Равносильные формулы алгебры логики

Определение . Две формулы алгебры логики А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в них высказываний (А=В).

Важнейшие равносильности можно разбить на три группы:

Основные равносильности.

1. xxx(x x… xx) - законы

2. x v xx(x v x v… v x x) идемпотентности.

3. x1 x.

4. x v11.

5. x00.

6. x v0x.

7. x x0 – закон противоречия.

8. x v x1 – закон исключенного третьего.

9. ˥˥x  x – закон снятия двойного отрицания.

10. x (y v x)  x - законы

11. x v (yx )  x поглощения

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

1. xy (x y )(ух).

2. x y x v y.

3. ˥(x y) x v y. – законы

4. x v y x y. де Моргана

5. x y ˥(x v y ).

6. x v y ˥(x y ).

2. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

1. x y y  x.

2. x v y y v x.

3. x( y  z) ( x y)  z.

4. x v( y v z) ( x v y) v z.

5. x( y v z) ( x y) v (x  z).

6. x v( y z) ( x v y) ( x v z).

Используя равносильности групп I, II, III , можно часть формулы алгебры логики или всю формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования называются равносильными. Равносильные преобразования формул применяются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.

Пример 5. Доказать равносильность ˥( xy ) x  ˥y

Решение. Для доказательства равносильности подвергнем ее левую часть равносильным преобразованиям:

˥( xy )  ˥(˥x v y)  ˥˥x  ˥y  x  ˥y.

Пример 6. Упростить формулу А(˥(x v y) ˥x v y)y.

Решение. Подвергнем формулу А равносильным преобразованиям:

А  (˥(x v y) ˥x v y)  y  (˥˥(x v y) v ˥x v y)  y

 (x v y v ˥x v y)  y ((x v ˥x) v(y v y))  y

(1 v y) y1 y y.

Пример 7. Доказать, что формула А x(y x) тождественно истинная.

Решение. Подвергнем формулу А равносильным преобразованиям:

А x( y x)  ˥x v(˥y v x)  ˥x v(x v ˥y) (˥x v x) v ˥y1 v ˥y 1.

Задание 3. Доказать равносильность.

Вариант 1.

(x v y) ( x v y)  x;

Вариант 2.

x v(x  y)  x v y;

Вариант 3.

x y x  y;

Вариант 4.

xy v xy v xy x y¹;

Вариант 5.

x yyx;

Вариант 6.

x( y z)  x  y z.

Задание 4.

а) Выберите, согласно варианту, проблему:

Вариант 1. Диагностика падения уровня качества продукции производственного предприятия.

Вариант 2. Диагностика повышения конкурентоспособности предприятия (любой отрасли).

Вариант 3. Диагностика повышения производительности труда персонала.

Вариант 4.Диагностика повышения рентабельности предприятия.

Вариант 5.Диагностика снижения себестоимости продукции.

Вариант 6. Диагностика стимулирования успешной деятельности предприятия.

б) Произведите описательную характеристику предприятия (реального или вымышленного) в разрезе предложенной проблемы, т.е. требуется ввести данные для анализа вышеуказанной проблемы.

в) Используя метод «Диаграммы Иссикавы» проанализируйте предложенную проблему,устанавливая импликативные связи между причинами и следствиями проблемы. Данная диаграмма должна включать четыре «ММММ» по смысловой нагрузке, где 1-М-(men-люди); 2-М-(machine-оборудование);3-М-(method-метод);4-М-(material-сырьё), т.о. требуется разбить проблему на 4

( или более) кластера.

г) Данная диаграмма представляет собой графическое отображение проблемы в виде так называемой «рыбьей кости», т.е. должна иметь подобный вид:

Пример 8.

оборудование

На заключительном этапе следует изобразить полученную диаграмму по методу Иссикавы.

Задание 5.

Пример 9.

Существует проблема повышения конкурентно способности предприятия, за счет 4-х решений:

Д1 – внедрение технических за счет НИОКР;

Д2 – возможности в области маркетинга;

Д3 – прогнозирование стратегических направлений;

Д4 – совершенствование существующих методов управления

А1 – финансы;

А2 – качество;

А3 – значимость товара.

А0

А1

А2

А3

3

2

1

Д4

Д3

Д2

Д1

А1	Д1	Д2	Д3	Д4	S	r
Д1	1	0	1	0	2	3
Д2	2	1	2	0	5	2
Д3	1	0	1	0	2	3
Д4	2	2	2	1	7	1

А2	Д1	Д2	Д3	Д4	S	r
Д1	1	0	2	2	5	2
Д2	2	1	1	2	6	1
Д3	0	1	1	2	4	3
Д4	0	0	0	1	1	4

А3	Д1	Д2	Д3	Д4	S	r
Д1	1	1	0	2	4	3
Д2	1	1	2	2	6	1
Д3	2	0	1	2	5	2
Д4	0	0	0	1	1	4

	А1	А2	А3
Д1	23	32	13
Д2	22	31	11
Д3	23	33	12
Д4	21	34	14

Вывод: оптимальным решением данной проблемы является повышение возможности в области маркетинга, главным критерием является значимость товара.

Вариант 1.

Существует проблема повышения конкурентно способности предприятия, за счет 4-х решений:

1 – внедрение технических за счет НИОКР;

2 – возможности в области маркетинга;

3 – прогнозирование стратегических направлений;

4 – совершенствование существующих методов управления

Главными критериями являются:

1 – финансы;

2 – значимость товара;

3 – эффективность.

Выберите наиболее оптимальное решение.

Вариант 2.

Для предприятия необходимо приобрести легковой автомобиль:

Главенствующими критериями будут:

– качество;

– финансы;

– дизайн.

Существуют варианты покупки:

1 – отечественный автомобиль конвейерной сборки;

2 – отечественный автомобиль сделанный на заказ;

3 – импортный автомобиль конвейерной сборки.

Какое будет оптимальное решение?

Вариант 3.

Существует проблема выбора варианта проведения отпуска:

Основными критериями предполагаются:

1 – минимизировать расходы;

2 – максимизировать качество ожидаемого отдыха;

3 – получить ожидаемые эмоции.

Существуют несколько вариантов:

1) Отдых «дикарем»;

2) Обратиться в турфирму;

3) Отдыхать по профсоюзной путевке.

Найдите оптимальное решение данной проблемы с использованием метода логической оптимизации, учитывая, что имеется ограничение по финансам.

Вариант 4.

Перед менеджером фирмы стоит проблема выбора рекламы по телевидению.

Доминирующими критериями будут:

1 – стоимость рекламы;

2 – повышение продаж рекламируемого товара;

3 – время продвижения рекламируемого товара.

Существуют варианты:

1 – бегущая строка на центральном канале каждое утро;

2 – бегущая строка на центральном канале днем;

3 – бегущая строка на центральном канале вечером.

Выберете наилучший вариант решения данной проблемы, учитывая, что фактор времени продвижения рекламируемого товара должен быть минимизирован.

Вариант 5, 6.

Решите проблему (по вашему выбору) методом логической оптимизации.

Задание 6.

Пример 10.

Выбор сотрудника на должность менеджера

1. Петров—молодой человек с высшим экономическим образованием, хорошо знает иностранный язык, но нет опыта работы.

2. Иванова—женщина с высшим техническим образованием, отлично знает иностранный язык, опыт работы менеджером небольшой.

3. Сидоров—мужчина со средним специальным образованием, хорошо знает иностранный язык, с большим опытом работы.

Критерии:

А1—образование

А2—знание иностранного языка

А3—опыт работы

РЕШЕНИЕ: