![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •3.Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.
- •5.Статистическая вероятность.
- •6.Геометрическая вер.
- •7.Вычисление вер. С использованием комбинаторных схем
- •8.Понятие об алгебре событий
- •9.Аксиомы Колмогорова
- •10.Понятие вероятностного пространства
- •13.Условная вер.. Теорема умножения вер..
- •14.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
- •15.Вер. Появления хотя бы одного события
- •16.Формула полной вероятности
- •17.Формула Байеса
- •18.Формула Бернулли
- •19.Наивероятнейшее число появления событий в последовательности независимых испытаний
- •20.Формула Пуассона
- •21.Функция Лапласа.
- •22.Понятие случайной вел-ны. Дискретные и непрерывные случ. Вел-ны.
- •23.Ряд распр. Дискретной случайной вел-ны
- •24.Функция распр. Св и ее свойства
- •25. Плотность распр. Вер. Непрерывной св и ее св-ва.
- •26. Вер. Попадания св в заданный интервал.
- •27. Мат. Ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. Ожидания.
- •32. Гипергеометрическое распр.
- •30.Начальные и центральные моменты случ. Величин.
- •31. Биномиальный закон распределения.
- •33. Закон Пуассона
- •37. Показательное распределение.
- •39. Закон распределения линейной ф-ции от аргумента, подчиненного нормальному закону.
- •38. Закон распределения монотонной ф-ции одного случайного аргумента.
- •40. Закон распределения ф-ции двух св.
- •41. Понятие закона больших чисел.
- •42. Неравенство Чебышева.
- •44. Понятие центральной предельной теоремы.
- •45. Понятие о теореме Ляпунова.
- •46. Генеральная совокупность и выборка. Выборочное распределение.
- •43. Теорема Чебышева.
- •47. Вариационный ряд, его хар-ки. Гистограмма. Полигон.
- •48. Эмпирическая ф-ция распределения и ее св-ва.
- •49. Числовые хар-ки выборочного распр.: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •51. Интервальные оценки параметров распр.. Доверительный интервал.
- •53. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •54. Критерии проверки статистических гипотез.
- •55. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.
40. Закон распределения ф-ции двух св.
Задача опр. закона распр. ф-ции нескольких случ. аргументов значительно сложнее аналогичной задачи для ф-ции одного аргумента.
Имеется
система двух непрерывных СВ (X, Y) с
плотностью распр. f(x, y). Случ. вел-на Z
связана с X и Y функциональной зависимостью:
Z = φ(X,
Y). Требуется найти закон распр. вел-ны
Z. Ф-ция z = φ(x,
y) изображается поверхностью, а не кривой,
как в случае одного аргумента. Найдем
ф-цию распр. вел-ны Z: G(z) = P(Z<z) = P(φ(X,
Y)<z) – формула (1). Проведем плоскость
Q, параллельную плоскости xOy, на расстоянии
z от нее. Эта плоскость пересечет
поверхность z = φ(x,
y) по некот. кривой K. Спроектируем кривую
К на плоскость xOy. Эта проекция, уравнение
к-рой φ(x,
y) = z, разделит плоскость xOy на две области;
для одной из них высота поверхности над
плоскостью xOy будет меньше, а для другой
– больше z. Обозначим D ту область, для
которой эта высота меньше z. Чтобы
выполнялось нерав-во (1), случ. точка (X,
Y), очевидно, должна попасть в область
D; следовательно, G(z) = P((X,Y)D)=
- формула (2). В выражение (2) вел-на z входит
неявно, через пределы интегрирования.
Дифференцируя G(z) по z, получим плотность
распр. вел-ны Z: g(z) = G'(z). Зная конкр. вид
ф-ции z = φ(x,
y), можно выразить пределы интегрирования
через z и написать выражение g(z) в явном
виде. Для того, чтобы найти закон распр.
ф-ции двух аргументов, нет необходимости
каждый раз строить поверхность z = φ(x,
y) и пересекать ее плоскостью, параллельной
xOy. На практике достаточно построить на
плоскости xOy кривую, уравнение к-рой z =
φ(x,
y), отдать себе отчет, по какую сторону
этой кривой Z<z, а по какую Z>z, и
интегрировать по области D, для которой
Z<z.
41. Понятие закона больших чисел.
Содержание закона больших чисел в широком смысле: при очень большом числе случ. явлений средний их рез-т практически перестает быть случ. и может быть предсказан с большой степенью опр-сти. В узком смысле слова под законом больших чисел в теории вер. понимается ряд мат. теорем, в каждой из к-рых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних хар-к большого числа опытов к некот. опр. постоянным. Простейшей из этих теорем является т. Бернулли. Она утверждает, что при большом числе опытов частота соб. приближается (точнее – сходится по вер.) к вер. этого соб. Другие, более общие формулировки, устанавливабт факт и условия сходимости по вероятности тех или иных СВ к постоянным, не случайным вел-нам. Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях т.в.. Св-во случ. вел-н при опр. условиях вести себя практически как не случ. позволяет уверенно оперировать с этими вел-нами, предсказывать рез-ты массовых случ. явлений (это большое число выполняемых однородных опытов или большое число складывающихся случ. воздействий, порождающих в своей сов-сти случ. вел-ну, подчиненную вполне опр. закону) почти с полной опр-стью.
42. Неравенство Чебышева.
Нер-во Чебышева относится к группе «закона больших чисел».
Пусть имеется СВ Х с мат. ожиданием(м.о.) mx и Dx. Нер-во Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число α, вер. того, что вел-на Х отклонится от своего м.о не меньше чем на α, ограничена сверху вел-ной Dx/ α2: P(|X - mx |≥α)≤ Dx/ α2. Док-во: Пусть вел-на Х прерывная, с рядом распр.:
Х |
x1 |
x2 |
… |
xn |
p |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Изобразим
возм. знач. вел-ны Х и ее м.о mx
в виде точек на числовой оси Ox. Зададим
некоторым значением α>0
и вычислим вер. того, что вел-на Х
отклонится от своего м.о не меньше, чем
на α:
P(|X
- mx
|≥α)
– формула (1). Для этого отложим от точки
mx
вправо и влево по отрезку длиной α;
получим
отрезок АВ. Вер. (1) есть не что иное, как
вер. того, что случ. точка Х попадет не
внутрь отрезка АВ, а вовне его: P(|X - mx
|≥α)
= P(XAB).
Для того, чтобы найти эту вер., нужно
просуммировать вер. всех тех знач. Х,
кот. лежат вне отрезка АВ. Запишем это
следующим образом: P(|X - mx
|≥α)
=
- формула (2), где запись |X - mx
|≥α
под знаком суммы ознаачет, что суммирование
распространяется на все те знач., для
которых точки Х лежат вне отрезка АВ. С
другой стороны напишем выражение
дисперсии вел-ны Х: D(X) = M[(X - mx)2]
=
- формула (3). Т.к. все члены суммы (3)
неотрицательны, она может только
уменьшиться, если мы распространим ее
не на все знач. Х, а только на некоторые,
в частности на те, кот. лежат вне отрезка
АВ: D(X) ≥
.
Заменим под знаком суммы выражение |X -
mx
| через α.
Т.к.
для всех членов суммы |X - mx
|≥α,
то
от такой замены сумма тоже может
уменьшиться; значит, D(X) ≥
.
Но согласно формуле (2) сумма, стоящая в
правой части последнего рав-ва есть не
что иное, как вер. попадания случайной
точки вовне отрезка АВ; следовательно,
D(X) ≥ α2P(|X
- mx
|≥α),
откуда непосредственно вытекает
доказываемое нер-во. В случае, когда
вел-на Х непрерывна, док-во проводится
аналогичным образом с заменой вер. p
элементом вер., а конечных сумм –
интегралами. Действительно, P(|X - mx
|>α)
=
,
где f(x) – плотность распр. вел-ны Х. Далее,
имеем: D(X) =
≥
,
где знак |X - mx
|>α
под интегралом означает, что интегрирование
распространяется на внешнюю часть
отрезка АВ. Заменяя |X - mx
| под знаком интеграла через α,
получим:
D(X) ≥α2*
=
α2P(|X
- mx
|>α),
откуда и вытекает нер-во Чебышева для
непрерывных величин.