6.3. Применение динамического программирования в вопросах перспективного планирования.

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов. Изучив этот раздел математического программирования, специалист имеет возможность правильно, дальновидно спланировать деятельность предприятия, фирмы и т.д.

Например, цель работы – рассмотреть задачу строительства объектов для удовлетворения некоторой потребности с минимальными затратами. На современном этапе, в условиях рынка, важно знать – как удовлетворить эту потребность. Нужно ли расширять старое предприятие или строить новое? А если строить новое, то какой мощности? Возникает несколько вариантов. Осуществляя последовательный перебор решений, получим оптимальный вариант удовлетворения потребности при минимальных затратах. Для осуществления рационального перебора решений необходимо вывести функциональное уравнение Беллмана. В качестве примера рассмотрим задачу.

На авторемонтном предприятии (АРП) действует один «низкий» пост, но в связи с увеличением автомобильного парка, с каждым годом увеличивается соответственно и потребность в техническом обслуживании (ТО). Для того, чтобы удовлетворить потребность населения в ТО 100 тыс. обслуживаний в год, необходимо расширить старый имеющийся пост или построить новые посты: «высокий», «универсальный», «напольный» или расширить старый пост и построить некоторые новые.

Рассчитать минимальное количество рабочих для выполнения ТО автомобилей на АРП, если известно количество занятых людей на постах (табл. 6.8).

Таблица 6.8

Исходная информация

Количество обслужи ваний /тыс. в год/ Виды постов	10	20	30	40	50
1.Низкий	-	20	25	30	35
2.Высокий	-	10	15	20	30
3.Напольный	-	15	20	25	40
4.Универсальный	10	13	16	20	25

Решение

Укажем возможные варианты:

0 вариант - удовлетворение потребности в обслуживании автомобилей только за счёт расширения действующего поста.

i-тый вариант состоит в удовлетворении потребности за счёт расширения действующего и строительства новых трёх постов. (i=0,1,2,3)

Выведем функцию Беллмана.

ƒ_i(х) - минимальное количество рабочих, которые должны выполнить х обслуживаний по i-ому варианту. При этом α_i(х) - количество обслуживаний, которое выполняет i -тый пост. Обозначим φ_i(х)- количество рабочих, выполняющих обслуживание на i -том посту.

Предположим, что f_i(х) известно, тогда вычислим f_i+1(х)

Пусть i+1 пост выполняет t обслуживаний , тогда количество занятых рабочих на этом посту равно φ _i+1(t). На долю остальных постов останется х - t обслуживаний.

Согласно принципа оптимальности следует спланировать обслуживание таким образом, чтобы количество рабочих было минимальным, т.е. ƒ_i(х-t). Таким образом, общее количество рабочих составит φ _i+1(t)+ ƒ_i(х-t).

При удовлетворении всех потребностей на ТО автомобилей следует выбирать t таким образом, чтобы эта сумма была минимальной, т.е.

(6.13)

Это есть функциональное уравнение Беллмана. Остается найти значения f_0, f_1, f_2, f₃.

Составляем рабочую таблицу. Для этого подсчитаем функции Беллмана

Таблица 6.9

Расчетная матрица

Кол-во обслуж. х (тыс. в год)	Исходная информация				f0(х)	0(х) тыс. в год	f1(х)	1(х) тыс. в год	f2(х)	2(х) тыс. в год	f3(х)	3(х) тыс. в год
	φ0(х)	φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
10	-	-	-	10	-	-	-	-	-	-	10	10
20	20	10	15	13	20	20	10	20	10	0	10	0
30	25	15	20	16	25	30	15	30	15	0	15	0
40	30	20	25	20	30	40	20	40	20	0	20	0,40
50	35	30	40	25	35	50	30	50	30	0 20 30	25	50
60	-	-	-	-	-	60	40	20 30 40	35	20 30 40	25	50
70	-	-	-	-	-	70	45	20 30 40	40	30 40	35	40
80	-	-	-	-	-	80	50	30 40	45	40	40	40 50
90	-	-	-	-	-	90	55	40	55	0,40	45	50
100	-	-	-	-	-	100	65	50	65	0 30 40 20	55	40 50

ƒ₀(х)= φ ₀(t), 0 ≤ t ≤ 100

.

Результаты расчета представлены в рабочей таблице 6.9. Прочерк в таблице следует понимать как «невыгодно».

Итак, получили ƒ₃(100)=55,т.е. для удовлетворения потребности в 100 тысячах обслуживаний в год необходимо иметь минимум 55 рабочих.

При этом универсальный пост может выполнять α₃(100)=40 либо 50 тыс. обслуживаний в год. Выбираем любой вариант. Пусть универсальный пост выполняет 40 тысяч обслуживаний, тогда 100-40=60. α₂(60)=20 либо 30, либо 40. Выбираем из них любой вариант. Пусть напольный пост выполняет 30 тыс. обслуживаний, тогда 60-30=30 и α₁(30)=30 тыс.

Один из вариантов ответа приведем в таблице 6.10

Таблица 6.10

Результаты расчета

Виды постов	Кол-во обслуживаний (тыс. в год)	Самоконтроль
		Кол-во рабочих
1. Универсальный 2. Напольный 3. Высокий 4. Низкий	40 30 30 0	20 15 20 -

Σ=55