5.3. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность

Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков A_i в количестве a_i (i = 1, 2, …, m) у каждого, необходимо доставить к потребителю B_j в количестве b_j (j = 1, 2, …, n). Известна стоимость C_ij перевозок единицы груза от i - го поставщика j - му потребителю и ограничения по пропускной способности d_ij.

Требуется составить план перевозок, позволяющий вывести все грузы от поставщиков; полностью удовлетворить потребности потребителей таким образом, чтобы этот план имел минимальную стоимость перевозок.

Математическая модель задачи такова

при ограничениях:

,

где d_ij - предельное число единиц продукции, которое может быть перевезено от i- го поставщика j – му потребителю за время, указанное в условии задачи. Такая задача называется ТЗ с ограничениями на пропускную способность (Td). Для решения таких задач может быть приспособлен любой из вычислительных алгоритмов решения обычной ТЗ, например, венгерский метод, метод потенциалов.

Рассмотрим идею венгерского метода решения задачи Td. Идея метода была высказана венгерским математиком Эгервари и состоит в следующем. Строится начальный план перевозок, при котором возможны случаи неудовлетворенной потребности и не вывезенных запасов. Затем, осуществляется переход к новому плану, более близкому, к оптимальному. Последовательное применение этого приема приводит к решению задачи за конечное число итераций.

Венгерский метод наиболее эффективен при решении ТЗ с целочисленными объемами производства и потребления, в этом случае число итераций не превышает величины ₀/2, где ₀ - суммарная невязка подготовительного этапа.

На подготовительном этапе строится матрица x₀ =(x_ij[0])_mn, элементы которой неотрицательны и удовлетворяют неравенствам:

.

Если эти условия являются равенствами, то матрица Х₀- решение транспортной задачи. Если среди условий имеются неравенства, то осуществляется переход к первой итерации. На К- ой итерации строится матрица Х_к = (Х_ij[К])_mn, суммарная невязка которой _К

В результате первой итерации строится матрица x₁, состоящая из неотрицательных элементов. При этом ₁ <₀. Если ₁ = 0, то x₁ - оптимальное решение задачи. Если ₁ > 0, то переходят к следующей итерации. Они проводятся до тех пор, пока _к при некотором К не станет равным 0 . Соответствующая матрица x_k является решением ТЗ.

Достоинством венгерского метода является возможность оценивать близость результата каждой итерации к оптимальному плану перевозок, что позволяет контролировать процесс вычислений и прекратить его при достижении определенных точностных показателей. Особенно это свойство существенно для задач большой размерности. Подробное изложение алгоритма см. в книге: Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа.- М.: Наука, 1969. - 382 с..

5.4. Метод потенциалов для задачи Td

Метод потенциалов - модификация симплекс - метода решения задач ЛП применительно к ТЗ. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. В отличие от обычной задачи, где равенство является необходимым и достаточным условием разрешимости задачи, здесь оно является лишь необходимым условием. Например, если , при каком-то i, то задача решения не имеет. Поэтому достаточным условием разрешимости задачи является существование хотя бы одного допустимого решения.

Исходное решение строится по правилу минимального элемента с учетом ограничений . При этом, если на данном шаге заносимая в клетку величина определяется размерами запасов или потребностей, то, как обычно, в матрице вычеркивается строка или столбец и находится новый минимальный элемент в укороченной матрице. Если же на данном шаге величина определяется только ограничением , то в матрице вычеркивается только данный элемент .

После заполнения всей таблицы может оказаться, что все ресурсы и потребности исчерпаны, то полученное решение является исходным опорным решением. Если же в какой-либо строке или столбце оказались нераспределенные остатки, то вводят дополнительную строку (m+1) с ресурсами

а_m+1 = и дополнительный (n+1) столбец с потребностями (аналогично открытой ТЗ). При этом с_{i, n+1}=c_{m+1, j}=M и с_{m+1, n+1}=0. Полученную расширенную задачу решают методом потенциалов, пока не освободятся все блокированные клетки. Если это удается , то получают опорное решение исходной задачи. В противном случае исходная задача не имеет допустимого решения.

Для оптимальности решения необходимо и достаточно существование потенциалов u₁, u₂,…, u_m, v₁, v₂, …, v_n таких, что выполняются следующие три условия:

Второе условие указывает, что маршруты с отрицательными приведенными затратами следует загружать максимально допустимой величиной перевозки ().

Базисными переменными называются такие x_ij , которые удовлетворяют строгим неравенствам . Однако, если их число окажется меньше ранга r=m + n - 1, то к базисным переменным можно присоединить необходимое число клеток, для которых или при условии ацикличности.