- •1.1 Понятие и классификация экономико-математических моделей
- •1.2. Примеры типовых экономико-математических моделей
- •Модуль 2. Сетевые модели в планировании и управлении
- •2.1. Элементы и правила построения сетевой модели
- •2.3. Алгоритм расчета параметров детерминированной сетевой модели
- •2.3. Диаграмма затрат ресурсов и ее оптимизация
- •2.4. Сетевые модели в условиях полной неопределенности
- •2.5. Вопросы для самоконтроля
- •2.6. Тесты. Сетевые модели
- •2.7. Практикум
- •Модуль 3. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса «затраты – выпуск»
- •Модель «Затраты–Выпуск». Открытая модель Леонтьева
- •3.2. Замкнутая модель Леонтьева
- •3.3. Динамическая модель Леонтьева
- •3.4. Матричные модели предприятий, фирм
- •3.5. Вопросы для самоконтроля
- •3.6. Тесты. Балансовые модели
- •3.7. Практикум
- •1. Матрица внутрифирменных связей:
- •2. Матрица распределения чистой продукции:
- •3. Матрица затрат ресурсов (фонд заработной платы, материалы, э/энергия, износ оборудования):
- •Модуль 4. Методы и модели линейного программирования
- •4.1. Математическая модель общей задачи линейного программирования
- •4.2. Симплекс - метод решения задач линейного программирования
- •4.3. Двойственность в линейном программировании
- •4.4. Решение задач линейного программирования средствами excel
- •4.5. Вопросы для самоконтроля
- •4.6. Тесты. Линейное программирование
- •4.7. Практикум
- •Модуль 5. Транспортные задачи линейного программирования
- •5.1. Постановка и математическая модель транспортной задачи
- •Математическая модель тз:
- •5.2. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов
- •5.3. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность
- •5.4. Метод потенциалов для задачи Td
- •5.5. Вопросы для самоконтроля
- •5.6 Тесты. Транспортные задачи
- •5.7. Практикум
- •Модуль 6. Динамическое программирование
- •6.1. Оптимальное распределение ресурсов
- •6.2. Задача о замене оборудования
- •6.3. Применение динамического программирования в вопросах перспективного планирования.
- •6.4. Выбор оптимальных маршрутов методом динамического программирования
- •6.5. Вопросы для самоконтроля
- •6.6. Тесты. Динамическое программирование
- •6.7. Практикум
- •Задание 4. Выбор оптимальных маршрутов и инцидентных цепей
- •7.1. Постановка и геометрический смысл общей задачи нелинейного программирования
- •7.2. Метод множителей Лагранжа
- •7.3. Градиентные методы
- •7.4. Метод Франка-Вулфа
- •7.5. Метод штрафных функций
- •7.6. Метод наискорейшего спуска
- •7.7. Вопросы для самоконтроля
- •7.8. Практикум
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
- •Математические методы и модели в экономике
- •Издательство
- •625000, Г. Тюмень, ул. Володарского, 38
- •625039, Г. Тюмень, ул. Киевская, 52
Модуль 2. Сетевые модели в планировании и управлении
2.1. Элементы и правила построения сетевой модели
Общетеоретической основой сетевых методов и моделей служит теория графов. Теория графов сложилась в последние 40 - 50 лет, хотя ее отдельные проблемы и задачи изучались еще в 18 -19 вв. (первая работа о графах принадлежит жившему в России великому математику Л. Эйлеру).
В области экономики, технологии, проектирования научно - исследовательских работ особую сложность представляют собой планирование и создание новых систем. Например, конструирование и освоение производства новой машины, проектирование и возведение инженерных и архитектурных комплексов, железных дорог, линий электропередач, трубопроводов и т. д. Управление комплексом операций осложняется, как правило, новизной разработки, трудностью точного определения сроков и предстоящих затрат.
В планировании и управлении сложными комплексами работ высокоэффективными оказались сетевые методы. Один из них - метод критического пути (CPM - Critical Path Method), другой метод оценки и пересмотра проектов (PERT - Project Evaluation and Resiew Technique).
Последний был разработан для министерства военно-морских сил США в соответствии с программой создания подводных лодок, оснащенных ракетами “Поларис”. В обоих случаях проект изображался в виде сети взаимосвязанных работ. В настоящее время создано большое число модификаций и второе поколение сетевых методов.
Основу сетевой модели составляет сетевой график (СГ) - изображение планируемого комплекса работ, в котором отражаются взаимосвязи отдельных операций (работ) и последовательности их выполнения. С точки зрения теории графов сетевой график представляет собой сеть - конечный связный ориентированный граф без петель с одним источником и одним или несколькими стоками.
Основными элементами СГ являются события и работы. События соответствуют вершинам сети (изображаются кружками), а работы - ее дугам (изображаются стрелками, длина которых не имеет никакого значения). Событие - это результат, состояние системы в момент достижения некоторой исходной, промежуточной или конечной цели разработки.
Событие не имеет протяженности во времени.
Источнику на сети соответствует исходное событие, стоку - завершающее. Работа - это протяженный во времени процесс, требующий затрат трудовых и материальных ресурсов. Каждой работе соответствует одно начальное и одно конечное событие.
Исходное и завершающее события - это начальное и конечное события для всего комплекса рассматриваемых работ. Исходному событию приписывается номер 0 или 1, конечному n .
Например, «установка вышечного блока на тяжеловозы (ТК - 40 )» - работа (i - j), «вышечный блок установлен на тяжеловоз ( ТК - 40 )» - событие j.
Рис.2.1. Обозначение элементов графа
Различают три вида работ:
-
Действительная работа - трудовой процесс, требующий затрат времени и ресурсов.
-
Ожидание - протяженный во времени процесс, но не требующий затрат ресурсов (высыхание окрашенной поверхности, затвердение бетона и т. д.).
-
Фиктивная работа - операция, обозначающая логическую связь между работами, не связана с расходом времени и ресурсов, изображается пунктирной стрелкой.
В детерминированных задачах не учитываются случайные изменения продолжительности работы , которые могут оказывать существенное влияние на срок завершения производственного процесса.
Правила построения сетевой модели «Работы-события»
-
В сетевой модели должно быть одно исходное и одно завершающее событие. Исходное событие не должно иметь входящих стрелок и завершающее событие - выходящих. Промежуточное событие должно иметь как входящие, так и выходящие стрелки.
-
Каждая работа должна иметь начальное и конечное событие.
-
На СГ не должно быть изолированных участков, не связанных работами с остальной частью графика, т.е. «хвостов» и тупиков.
-
На СГ не должно быть контуров и петель, т. к. они означают, что условием начала некоторой работы является ее же окончание.
-
Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой, т.е. не должно быть параллельных работ.
При обнаружении на графике параллельных работ (рис.2.2,А) вводится фиктивное событие и фиктивная работа (событие 2' и работа 2'-2), (рис.2.2, Б).
Рис.2.2. Элементы сетевого графа
Фиктивная работа вводится для отражения зависимости событий, не связанных реальными работами. Например, работы a и б (рис.2.2,В) могут выполняться независимо друг от друга, но требуют одних и тех же исполнителей или одно и то же оборудование, так что работа б не может начаться, пока не освободятся исполнители или оборудование с окончанием работы а. Поэтому вводят фиктивную работу с.
Третий случай - неполная зависимость работ. Например, работа с (рис.2 2, Г ) для своего начала требует завершения работ а и б, но работа г связана только с работой б, а от работы а не зависит.
Четвертый случай введения фиктивных работ - отражение реальных отсрочек и ожидания.
Правильно составленный график всегда может быть упорядочен. Особенно в сложных запутанных сетях упорядочение графика является первоочередным условием для его последующего анализа. Упорядочение СГ заключается в таком расположении работ, при котором все работы - стрелки направлены слева направо. Необходимо, чтобы номер конца каждой работы был больше номера начала. Алгоритм упорядочения таков: на СГ находят исходное событие и присваивают ему номер 0 или 1. Вычеркивают все работы, выходящие из исходного события, и нумеруют события, в которые не входят не вычеркнутые работы. Затем вычеркивают работы, выходящие из пронумерованных событий.
Основные параметры сетевого графа:
Исходная информация - продолжительность работ tij (tij - нормативное время или tij - наиболее вероятное).
tн.в. = tд (1+p) / Q · q · f · kв (2.1)
tд - трудоемкость данной работы, норма - час;
p - доля дополнительных работ, порученных данной группе работников попутно с работой, вошедшей в сетевой график, p = 0,1 - 0,3;
Q - количество работников, участвующих в данной работе, чел.;
q - продолжительность рабочего дня, час.;
f - коэффициент перевода рабочих дней в календарные с учетом отпусков работников, f = 0,66;
kв - коэффициент выполнения норм, kв = 1 - 1,3;
Путь - последовательность работ от исходного до завершающего события (полный путь) или от заданного начального до заданного конечного (неполный путь, подпуть).
Максимальный по продолжительности путь от исходного до завершающего события называют критическим путем. Он показывает минимальное время, которое требуется для выполнения всего комплекса работ. Работы и события, лежащие на критическом пути, называются критическими.
Ранний срок наступления события - длина максимального пути, соединяющего исходное событие с данным.
Раннее время наступления события показывает, какое минимальное время должно пройти от начала выполнения всего комплекса работ до завершения всех работ, входящих в данное событие.
(2.2)
Для исходного события принимается .
Поздний срок наступления события равен разности между длиной критического пути и длиной максимального пути, соединяющего данное событие с завершающим событием.
(2.3)
При этом для завершающего события k ранний и поздний сроки равны: .
Начав от завершающего события, можно найти поздние сроки для всех некритических событий.
Резерв времени наступления события i определяется разностью между поздним и ранним сроками, т. е.
(2.4)
Свободный резерв времени работы i - j рассчитывается по формуле
(2.5)
Полный резерв времени работы i - j определяется по формуле
(2.6)