В частотную область уравнение (12) переводят с помощью преобразования Фурье формально заменяя оператор s на jω

(16)

где D₁(w)+jD₂(w)=lgD(jw); — действительная часть суммарной чувствительности.

Уравнения (12) и (16) являются важнейшими при проектировании линейных активных RC-цепей. В самом деле, из уравнения (16) следует, что функция относительной чувствительности зависит от скорости изменения частотной характеристики. Ее гладкость на высоких частотах особенно важна для уменьшения чувствительности.

Следовательно, для повышения стабильности АЧХ цепи желательно на этапе аппроксимации этой характеристики конструировать функции, дающие гладкие АЧХ.

На практике при аппроксимации АЧХ и ФЧХ наиболее широко применяют полиномы Чебышёва, Баттерворта, Бесселя¹. (см.). Для этих полиномов известен аналитический способ нахождения корней уравнений n-го порядка []. Аппроксимация АЧХ полиномами Баттерворта приводит к бóльшему порядку полиномов n, чем полиномами Чебышёва, но обеспечивает бóльшую гладкость частотных характеристик. При аппроксимации по Бесселю получают полиномы более высокого порядка, чем в предыдущих методах, но за то реализуют максимально гладкую переходную характеристику.

Увеличение порядка n сопровождается ростом числа элементов. Например, для RC-цепи, чтобы её определитель имел порядок n, необходимо иметь не меньше n конденсаторов с операторной проводимостью sC_k. Их произведение сформирует коэффициент a_n. Для формирования коэффициента a₀ аналогично необходимо иметь не менее n резисторов с проводимостями g_k. Следовательно, увеличение порядка n определителя A(s) на единицу приводит к увеличению числа элементов на два, если сохраняется полный полином A(s).

Заметьте, точно так же из (11) следует желательность увеличения числа элементов ψ для понижений чувствительности схемной функции к изменению параметров отдельного элемента.

Итак, оба фактора уменьшения чувствительности системы требуют возрастания числа элементов. Очевидно, что это требований вступает в противоречие со стоимостью системы. Поэтому в процессе проектирования всегда ищется компромисс между повышением стоимости и снижением качества проектируемого изделия.

3.4.1. Качество систем и принципы их построения

Проанализируем качество наиболее часто применяемых трёх принципов построения: последовательный (его часто называют ещё каскадным), параллельный и с обратной связью.

Пусть, например, усилитель, построенный по последовательному принципу (рис. 1,а-26, а), содержит два каскада с коэффициентами усиления K_u1 и K_u2 и общим усилением, найденным по графу рис.1,б

(17)

Подставив в выра­жение (7) значения многочленов из (17):

A(s) = 1; A₂(s) = 0; В(s) =K_u1K_u2; B₂(s) = K_u2, χ_k = K_u1,

найдем, что

(18)

Следовательно, чувстви­тельность передаточной функции последовательно соединенных эле­ментов к изменению параметров любого из элементов равна единице.

Таким образом, для получения высококачественного изделия при последовательном построении необходимо использовать высококачественные отдельные каскады. Отказ любого из усилителей или изменение его параметров приведёт к отказу всего компонента или изменению коэффициента усиления компонента. Уровень изменения K к тому же зависит от места положения каскада.

При последовательном принципе построения наиболее высокие требования по всем параметрам качества предъявляется к первому каскаду, так как все отклонения его параметров (уровень собственного шума, нелинейных искажений и т.п.) от номинального значения будут усиливаться последующими каскадами.

Этот недостаток естественно ставит вопрос о целесообразности его применения вообще. Тем не менее, последовательный принцип находит пока ещё широкое применение (в схемотехнике компьютеров,

программировании, радиотехнике, системах управления и т.д.) из-за небольшого числа каскадов, с помощью которых достигается конечный результат благодаря перемножению коэффициентов передачи отдельных каскадов. Стоимостные соображения здесь играют первостепенную роль.

Усилитель, построенный по параллельному принципу (рис.2,а), содержит значительно большее число каскадов, чем при последовательном соединении компонент. Это связано с тем, что общий коэффициент усиления при параллельном соединении равен сумме коэффициентов усиления отдельных компонент

К=(K₁+K₂+)K_м , (19)

где коэффициент K_M - отражает передаточную функцию сумматора.

например, пусть в предыдущем примере коэффициенты K₁=K₂=20. тогда . При параллельном соединении усилителей, каждый из которых имеет также коэффициент усиления равный 20, потребуется 20 усилителей и сумматор, который объединит выходные сигналы отдельных усилителей.

Рис.2

Для того чтобы коэффициент передачи сумматора не очень сильно влиял на конечный результат, его коэффициент масштабирования K_M обычно делают равным единице. Такой затратный принцип построения должен создавать у изделия более высокое качество, по сравнению с последовательным принципом. Из графа рис.2,б находим в соответствии с уравнением (7)

; K_м = 1, A(s)=1, A₂(s)=0 .

Чувствительность общего коэффициента усиления к изменениям одного из них (K_k) из-за того, что A₂(s) = 0, будет равна

(20)

Следовательно, чувствительность передаточной функции парал­лельно соединенных элементов к изменениям параметров одного из них всегда меньше единицы и равна отношению передаточной функ­ции изменяемого элемента к передаточной функции компонента или системы. Отказ одного из элементов приводит к частичному изменению его частотной или временной характеристики, но сохранит работоспособность компонента.

Таким образом, повышение качества системы, реализующей параллельный принцип построения, достигается за счёт большего числа компонент в системе, чем при последовательном принципе.

в бытовых изделиях последовательный принцип ещё будет, вероятно, широко использоваться, а в промышленных электронных изделиях, скорее всего он будет постепенно использоваться всё реже и заменяться на параллельный принцип построения.

Напомним, полупроводниковый чип уже в 2008 г. содержал более 10⁹ транзисторов и с достижением базового размера транзисторов 30нм их число ещё больше возрастёт, а стоимость одного элемента будет падать.

Итак, параллельный принцип построения, обладающий более высокими показателями качества и менее жёсткими требованиями к отдельным компонентам системы, постепенно займёт доминирующее положение в системах обработки и получения информации. Такие системы будут всё больше напоминать системы живых организмов.

Теперь рассмотрим влияние обратной связи на чувствительность на при­мере цепи рис.3,а -26,в, содержащей усилитель с коэффициентом усиления –K₁ и пассивную RLC-цепь, образующую путь от входного узла 1

3

A₁(s)

R,L,C

1

2

3

-K₁

1

K₁

K₂

1

2

K₁

K₂

1

2

3

e_c

-K₁

B₂(s)

A₂(s)

г)

а)

б)

в)

Рис. 1-26

к узлу 2 усилителя и контур обратной связи. На обобщенном графе этой цепи (рис. 3,б-26, г) показаны веса: B₂ (s) – пути P₁₂, A₁ (s) – вершины 2 и A₂ (s) – дуги (3, 2), образующей с дугой (2, 3) контур обратной связи. Поэтому передаточная функция будет равна

. (20)

Обратную связь, вес контура которой отрицателен, называют отрицательной обратной связью (контур должен содержать нечетное число дуг с отрицательным весом), а при положительном весе контура – положительной (в контуре должно быть четное число дуг с отрицательным весом и (или) все дуги должны иметь положительный вес).

Обратите внимание, согласно правилу нахождения определителя графа A(s) слагаемое, образованное весом контура берётся с противоположным знаком. Это означает, что веса контуров отрицательной обратной связи войдут в полином A(s) с положительными знаками. И наоборот, веса контуров положительной обратной связи войдут в полином A(s) с отрицательными знаками.

В соответствии с выражением (1-44), учитывая противоположные знаки весов пути и контура, имеем

Уравнение (21а-45) соответствуют отрицатель­ной обратной связи, а (21б) – относится к схеме, использу­ющей неинвертирующий усилитель с коэффициентом усиления K₁ (контур положительной обратной связи).

Оценим возможные значения чувствительности. Если для любых ω выполняется неравенство |A₁(jω)|>>|K₁A₂(jω)|, то отрицательная обратная связь весьма мало влияет на характеристики компонента. Чувствительность к изменению параметра K₁ наименее стабильного элемента будет стремиться к единице, но всё же оставаясь меньше её.

При глубокой отрицательной обратной связи при любых ω выполняется неравенство |A₁(jω)|«|K₁A₂(jω)|. В этом случае чувствительность будет S^K_-K1→0 и усилитель, активно участвуя в реализации передаточной функции К(s), своими пара­метрами оказывает лишь незначительное влияние на ее коэффициенты.

Этот эффект широко применяется при использовании операционных усилителей, имеющих коэффициент усиления более 10⁴. Своё название этот усилитель получил в связи с построением первой аналоговой вычислительной машины, построенной на таких усилителях для выполнения операций интегрирования, масштабирования, умножения и т.д.

При положительной обратной связи и выполнении условия |A₁(jω)| = =|K₁A₂(jω)| чувствительность S^K_K1→ ∞. Отметим, что эти же условия соответствуют возникновению в цепи самовозбуж­дения. Не забудь проверить это сделано ли ранее при анализе АЧХ

Таким образом, обратная связь является средством изменения чувствительности. Для повышения стабильности характеристик цепи, содержащей элемент с нестабильными параметрами (K₁), необхо­димо охватить последний отрицательной обратной связью, реализованной на элементах со стабильными параметрами (у них S^K_K1≤ -1). Тогда, при вышеприведенных условиях, чувствительность функции цепи к изменениям нестабильного элемента можно суще­ственно уменьшить.

Значительно реже (в цепях с управляемыми характеристиками) применяют увеличение чувствительности к изменениям какого-либо элемента. Это связано с тем, что при положительной обратной связи в цепи легко могут возникнуть автоколебания.