Мощность в цепях переменного тока.

i=I_msint u=U_msin(t+)

P=iu=I_m sint*U_msin(t+)=I_mU_m/2*cos-(I_mU_m)/2*cos(2t+)

P=I*U cos - активная мощность Вт

cos - коэффициент мощности характеризует как полно используется установка.

Для активного сопротивления P=I*U, cos=1

Реактивная и полная мощности.

Q=U*Isin  -реактивная мощность вар - вольтамперреактивный

S=P²+Q²  S=U*I - полная мощность ва - вольтампер

Рисунок:

S Q

P

Повышение коэффициента мощности.

Для повышения коэффициента мощности к установкам параллельно подключают батарею конденсаторов. Это способ повышения мощности.

Докажем, что подключение параллельных конденсаторов приводит к увеличению коэффициента мощности и выведем формулу для нахождения величины емкости, которая необходима для повышения мощности с cos ₁ до коэффициента cos ₂.

Рисунок:

I₂

C до подключения С:

U Z_n I₁ ток I₁, cos₁

I₂ после подключения:

ток I₂, cos₂

Доказать: cos₁cos₂

₂₁ I_c U

cos₂cos₁ I_p2 I₂

I₂I₁

I_C=I_P1-I_P2 I_p1 I₁

I_C=U* *C

I_P1=I_a tg₁ I_P2= I_a tg₂

P=IU cos

Uc=P/U(tg₁- tg₂)

C=P/(U²)*(tg₁- tg₂)

Расчет смешанных цепей методом проводимости.

Дано: U₁, R₁, R₂, R₃, x₁,x₂,x₃

Определить: I₁,I₂,I₃

Решение:

Метод проводимости.

R/Z=q/y g=R*y/Z

y=1/z q=1/R b=1/x

q₂=R₂/(R₂²+x₂²) b₂=x₂/(R₂²+x₂²)  y₃=R₃/( R₃²+x₃²)  b₃=x₃/(R₃²+x₃²) 

Уравнение разветвления= (g₂+g₃)²+(b₂-b₃)²

Z=(R₁+R_Р)²+(x₁x_Р)²

R_Р=(g₂+g₃)/y_Р² I₁=U/z

x_Р=(b₂-b₃)/y_Р² I₂=U_ab/z₂=I₁*z_Р/z₂ , где z_P= R_Р²+x_Р² z₂= R₂²+x₂²

I₃=U_ab/ z₃=(I₁*z_Р)/z₃ Рисунок:

₂=arctg x₂/R₂

₃=arctg x₃/R₃

= UI₁

Основные понятия о символическом методе.

Символическое изображение векторов переменного тока широко применяется для расчета цепей переменного тока, так как оно дает возможность выразить в алгебраической форме геометрические опе­рации с векторами переменных токов и напряжений, благодаря чему является возможным применить все

Действительная и мнимая составляющие вектора.

методы расчета цепей постоянного тока (законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод наложения и т.д.) для цепей переменного тока.

В основу символического изображе­ния векторов переменного тока приняты следующие простые положения: любой вектор I можно разложить на состав­ляющие (I^/ и I^//), направленные по двум осям прямоугольной системы коор­динат (рисунок). Ось абсцисс при сим­волическом изображении векторов бу­дем называть осью действи­тельных (или вещественных) величин , а ось ординат – осью мнимых величин, причем составляющую вектора по мни­мой оси будем выделять посредством особого множителя — сим­вола j.

Таким образом, в символической форме вектор I будет:

Если некоторый вектор U, направленный по действительной оси, умножить на j, то вектор jU будет повернут по отношению U на 90° против часовой стрелки, т. е. в положительную сторону. Умножение вектора на j² поворачивает вектор на 180°, а такой поворот эквива­лентен перемене знака вектором:j²U=-U Следовательно,j=, т. е. мнимой единице, в соответствии с чем и дано наиме­нование оси ординат, составляющие векторов по которой сопровож­даются множителем j.Таким образом, при символическом изображе­нии вектор рассматривается как комплексная величина, а плоскость, на которой вектор изображается через действительную и мнимую составляющие, именуется комплексной плоскостью. В соответствии с этим символический метод называют также методом комплексных величин.

Применяются три формы записи комплексной величины, в част­ности вектора переменного тока:

-алгебраическая форма:

тригонометрическая форма может быть преобразована в показа­тельную форму:

В большинстве случаев можно пользоваться алгебраической фор­мой, но при возведении в степень и извлечении корня целесообразнее применять показательную форму. Для перехода к ней от алгебраи­ческой служат простые соотношения:

Положение вектора тока или напряжения на комплексной плоско­сти определяется его начальной фазой , а последняя — относительно произвольна, так как зависит от момента начала отсчета времени. Следовательно, при расчетах цепей переменного тока можно принять равной нулю начальную фазу какого-то одного из напряжений или токов - например известного напряжения на зажимах цепи. Тем самым мы принимаем, что вектор этой величины направлен по дей­ствительной оси. Все остальные векторы, определенные при расчете, окажутся ориентированными по отношению к этому исходному век­тору.

Изображение в символической форме сопротивлений цепи пере­менного тока определяется характером воздействия этих сопротивле­ний на сдвиг фаз между напряжением и током.

Умножение вектора тока I на активное сопротивление r изменяет только величину вектора, но не его направление (рисунок), так как на участке цепи, содержащем только активное сопротивление, напряжение U=Ir и ток совпадают по фазе, а их векторы направлены параллельно.

Умножение вектора тока I на индук­тивное сопротивление L = x_l не только изменяет длину вектора, но и поворачи­вает его на 90° в положительную сто­рону, так как на участке цепи, содер­жащем только индуктивное сопротивле­ние, вектор напряжения U=IL на 90° опережает вектор тока. Следовательно, в символической форме индуктивное реактивное сопротивление изображается положительной мнимой величиной jL=jx_L.

На основании таких же рассуждений легко найти, что емкостное реактивное сопротивление должно изображаться отрицательной мнимой величиной:

Напряжение на зажимах цепи, содержащей активное и индуктивное сопротивления, соединенные последовательно, запишется в символической форме следующим образом:

следовательно, это комплексная величина. Ее принято обозначать прописной буквой Z в отличие от строчной буквы

обозначающей модуль полного сопротивления. Часто приходится применять изображение полного сопротивления в показательной форме:

Мощность в комплексной форме.

Мощность переменного тока — величина несинусоидальная, поэтому для определения ее на основании комплексов напря­жения и тока приходится применять искусственный прием, обосновываемый следующим образом.

Рассмотрим на комплексной плоскости (рисунок) векторы напряжения и тока, символическое изображение которых в показательной форме будет:

причем -= - сдвигу фаз между на­пряжением и током. Умножим комплекс на­пряжения на сопряженный комплекс тока, т. е. на величину

Такое произведение называется комплексной мощностью:

т. е. действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть-реактивной мощности.

Изображение проводимостей переменного тока в символической форме обосновывается так же, как и изображения сопротивлений: активная проводимость в является действительной величиной, индуктивная – мнимой отрицательной - jb_L, а емкостная- положительной +jb_С. Полная проводимость есть комплексная величина =g+-jb.