- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •3.Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.
- •5.Статистическая вероятность.
- •6.Геометрическая вер.
- •7.Вычисление вер. С использованием комбинаторных схем
- •8.Понятие об алгебре событий
- •9.Аксиомы Колмогорова
- •10.Понятие вероятностного пространства
- •13.Условная вер.. Теорема умножения вер..
- •14.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
- •15.Вер. Появления хотя бы одного события
- •16.Формула полной вероятности
- •17.Формула Байеса
- •18.Формула Бернулли
- •19.Наивероятнейшее число появления событий в последовательности независимых испытаний
- •20.Формула Пуассона
- •21.Функция Лапласа.
- •22.Понятие случайной вел-ны. Дискретные и непрерывные случ. Вел-ны.
- •23.Ряд распр. Дискретной случайной вел-ны
- •24.Функция распр. Св и ее свойства
- •25. Плотность распр. Вер. Непрерывной св и ее св-ва.
- •26. Вер. Попадания св в заданный интервал.
- •27. Мат. Ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. Ожидания.
- •32. Гипергеометрическое распр.
- •30.Начальные и центральные моменты случ. Величин.
- •31. Биномиальный закон распределения.
- •33. Закон Пуассона
- •37. Показательное распределение.
- •39. Закон распределения линейной ф-ции от аргумента, подчиненного нормальному закону.
- •38. Закон распределения монотонной ф-ции одного случайного аргумента.
- •40. Закон распределения ф-ции двух св.
- •41. Понятие закона больших чисел.
- •42. Неравенство Чебышева.
- •44. Понятие центральной предельной теоремы.
- •45. Понятие о теореме Ляпунова.
- •46. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
- •43. Теорема Чебышева.
- •47. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.
- •48. Эмпирическая ф-ция распределения и ее св-ва.
- •49. Числовые хар-ки выборочного распр.: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •51. Интервальные оценки параметров распр.. Доверительный интервал.
- •53. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •54. Критерии проверки статистических гипотез.
- •55. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.
46. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
Исходным материалом всякого стат. исследования является сов-сть рез-тов наблюдения. В рез-те наблюдения за случ. явлением или проведения эксперимента получают некоторые числовые данные, кот. записывают в виде таблиц. Все необходимые сведения об эксперименте или изучаемом случ. явлении должны быть зафиксированы. Сов-сть наблюденных или экспериментальных данных представляет собой первичный стат. материал. Эта сов-сть называется простой стат. сов-стью или простым стат. дискретным рядом. Рассмотрим случ. эксперимент, кот. описывается одномерной СВ Х. Мат. моделью эксперимента является тройка (ΩX, FX, F(x)), где ΩX – мн-во возм. знач. СВ Х, FX – σ-алгебра числового мн-ва, F(x) – ф-ция распр. СВ Х. Осуществив n независимых повторений эксперимента, получим посл-сть n наблюденных знач. СВ Х, которые обозначим х1, х2, …, хn. Они принадлежат мн-ву знач. ΩX СВ Х, т.е. {х1, х2, …, хn} ΩX. Мн-во {х1, х2, …, хn}ΩX называют выборкой, а число элементов, входящих в выборку, - объемом выборки. Мн-во ΩX принято называть ген. сов-стью, а число эл-тов ΩX – объемом ген. сов-сти.
Выборочное распределение. Пусть дана выборка {х1, х2, …, хn}, xiΩX, . Числа xi, , образующие выборку, являются наблюденными знач-ми СВ Х (непрерывной или дискретной), полученными при реализации n независимых экспериментов. Эксперименты повторяются при одних и тех же усл. σ. Для придания компактности и наглядности выборке в случае, когда СВ Х – непрерывная, весь диапазон наблюденных данных делят на интервалы или разряды и подсчитывают кол-во знач. mi, входящих в данный интервал, т.е. определяют абс. частоты наблюденных данных. По абс. частотам, входящим в данный интервал, находят отн. частоты Wi=mi/n, причем . Ясно, что сумма всех относит. частот Wi равна 1, т.е. . Полученные интервалы и соотв. отн. частоты записывают в виде таблицы, кот. назывется интервальным рядом распр.. Интервальный стат. ряд будет задавать распр. выборки, кот. однозначно опр-ся самой выборкой.
43. Теорема Чебышева.
Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат. ожиданием.
Теор.: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к ее мат. ожиданию. Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что СВ Хn сходится по вероятности к величине а, если при увеличении n вероятность того, что Хn и а будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом n P(|Хn – a|<ε)>1 – δ, где ε, δ – произвольно малые положительные числа. Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении n среднее арифметическое сходится по вероятности к mx, т.е. P(| - mx|<ε)> 1 – δ. Докажем это нер-во. Величина Y = имеет числовые хар-ки my = mx; Dy = Dx/n. Применим к СВ Y нер-во Чебышева, полагая , что α = ε: P(|Y - my| ≥ε) ≤ Dy/ε2 = Dx/n ε2. Как бы мало ни было число ε, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось нер-во Dx/n ε2<δ, где δ – сколь угодно малое число. Тогда P(| - mx|≥ε) <δ, откуда, переходя к противоположному событию, имеем: P(| - mx|<ε)> 1 – δ, что и требовалось доказать.