3.6.Основные положения теории графов

знаменитую задачу семи Кёнигсбергских мостов, соединявших два острова на реке Преголь с сушей и между собой, Эйлер решил в 1736 г. В ней было необходимо найти маршрут, который бы прошёл по четырём частям суши, ровно один раз по каждому мосту. Причём, начало и конец маршрута должны находится на одном и том же острове. Для доказательства невозможности такого маршрута Эйлером и был построен граф⁴. Это решение и положило начало теории графов.

В 1847 г. Кирхгоф разработал теорию деревьев на графах для составления независимой системы уравнений при расчёте электрических цепей. Именно на них ниже будут иллюстрироваться абстрактные понятия графов, хотя в настоящее время трудно найти область, где бы при изучении структур или решении некоторых практических задач не применялись графы.

3.6.1. Типы графов и их элементы

Для интуитивного уяснения понятия графа рассмотрим рис. 3.1,а , на котором изображена схема электрической цепи, а на рис. 3.1, б представлена диаграмма, содержащая столько кружочков, сколько узлов в электрической схеме, и столько линий (со стрелками или без), сколько элементов в цепи. Ясно, что рис. 3.1, б отражает некоторые свойства электрической схемы, а именно её структурные свойства. Кружки v₁, v₂, v₃, v₄, v₅ называют вершинами, линии – ребрами, если на них нет стрелок, и дугами (ориентированным ребром), если на линии имеется стрелка. Дуга соединяет вершину v₅ с вершиной v₁, но не соединяет вершину v₁ с v₅ (и вообще не соединяет никакую другую пару вершин). Ребро, например h, в отличие от дуги соединяет вершины v₄, v₅ и v₅, v₄. Говорят, что вершине v₄ инцидентны рёбра g, d, e, h , а каждому из них инцидентна вершина v₄ . Дуга выходит из вершина v₅ и заходит в вершину v₁. Рассмотренный граф является смешанным, так как он содержит дуги и ребра. Если удалить дугу из графа, то получим граф, называемый обыкновенным, а если заменить дугу ребром, то образуется несколько параллельных (кратных) ребер и такой граф называют мультиграфом. Граф, содержащий только дуги, называют направленным или орграфом. При исследовании систем автоматического управления широко используют структурные схемы. Они фактически являются орграфами, у которых дуги имеют вес, равный передаточной функции звена, регулятора, объекта регулирования. алгоритмы обработки информации также нагляднее описывать с помощью орграфов, так как с их помощью легко обнаруживаются контуры (циклы) положительной обратной связи.

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что форма и длина рёбер графа не имеют значения (см. рис.3.1, в), пересечение линий рёбер

не образует вершину (рис.3.1, б), а является особенностью рисунка. при большом числе вершин для описания графа используется матрица (см. ниже), а не рисунок.

Теперь дадим формальное определение обыкновенного графа Г (для упрощения изложения в дальнейшем слово "обыкновенный"

будем опускать).

Рис.3.1 на рис.в надо поменять номера вершин и ввести в рис.б) дугу

различных вершин из V, называемых ребрами. Вершины смежны (будем обозначать это так), если они соединены ребром , и несмежны, если не соединены . У графа на рис.3.1, б смежны вершины: ,; ; и т.д.

Обычно в компьютер вводят граф, задавая его ребра и формируя квадратную () симметрическую матрицу смежностей с нулевой диагональю

Существует два вида противоположных графа: безребёрный граф с n вершинами, не соединённых ни одним ребром ; и полный граф с тем же числом вершин, каждая из которых соединена ребром с каждой (число ребер в таком графе ). В графе рис.3.1, б вершины v₄ и v₂ удовлетворяют требованиям полного графа, а оставшиеся – нет. Если соединить рёбрами вершины , то получится полный граф.

Иногда в графе образуется петля⁵, т.е. ребро, идущее из вершины v_i в вершину v_i, а если ребро является дугой – то называют её контуром (рис.3.2).

Рис. 3.2 рис.3.3

Маршрутом называют конечную последовательность рёбер вида:

,

где v_i – i-я вершина графа, .

маршрут, у которого все вершины различны, называют путем, если он состоит из дуг, направленных в одну сторону. Если в маршруте нет дуг, то его называют простой цепью.

Замкнутая простая цепь (т.е. v₀ = v_m) называется циклом, а в орграфе – контуром. Смешанный граф может содержать цикл и контур (рис.3.3). Понятия путь, контур, цикл, простая цепь широко используются при анализе систем и алгоритмов, которые отображают соответствующие графы.