- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •3.Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.
- •5.Статистическая вероятность.
- •6.Геометрическая вер.
- •7.Вычисление вер. С использованием комбинаторных схем
- •8.Понятие об алгебре событий
- •9.Аксиомы Колмогорова
- •10.Понятие вероятностного пространства
- •13.Условная вер.. Теорема умножения вер..
- •14.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
- •15.Вер. Появления хотя бы одного события
- •16.Формула полной вероятности
- •17.Формула Байеса
- •18.Формула Бернулли
- •19.Наивероятнейшее число появления событий в последовательности независимых испытаний
- •20.Формула Пуассона
- •21.Функция Лапласа.
- •22.Понятие случайной вел-ны. Дискретные и непрерывные случ. Вел-ны.
- •23.Ряд распр. Дискретной случайной вел-ны
- •24.Функция распр. Св и ее свойства
- •25. Плотность распр. Вер. Непрерывной св и ее св-ва.
- •26. Вер. Попадания св в заданный интервал.
- •27. Мат. Ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. Ожидания.
- •32. Гипергеометрическое распр.
- •30.Начальные и центральные моменты случ. Величин.
- •31. Биномиальный закон распределения.
- •33. Закон Пуассона
- •37. Показательное распределение.
- •39. Закон распределения линейной ф-ции от аргумента, подчиненного нормальному закону.
- •38. Закон распределения монотонной ф-ции одного случайного аргумента.
- •40. Закон распределения ф-ции двух св.
- •41. Понятие закона больших чисел.
- •42. Неравенство Чебышева.
- •44. Понятие центральной предельной теоремы.
- •45. Понятие о теореме Ляпунова.
- •46. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
- •43. Теорема Чебышева.
- •47. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.
- •48. Эмпирическая ф-ция распределения и ее св-ва.
- •49. Числовые хар-ки выборочного распр.: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •51. Интервальные оценки параметров распр.. Доверительный интервал.
- •53. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •54. Критерии проверки статистических гипотез.
- •55. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.
37. Показательное распределение.
Показательным (экспоненциальным) называют распр. вер. НСВ Х, которое описывается ф-цией плотности вер. , где λ>0 постоянна и называется параметром показательного распр. Примером НСВ, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных соб. простейшего потока, где λ – интенсивность потока. Найдем ф-цию распр. F(x) СВ, распределенной по показательному закону: F(x) = = . Итак,
Определим числовые хар-ки СВ, распределенной по показательному закону. Мат. ожидание: M(X) = = = . Дисперсия: D(X) = = = 2/λ2 – 1/λ2 = 1/λ2. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) = 1/λ и, следовательно, совпадает с мат. ожиданием.
39. Закон распределения линейной ф-ции от аргумента, подчиненного нормальному закону.
Пусть СВ Х подчинена нормальному закону с плотностью: f(x) = , а СВ Y связана с нею линейной функцианальной зависимостью: Y = aX+b, где a и b – неслуч. коэффициенты. Требуется найти закон распр. вел-ны Y. Т.к. ф-ция y = ax+b мон-на (при a>0 возрастает мон-но, при a<0 убывает мон-но), то плотность распр., согласно формуле g(y) = f( (y)) |'(y)|, будет равна g(y) = , где x = (y) = (y – b)/a; |'(y)| =1/|a|. (таблица не обязательна!!!)
Преобразуя выражение g(y), имеем: g(y) = , а это есть не что иное, как нормальный закон с параметрами: . Если перейти от средних квадратических отклонений к пропорциональным им вероятным отклонениям, получим Ey = |a|Ex. Т.о., мы убедились, что лин. ф-ция от аргумента, подчиненному нормальному закону, также подчинена нормальному закону. Чтобы найти центр рассеивания этого закона, нужно в выражение линейной ф-ции вместо аргумента подставить его центр рассеивания. Чтобы найти ср. квадратич. отклонение этого закона, нужно ср. квадратич. отклонение аргумента умножить на модуль коэф. при аргументе в выражении линейной ф-ции. То же правило справедливо и для вероятных отклонений.
38. Закон распределения монотонной ф-ции одного случайного аргумента.
Везде вместо надо писать .
Имеется НСВ Х с плотностью распр. f(x). Другая СВ Y связана с нею функцианальной зависимостью: Y =φ(X). Требуется найти плотность распр. вел-ны Y. Рассмотрим участок оси абсцисс (a, b), на котором лежат все возм. знач. вел-ны Х, т.е. P(a<X<b) = 1. В частном случае, когда область возм. знач. Х ничем не ограничена, a = —∞; b = +∞. Способ решения поставленной задачи зависит от поведения ф-ции φ на участке (a, b): возрастает ли она на этом участке или убывает, или колеблется. Рассмотрим случай, когда ф-ция y= φ(x) на участке (a, b) монотонна. При этом отдельно проанализируем 2 случая: мон. возрастания и мон. убывания ф-ции.
Ф-ция y= φ(x) на участке (a, b) мон-но возрастает. Когда вел-на Х принимает разл. знач. на участке (a, b), случ. точка (X, Y) перемещается только по кривой y= φ(x); ордината этой точки полностью опр-ся ее абсциссой. Обозначим g(y) плотность распр. вел-ны Y. Для того чтобы определить g(y), найдем сначала ф-цию распр. вел-ны Y: G(y) = P(Y<y). Проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс на расстоянии y от нее. Чтобы выполнить условие Y<y, случ. точка (X, Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы СВ Х попала на участок оси абсцисс от a до x, где х – абсцисса точки пересечения кривой y= φ(x) и прямой АВ. Следовательно, G(y) = P(Y<y) = P(a<X<х) = . Верхний предел интеграла x можно выразить через y: x = (y), где – ф-ция, обратная ф-ции φ. Тогда G(y) = . Дифференцируя последний интеграл по переменной y, входящей в верхний предел, получим: g(y) = G'(y) = f( (y)) '(y) – формула (1).
Ф-ция y= φ(x) на участке (a, b) монотонно убывает. В этом случае G(y) = P(Y<y) = P(x<X<b) = , откуда g(y) = G'(y) = —f( (y)) '(y) – формула (2). Сравнивая формулы (1) и (2), замечаем, что они могут быть объединены в одну: g(y) = f( (y)) |'(y)| - формула (3). Действительно, когда φ возрастает, ее производная (а значит и ') полож. При убыв. ф-ции φ производная ' отрицательна. Сл-но, формула (3), в кот. производная берется по модулю, верна в обоих случаях. Т. о., задача о законе распр. мон. ф-ции решена.