2. Функциональные ряды

§ 4. Функциональные ряды: область сходимости и равномерная сходимость

Определение. Пусть задана последовательность функций , определенных на одном и том же множестве Х  R. Соединив члены этой последовательности знаком плюс, получим символ

, (1)

или сокращенно , который называется функциональным рядом.

Определение 2. Функциональный ряд называется сходящимся в точке х_о, если сходится числовой ряд

. (2)

В этом случае точка х_о называется точкой сходимости функционального ряда (1). Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда.

Пусть - п-ая частичная сумма функционального ряда (1), тогда если Е - область сходимости этого ряда, то для хЕ существует предел

, (3)

который называется суммой ряда (1).

Определение 3. Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся в точке х_о, если сходится числовой ряд, составленный из модулей членов ряда (2):

. (4)

Отсюда следует, что если функциональный ряд (1) в точке х_о сходится абсолютно, то в этой точке он сходится.

Для хХ функциональный ряд превращается в числовой ряд, поэтому для определения области абсолютной сходимости функциональных рядов можно применить известные признаки абсолютной сходимости числовых рядов.

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Члены этого ряда определены на всей числовой прямой R. Для хR имеем

.

Т.к. ряд - это ряд Дирихле с показателем  = 2, то этот ряд сходится, он является мажорантным рядом для ряда на всей числовой прямой. По признаку сравнения положительных рядов данный ряд сходится абсолютно на R.

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Областью определения этого ряда является интервал (0;). Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость, используя радикальный признак Коши абсолютной сходимости рядов. Общий член этого ряда . Имеем .

Ряд сходится абсолютно, если

.

Ряд сходится, если или lnx >1  x < или х>е. Таким образом, данный ряд расходится при . Осталось исследовать на сходимость данный ряд в точках и х = е, в которых предел K = 1.

При имеем lnx = -1 данный ряд превращается в расходящийся ряд .

При х = е следует, что lnx = 1 и снова из данного ряда получаем уже другой расходящийся ряд .

Таким образом, данный ряд сходится абсолютно на интервале

.

Пример 3. Исследовать на сходимость функциональный ряд

.

Решение. Областью определения данного ряда является вся числовая прямая R, кроме единственной точки х = 0.

Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость, применяя признак Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов. Общий член ряда , поэтому . Найдем предел D:

.

Данный ряд сходится абсолютно, если условия D < 1, т.е.

;

этот ряд расходится, если .

Осталось исследовать на сходимость ряд в двух "подозрительных точках": х =  1. Как и в предыдущем примере доказывается, что в этих точках получаются расходящиеся ряды, соответственно

1+1+...+1+1...;

-1-1-...-1-1... .

Таким образом, данный ряд сходится абсолютно на множестве (-;-1)  (1;+ ), расходится на множестве [-1;0) (0;1], а в точке х = 0 этот ряд не определен.

Пример 4. Найти область сходимости и область абсолютной сходимости ряда .

Решение. Областью определения данного ряда является множество . Общий член этого ряда , а . Применим признак Даламбера абсолютной сходимости рядов. Находим

.

Отсюда следует, что данный ряд сходится абсолютно при тех х  Х, для которых D < 1, т.е. . Решая это неравенство, находим х > 0. Если D = 1, то х = 0. D > 1 при х  (-;-1)  (-1;0), при этих значениях х ряд расходится.

При х = 0 получим ряд Лейбница , который сходится, но не абсолютно.

Таким образом, данный ряд сходится на промежутке [0;+ ), причем абсолютно только на интервале (0;+ ).

Пример 5. Найти область сходимости функционального ряда и найти его сумму.

Решение. Данный ряд составлен из членов геометрической прогрессии, первый член которой , а знаменатель .

При х  0 и данный ряд сходится, причем его суммой будет .

при х = 0 все члены данного ряда обращаются в нуль и сумма ряда S(0)= 0.

Таким образом, данный ряд сходится на всей числовой прямой и его сумма

Пример 8. Найти область сходимости функционального ряда .

Решение. Общий член данного ряда . Применим к этому ряду радиальный признак Коши абсолютной сходимости рядов.

.

Отсюда следует, что данный ряд сходится абсолютно при х  R, где .

В точках этот ряд обращается в расходящийся числовой ряд 1+1+..+1+..., а в точках получается также расходящийся ряд -1+1-1+...+(-1)+... .

Таким образом, данный ряд сходится абсолютно при всех значениях .

Отсюда следует, что характер сходимости функционального ряда (1) на множестве Е определяется характером сходимости функциональной последовательности (S_n(х)) частичных сумм этого ряда на множестве Е.

Определение 4. Функциональный ряд (1) называется поточечно сходящимся на множестве Е, если последовательность (S_n(х)) частичных сумм этого ряда на множестве Е сходится поточечно:

,

где - п-ый остаток ряда (1).

Определение 5. Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся на множестве Е, если последовательность (S_n(х)) частичных сумм этого ряда на множестве Е сходится равномерно:

или .

Для равномерной сходимости на множестве Е функционального ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы

.

Пример 9. Доказать, что функциональный ряд на множестве Е = [0;+) сходится равномерно.

Доказательство. Для данного ряда его п-ый остаток

при является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим всем условиям теоремы Лейбница, поэтому

.

Отсюда следует, что для

,

поэтому

.

Пример 10. Доказать, что функциональный ряд

на множестве Е = [0,5;+) сходится равномерно.

Доказательство. Общий член данного ряда

можно разложить на простейшие рациональные дроби:

,

поэтому

Отсюда следует, что для х  Е будем иметь

,

.

Для х  Е выполняется условие х  0,5, поэтому 1+(п+1)х  1+0,5(п+1), . Отсюда следует, что для х  Е,  > 0, .

Это значит, что данный функциональный ряд на множестве Е сходится равномерно.

Исследование функциональных рядов на равномерную сходимость с использованием определения 5 в некоторых примерах является технически трудной задачей. В таких случаях бывает полезным использование следующего признака Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов.

Определение. Положительный числовой ряд

(5)

называется мажорантным для функционального ряда (1) на множестве Е, если, начиная с некоторого номера п_о для х  Е выполняется условие

.

Теорема Вейерштрасса. Если для функционального ряда (1) на множестве Е существует сходящийся мажорантный ряд (5), то этот функциональный ряд на множестве Е сходится абсолютно и равномерно.

Замечание. Признак Вейерштрасса - это достаточное, но не необходимое условие равномерной сходимости функциональных рядов!

Пример 11. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать абсолютную и равномерную сходимость функционального ряда

на всей числовой прямой.

Доказательство. Для х  R, n  N справедливо неравенство

,

поэтому для данного функционального ряда на Е существует мажорантный ряд , который сходится (это ряд Дирихле с показателем  = 2>1). Следовательно, по признаку Вейерштрасса данный функциональный ряд на числовой прямой сходится абсолютно и равномерно.

Пример 12. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать, что функциональный ряд на множестве Е = [0;+) сходится абсолютно и равномерно.

Доказательство. Общий член данного ряда для х  Е удовлетворяет условию , причем он обращается в нуль только в точке х=0.

Имеем .

Отсюда следует, что при х₁ = 0 и , причем точка х₁ - граничная точка, а - внутренняя точка множества Е,

для и для .

Это значит, что max . На множестве функция непрерывна и имеет только одну критическую точку , в которой имеет максимум, следовательно, значение функции в точке является наибольшим значением функции на множестве Е:

,

т.е. для х  Е выполняется условие

.

Это значит, что на множестве Е данный функциональный ряд имеет сходящийся мажорантный ряд

,

поэтому данный функциональный ряд на множестве Е сходится абсолютно и равномерно.

Пример 13. Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд на числовой прямой.

Решение. Прежде всего, попытаемся для данного ряда в указанном промежутке найти мажорантный ряд. Для этого найдем

,

где - общий член данного ряда. Функция на числовой прямой является нечетной функцией, поэтому достаточно исследовать эту функцию на промежутке [0;+).

Для х  [0;+) общий член ряда , причем . Отсюда следует, что в точках , , причем

для , для .

Это значит, что . Поскольку функция непрерывна на промежутке [0;+), имеет на этом промежутке только одну критическую точку , в которой достигает максимального значения, то это значение будет наибольшим значением функции на промежутке [0;+):

.

В силу предварительного замечания о нечетности функции на числовой прямой следует, что

.

Следовательно, данный функциональный ряд на числовой прямой имеет сходящийся мажорантный ряд . По теореме Вейерштрасса данный функциональный ряд на числовой прямой сходится абсолютно и равномерно.