2. 3.4.3. Связь функции относительной чувствительности с запасом

устойчивости систем.

широкому применению функций относительной чувствительности мешала невозможность её оценки до того как будет полностью спроектирована система, т.е. её можно было использовать только в оценке качества готового изделия. чтобы этот универсальный критерий качества

системы можно было использовать на ранних этапах проектирования, автор воспользовался [Избирате] известным приёмом переноса задачи из области, в которой нет методов её решения в другую область, имеющие необходимые методы или возможность её решения. При таком преобразовании, конечно, необходимо сохранить в новой области отношения эквивалентности между сравниваемыми объектами.

Сначала рассмотрим пример, с которым каждый читатель, так или иначе, сталкивался или непосредственно, или при прямых передачах в эфир на радио и телевидении. Это возникновение «завывания» звука при близком поднесении микрофона ко рту говорящего. Оно возникает из-за существующей в таких системах акустической положительной обратной связи. Когда микрофон близок к источнику звука, уровень обратной связи становится большим и звуковое давление от громкоговорителей, стоящих в помещении, оказывает на микрофон давление не меньшее, чем говорящий. Поэтому суммарный сигнал с микрофона становится очень большим и подаётся на усилитель, который усиливает его так же, как слабый. В результате на выходе громкоговорителя уровень звука ещё больше увеличивается.

Так возникает самовозбуждение этой электронно-механической системы. Снимают его достаточно просто: микрофон удаляется от источника звука на некоторое расстояние, после которого самовозбуждение пропадает.

В теории систем управления разработаны различные формальные методы обеспечения устойчивого состояния систем. Воспользуемся методом, в котором с одной стороны устойчивость напрямую связана с функцией относительной чувствительности, а с другой – механизм обеспечения устойчивости подобен, описанному в примере.

Для оценки удаленности системы от состояния самовозбуждения применяют понятие запаса устойчивости по параметру элемента – допустимого относительного изменения какого-либо параметра χ системы, которое не приводит к потере устойчивости (в примере в первом приближении это расстояние между источниками звука и микрофоном).

В линейных системах запас устойчивости по параметру χ элемента определяют в зависимости от места включения элемента по формуле [30]

, (3.19)

если элемент χ входит в числитель функции H(ω), а если элемент входит в знаменатель, то по формуле

, (3.20)

причем в формулах (3.19) и (3.20) обозначено

,

где ω_кр – критическая частота, т. е. частота, на которой система воз­буждается; H(ω)—амплитудно-частотная характеристика, полученная из функции системы K(s) после перехода от неё с помощью преобразования Фурье (формальной заменой оператора Лапласа оператором Фурье ) и нахождения модуля

Из (3.19) и (3.20) несложно перейти к чувствительности

повтор (3.21)

Из выражений (3.21) видно, что для того чтобы функции относительной чувствительности на любых частотах изменялись в пределах от 0 до 1, необходимо синтезировать систему, в которой , т.е. запас устой­чивости по параметру χ равен бесконечности. Если соотношения (3.21) выполняются для всех элементов линейной системы, то она имеет бесконечный запас устойчивости по всем элементам без каких- либо дополнительных условий.

Следовательно, система с бесконечным запасом устойчивости по всем элементам, имеет функцию относительной чувствительности, лежащую в интервале от 0 до 1 на всех частотах.

Конечно, функция относительной чувствительности равная нулю к вариациям параметров какого-либо элемента не возможна, так как это достигается только в двух случаях. В первом – элемент не входит в функцию H(ω) и тогда он не нужен, во втором – он входит во все коэффициенты H(ω) и сокращается как общий множитель числителя и знаменателя этой функции.

Второй случай практически часто реализуется приближённо при использовании операционных усилителей в электронных устройствах. При этом выражение для H(ω) является первым приближением точного описания H(ω) (обычно с погрешностью, не превышающей долей процента). линейные системы, в которых параметры элементов могут принимать любые значения, не изменяющие вид K(s), в работе [32] названы безу­словно устойчивыми.

Таким образом, при проектировании высококачественных систем необходимо обеспечивать структурным путем относительную чувствительность её характеристик не выше единицы при изменении параметров всех элементов в рамках технологических и эксплуатационных ограничений.