Тема 4: Алгебра логики высказываний

Ключевые понятия темы: Логические связки, правила истинности логических связок. Алгоритм построения таблицы истинности. Нормальные формы. Тождественные формулы. Логические следствия. Значение в менеджменте.

Сложное высказывание образуется из простых двумя способами:

1. путём квантификации высказываний;

2. объединением простых элементарных с помощью логических связок.

Первый способ представляет собой метод получения общих суждений путем использования логических кванторов характеризующих объем суждения.

Рассмотрим понятия функции высказываний. Функция высказываний оценивается с точки зрения их истинного значения, поэтому такая функция называется истинной. Она образуется по аналогии математической функции. Но аргументами в ней являются не числа, а логические объекты – высказывания, которые приобретают значения 0 или 1. Поэтому данную функцию ещё называют пропозициональной.

Таким образом, один из способов образования высказывания состоит в том, что сначала мы составляем пропозициональную функцию, где фигурирует соответствующие переменные, а затем связываем их кванторами всеобщности и существования.

Второй способ состоит в объединении двух или более простых высказываний с помощью логических связок. Их всего пять.

Основные логические связки:

1. Отрицание, буквально означает противоположное тому, что утверждалось, читается, как (не) А, обозначается как «А». Характер носит отрицающий.

2. Конъюнкция (логическое умножение), обозначается знаком «^». В речи и на письме носит характер союза «и». Характер носит соединительный.

3. Дизъюнкция (логическое сложение), встречается двух видов строгая или не строгая. В речи и на письме носит характер союза «или», обозначается знаком «V».Характер носит разделительный.

4. Импликация, обозначается как a  b, характер носит условный, отражает причинно-следственную связь, в речи и на письме выражается речевым клише «если, то» и прочими другими, имеющими характер причинно-следственной зависимости.

5. Эквиваленция (эквивалентность), обозначается как a  b или

a  b, характер носит тождественный, равносильный, в речи и на письме выражается речевым клише «тогда и только тогда» и прочими другими, имеющими характер равносильности и неизменности.

Исходя из значения истинности простых высказываний, можно находить значение истинности любого сложного высказывания.

Правила истинности логических связок:

Конъюнкция истинна тогда, когда оба или все ее члена истинны.

Дизъюнкция истина тогда, когда хотя бы один ее член истинен.

Импликация истина всегда, кроме тех случаев, когда следствие является ложью, а причина истинна.

Эквиваленция истинна в том случае, когда либо оба ее члена одновременно истинны, либо оба одновременно ложны.

Две формулы алгебры называют равносильными, если их таблицы истинности совпадают.

1. Переместительный закон для дизъюнкции x V y  y V x

2. Переместительный закон для конъюнкции xy  yx

3. сочетательный закон дизъюнкции (xVy)Vz  xV(yVz)

4. сочетательный закон конъюнкции (xVz)  xz V yz

5. распределенный закон дизъюнкции xyVz  (xVz)(yVz)

6. распределенный закон конъюнкции (xVy)z  xz V yz

7. закон двойного отрицания x  x

8. закон равносильности де Моргана  (xVy ) xy; (xy)  x V y

9. исключение импликации x  y   xVy

10. исключение эквивалентности x  y  (xVy)(xVy)

Формула алгебры высказываний задана в дизъюктивно-конъюктивной нормальной форме (ДНФ), если она представлена в виде дизъюнкции конъюнкций элементарных высказываний и их отрицаний.

Формула алгебры высказываний задана в КНФ, если она представлена в виде конъюнкции дизъюнкций переменных и их отрицания. На основе равносильных преобразований любая формула приводима к ДНФ и КНФ с помощью следующего алгоритма:

1. избавляются от связок импликации, эквивалентности

2. приводят отрицания к независимым переменным

3. раскрывают скобки по распределенному закону для конъюнкции для приведения к ДНФ или для дизъюнкции для приведения к КНФ

4. при наличии двойных отрицаний каждый раз от них избавляются

Одна и та же формула алгебры имеет множество различных ДНФ и КНФ.