Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Как определяются частичные суммы числового ряда?

3. Что означает сходимость или расходимость числового ряда?

4. Исследуйте на сходимость или расходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии в зависимости от знаменателя q этой прогрессии.

5. Что называется остатком числового ряда? От чего он зависит?

6. Сформулируйте теоремы о необходимых условиях сходимости числовых рядов. Какие из этих условий не являются достаточными для сходимости числовых рядов? Приведите соответствующие примеры.

7. Какой ряд называется гармоническим?

§ 2. Положительные ряды

Рассмотрим ряд (2), члены которого неотрицательные числа и назовем его положительным.

Частичные суммы положительного ряда образуют возрастающую последовательность

.

Следовательно, положительный ряд (2) всегда имеет сумму, причем конечную, если ряд сходится и бесконечную, если ряд расходится.

Используя теорему о пределе монотонной переменной, получаем основное утверждение, а именно:

Теорема 1. (Критерий сходимости положительных рядов). Для сходимости положительного ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

Действительно, так как последовательность частичных сумм положительного ряда монотонно возрастает, то для её сходимости необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

На практике этим признаком пользоваться очень сложно. Но используя эту теорему легко доказать ряд достаточных признаков сходимости положительных рядов. Сформулируем их.

Теорема 2. (Признак сравнения). Пусть даны два положительных ряда и и выполняются неравенства а_п  b_n хотя бы начиная с некоторого номера N, т.е. для всех п > N. Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекающая из предыдущей.

Теорема 3. (Предельный признак сравнения). Пусть даны два положительных ряда и . Если существует конечный, отличный от нуля предел , то оба ряда либо одновременно сходятся, либо расходятся.

Рассмотрим примеры установления сходимости или расходимости рядов с использованием признаков сравнения.

Пример 5. .

Решение. Рассмотрим ряд . Он является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с , поэтому сходится. Для любого п = 1,2, ... справедливы неравенства

.

Следовательно, по теореме 2 данный ряд сходится.

Пример 6. .

Решение. Известно, что ряд сходится, при этом

По теореме 2 следует сходимость заданного ряда.

Пример 7. .

Решение. Ряд сходится. Применяя теорему 3, получим:

,

следовательно, данный ряд сходится.

Замечание 1. При исследовании рядов на сходимость по теоремам сравнения, как правило, для сравнения используют либо бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, либо обобщенный гармонический ряд , который сходится при  > 1 и расходится при   1 (его иногда называют рядом Дирихле).

Замечание 2. Если общий член ряда является дробно-рациональной функцией, т.е. вида , где Р_к(п) и Q_т(п) - многочлены степени к и т соответственно, то для сравнения рекомендуем использовать ряд , где  = т - к (см. пример 7), т.е. от степени знаменателя вычитаем степень числителя.

Теорема 4. (Признак Даламбера). Пусть дан ряд , а_п >0 и существует предел . Тогда при D < 1 ряд сходится; при D > 1 ряд расходится.

Замечание 3. При D = 1 признак Даламбера не дает ответа, т.к. в этом случае существуют примеры как сходящихся, так и расходящихся рядов.

Например, гармонический ряд расходится, и

.

С другой стороны, ряд сходится и

.

В этих случаях необходимо дополнительное исследование ряда, например, с помощью признаков сравнения.

Пример 8. Исследуем на сходимость ряд .

Решение. Находим: , ,

Так как , то ряд расходится.

Пример 9. .

Решение. ,

.

Ряд расходится.

Пример 10. .

Решение. ,

.

Так как , то ряд сходится.

Здесь .

Теорема 5 (Радикальный признак Коши). Пусть дан ряд и существует предел

.

Тогда при С < 1 ряд сходится; при С > 1 ряд расходится.

Следует заметить, что при С = 1 как и в предыдущем случае необходимо применить другой признак, например, сравнения.

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Находим:

.

Так как , то данный ряд сходится.

Пример 12. .

Решение.

.

Следовательно, ряд сходится.

Пример 13. .

Решение.

.

Следовательно, данный ряд расходится.

Теорема 6 (Интегральный признак Коши). Пусть дан положительный ряд . Если существует невозрастающая непрерывная функция f (х), заданная на промежутке [1; +), такая, что f(n) = а_п, то для сходимости ряда необходимо и достаточно существование несобственного интеграла .

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Функция при х  2 положительна, непрерывна и монотонно убывает. Поэтому можно воспользоваться интегральным признаком Коши. Вычислим интеграл

.

Так как несобственный интеграл существует, то по теореме 6 данный ряд сходится.