Вопросы для самопроверки
1. Какой функциональный ряд называется степенным?
2. Приведите примеры степенных рядов, сходящихся:
а) только в одной точке;
б) на всей числовой прямой.
3. Дайте определение интервала и радиуса сходимости степенного ряда.
4. Как определить радиус сходимости степенного ряда?
§ 6. Основные свойства степенных рядов
Так как степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов, то все свойства, доказанные для функциональных рядов, справедливы, естественно, и для степенных рядов. Однако их можно сформулировать иначе.
Для
степенного ряда
справедливы следующие свойства.
1о. Степенной ряд сходится равномерно на каждом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.
Например, если радиус сходимости данного ряда равен R, то он равномерно сходится на промежутке [-r, r], где 0< r < R.
2о. Сумма степенного ряда с радиусом сходимости R 0
(5)
непрерывна в каждой внутренней точке интервала сходимости, т.е. на промежутке [-r, r], где 0< r < R.
3о. Степенной ряд можно почленно дифференцировать во внутренних точках интервала сходимости.
Следовательно, в любой точке интервала (-R, R) сумма S(x) дифференцируема и выполняется равенство
,
(6)
при этом радиус сходимости этого ряда равен R, т.е. не изменился.
Следствие. Сумма степенного ряда (5) имеет производные всех порядков, причем
.
Радиус сходимости этого ряда совпадает с радиусом сходимости ряда (5).
4о. Степенной ряд (5) можно почленно интегрировать в интервале сходимости. В частности, имеет место равенство
,
(7)
причем радиусы сходимости рядов (5) и (7) совпадают.
Над степенными рядами можно производить арифметические операции.
Пусть даны два сходящихся степенных ряда
(8)
с радиусами сходимости R1 > 0 и R2 > 0, соответственно.
Тогда справедливы соотношения:
,
.
Пример 1. Найти сумму ряда
.
Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда, используя признак сходимости Даламбера. Формулы (4), неприменимы для данного ряда, т.к. коэффициенты с четными номерами равны нулю.
D
=
=
.
Ряд
сходится, если D
< 1, т.е. если х2
< 1, или |x|
< 1, т.е. R
= 1. При
имеем знакочередующийся сходящийся
ряд. Следовательно, областью сходимости
данного ряда является промежуток [-1;1].
Используя свойство 3о, продифференцируем данный ряд, применяя равенство (6). Тогда получаем:
.
Получили сумму бесконечной геометрической прогрессии с q = - х2. Если |q| = х2 < 1, то сумма этой прогрессии равна по формуле (4) § 1:
.
Применяя свойство 4о по формуле (7), получаем:
или
.
(9)
Таким образом, суммой заданного ряда является функция arctgx и R = 1.
Следует заметить, что при х = 1 получаем числовой ряд:
.
Справа
имеем знакочередующийся ряд, который
сходится по теореме Лейбница. Более
того, было доказано, что его сумма равна
,
т.е. справедливо последнее равенство,
или
,
отсюда
=
.
(10)
Используя равенство (10) для приближенного вычисления числа , получаем оценку остатка ряда:
.
Пример 2. Вычислим сумму ряда
.
Решение. Перепишем ряд так:
.
Вычислим
сумму ряда
=
1+2х
+3х2
+...+
+... .
Проинтегрируем этот ряд почленно и получим:
,
т.е. сумму геометрической прогрессии с |q| = |х| < 1.
Тогда
.
.
Следовательно,
.
Тогда сумма заданного ряда равна
.