причем

,

а производная (т +1)-го порядка кусочно-непрерывна на этом отрезке, то тригонометрический ряд Фурье этой функции (6) на отрезке [-l; l] сходится равномерно к самой функции:

и допускает почленное дифференцирование до т-го порядка включительно:

(14)

причем все ряды (14) сходятся абсолютно и равномерно на отрезке [-l; l].

Теорема 6. Если периодическая с периодом 2l функция непрерывна на числовой прямой вместе со своими производными до т-го порядка включительно, то тригонометрический ряд Фурье этой функции (6) сходится к самой функции на всей числовой прямой:

и допускает почленное дифференцирование до т-го порядка включительно:

причем все ряды (15) сходятся абсолютно и равномерно на всей числовой прямой.

Пример 1 . Разложить в ряд периодическую с периодом 2l функцию f(х), определенную следующим образом:

С помощью этого ряда вычислить сумму числового ряда .

Решение. График этой функции представлен на рис. 1.

Данная функция не обладает свойством четности или нечетности, поэтому её тригонометрический ряд Фурье (6) будет полным:

 , (15)

причем сумма этого ряда совпадает со значениями функции во всех точках , в которых функция имеет разрыв первого рода. В точках сумма этого ряда будет равна , т.к.

.

Вычислим коэффициенты ряда (6) по формулам (5), при этом воспользуемся свойством аддитивности определенного интеграла, разделив отрезок [l; l] на два отрезка [-l;0] и [0; l].

Имеем

Здесь и в дальнейшем очень часто будем использовать следующие соотношения:

(16)

С учетом второго соотношения (16) будем иметь

Учитывая второе соотношение (16), получим

.

Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (6), запишем тригонометрический ряд Фурье данной функции

В частности, отсюда при х = 0 получим

.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию и с его помощью вычислить сумму числового ряда

.

Решение. График данной функции представлен на рис. 2.

Данная функция кусочно-дифференцируемая, периодическая с периодом , нечетная, имеет точки разрыва первого рода , , причем в каждой такой точке выполняется условие

.

Отсюда следует, что её тригонометрический ряд Фурье содержит только синусы и сходится равномерно к самой функции на всей числовой прямой.

Учитывая, что , будем иметь

,

причем

Учитывая эти значения коэффициентов, запишем ряд Фурье данной функции:

.

Полагая в этом равенстве и учитывая, что , получим

,

отсюда следует

.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2, определенную равенством

при .

Решение. График данной функции представлен на рис. 3.

Данная функция кусочно-дифференцируемая на отрезке [-,], непрерывная на всей числовой прямой, четная, периодическая с периодом 2l = 2, поэтому при х(-:+) она представима своим тригонометрическим рядом Фурье по косинусам:

,

причем ряд Фурье сходится на всей числовой прямой равномерно к самой функции.

Для вычисления коэффициентов воспользуемся формулами (10), полагая в них l = :

;

=

=

Учитывая значения этих коэффициентов, запишем ряд Фурье этой функции

.

Заметим, что если в этом разложении положить , то получим

,

т.е. получит тот же числовой ряд, что и в примере 1.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2 функцию f(х), определенную следующим образом:

.

Найти суммы следующих числовых рядов:

Решение. На рис. 4 представлен график данной функции.

Данная функция кусочно-дифференцируемая на отрезке [-1;1], непрерывная на всей числовой прямой, четная, периодическая с периодом 2l = 2, поэтому при х(-:+) она может быть представлена своим тригонометрическим рядом Фурье по косинусам:

.

Здесь мы воспользовались разложением (9) при l = 1. Вычислим значения коэффициентов по формулам (10).

.

=

=

= .

При найденных значениях коэффициентов получаем тригонометрический ряд Фурье для данной функции:

.

Чтобы найти сумму числового ряда а) , положим х = 0, тогда получим

,

отсюда следует

.

Чтобы найти сумму числового ряда б) равенством Ляпунова-Парсеваля (13), которое для данной функции запишется в виде:

. (17)

Здесь для , т.к. функция f(х) - четная.

Найдем , поэтому равенство (17) запишется в виде

,

откуда следует, что .

Пример 5. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию , заданную на отрезке [0;1].

Решение. Т.к. функция задана на отрезке [0;1], то l = 1. Продолжим эту функцию периодически с периодом 2l = 2 нечетным образом. График этого продолжения g(x) представлен на рис. 5.

Функция g(x) кусочно-дифференцируемая на отрезке [-1;1], имеет точки разрыва на числовой прямой , поэтому данная функция может быть представлена своим рядом Фурье по синусам только на промежутке [0;1], а в точке х = 1 сумма этого ряда будет равна значению .

.

Вычислим коэффициенты этого разложения.

Отсюда следует, что

поэтому искомый тригонометрический ряд Фурье запишется в виде:

Рассмотрим два примера, связанных с задачей о колебаниях закрепленной на концах х = 0, х = l струны.

Пример 6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, заданную на отрезке [0; l]:

и найти суммы следующих числовых рядов

.

Решение. Продолжим данную функцию нечетным образом, периодически с периодом 2l на всю числовую ось. График этого продолжения g(х) представлен на рис.6. Функция g(х) непрерывна на всей числовой прямой и кусочно-дифференцируема на отрезке [-l; l], поэтому функция f(x) на отрезке [0; l] представима своим тригонометрическим рядом Фурье по синусам

.

Вычислим коэффициенты этого ряда

=

Подставляя значения коэффициентов в тригонометрический ряд Фурье данной функции, получим

.

В частности, если в этом равенстве положить , то будем иметь

,

откуда следует, что

.

Запишем равенство Ляпунова-Парсеваля для данной функции:

.

Так как

,

то равенство Ляпунова-Парсеваля будет иметь вид

,

откуда следует

.

Пример 7. Разложить в ряд Фурье функцию

периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3.

Решение. График данной функции, периодически продолженной на всю числовую ось с периодом 3, представлен на рис. 7.

Эта функция кусочно-дифференциальная, непрерывная на всей числовой прямой, поэтому для периодического продолжения g(х) с периодом 2l = 3 справедливо разложение ( ,g(х) - четная функция):

.

Вычислим коэффициенты этого разложения:

;

=

.

Подставляя значения этих коэффициентов в тригонометрический ряд Фурье функции и учитывая, что = для , получим

.

Пример 8. На отрезке [0;1] задана функция . Найти ряды Фурье этой функции а) по синусам. Какова сумма этого ряда.

Решение. На рис.8 представлено нечетное периодическое с периодом 2l = 2 продолжение на всю числовую ось функции f(х).

Продолжение - кусочно-дифференцируемая функция, имеет разрывы первого рода в точках причем

,

поэтому

 -

- ряд Фурье по синусам имеет сумму, равную е^х для , а в точках х = 0 и х = 1 эта сумма равна 0.

Вычислим коэффициенты этого ряда

.

Имеем

Отсюда следует, что

;

,

поэтому

,

 ,

причем

Пример 9. Разложить в ряд Фурье функцию, получающуюся периодическим продолжением с периодом 2 из функции

.

Решение. При указанном продолжении (см. рис. 9) данная функция отличается от нечетной только значением в точке х = 0, поэтому, учитывая, что 2l = 2, будем иметь

.

,

.

В частности, если в этом разложении положить , то получим числовой ряд, встречавшийся в примере 2.