telnov-mechanika-and-TO

энергии не может быть больше полной энергии, то, казалось бы, радиус электрона должен быть больше чем

Здесь все выражено в единицах СГСЭ. Этот размер называют

классическим радиусом электрона.

Для проверки этого утверждения в 1965 году Институте ядерной физики в Новосибирске был построен ускоритель со встречными элек- трон-электронными пучками. С его помощью было установлено, что

радиус электрона меньше, чем 10−14 см. В дальнейшем, с ростом энергии ускорителей, эта граница была опущена до 10-17 см. Пока имеется только верхнее ограничение на размер электрона, но ясно, что он существенно меньше классического радиуса электрона. Получается, что вышеприведенные рассуждения не верны. С одной стороны на таких размерах нужно применять квантовую механику, но этого оказывается тоже недостаточно. По-видимому, кроме положительной электромагнитной массы нужно учитывать какие-то еще взаимодействия, которые дают отрицательную массу (это силы притяжения).

Интересно, чем ограничена точность, с которой измеряют размер электрона (и других частиц)? Одно из ограничений – это необходимость энергии частиц, достаточной для сближения на исследуемое расстояние. Для расстояний равных классическому радиусу электрона

достаточна энергия порядка mc2 ~ 1 МэВ (мегаэлектронвольт). Однако есть еще более жесткое ограничение – это волновые свойства час-

чувствовать размер объекта, размер которого существенно меньше длины волны частиц, сталкивающихся в ускорителе. Поэтому для исследования размеров порядка классического радиуса электрона потребовался ускоритель со встречными пучками, с энергией более 100 МэВ.

Гравитационное взаимодействие

Практически все сказанное выше про электрическое поле справедливо для гравитационного взаимодействия. На самом деле, физическая природа этих взаимодействий совершенно разная, но пока мы рассматриваем слабые гравитационные поля, малые скорости, то разница между ними только в том, что одноименные электрические заряды отталкиваются, а в гравитационные силы – это силы притяжения.

82

Примечание. При сравнении формул для плотности энергии вы заметите разницу, которая связана с наличием константы гравитационного взаимодействия в гравитационной силе и отсутствием таковой в электрической силе. Это связано с тем, что в системе единиц СГСЭ единица электрического заряда определена так, что в формуле для силы константа равна единицы (в системе СИ это не так). Можно было бы так же переопределить единицу массы, чтобы в гравитационном взаимодействии константа G равнялась единицы, тогда была бы полная симметрия в формулах.

Аналогично проблеме радиуса электрона для гравитационных взаимодействий есть проблема, когда при уменьшении радиуса тела его (отрицательная) гравитационная энергия сравнивается по модулю с

полной энергией mc2 . Радиус тела, соответствующий равенству энергии покоя тела и потенциальной гравитационной энергии

соответствует радиусу, при котором происходит гравитационный коллапс и образуется черная дыра. Из черной дыры не может вылететь даже свет, потому они «черные», зато ч. д. захватывают пролетающую мимо материю.

Первые представления о черных дырах относятся к концу 18 века, однако математически их удалось описать только с возникновением

83

общей теории относительности Эйнштейна (1916). Позднее были найдены условия, при которых образуются черные дыры. При массах больше 3 масс Солнца после выгорания термоядерного топлива никакие силы не могут предотвратить гравитационный коллапс. Для такой

массы радиус rS составляет примерно 10 км. Однако очень часто в

конце выгорания ядерного топлива происходит сброс внешней оболочки, и масса звезды становится недостаточной для коллапса. Зато в центрах галактик черные дыры образуются очень хорошо. В нашей Галак-

тике в центре находится черная дыра с массой (M -масса Солнца)

M = 4.3 106 M . В центре многих галактик находятся черные дыры с

массами до 109 масс Солнца.

Для внешнего наблюдателя коллапсирующая материя сжимается до шварцшильдовского радиуса rS и далее картинка как бы застывает (это

эффект замедления времени, описывается общей теорией относительности), однако в системе падающей к центру материи все развивается быстро и плотность дорастает формально до бесконечности.

Интересно, если черная дыра имеет массу порядка солнечной (M ) ,

то ее плотность (масса, деленная на объем внутри шварцшильдовского радиуса) больше плотности ядерной материи (1015 г/см3), однако с рос-

плотности воды. Наблюдатель, счастливо живущий недалеко от центра такой галактики может не заметить, как со временем к центру галактики соберется столько материи, что он окажется живущим в черной дыре. Размер такой ч.д. пропорционален массе, т.е. для рассматриваемого случая будет R~1010 км, время схлопывания будет порядка R/c, что составляет несколько часов.

§ 36. Распады, упругие и неупругие столкновения частиц.

Столкновения частиц на ускорителях (коллайдерах, collideсталкивать) являются основным способом изучения материи. В этой лекции рассматривается динамика столкновений и распадов в нерелятивистском случае.

84

Распады.

Пусть частица массой m, двигавшаяся со скоростью v , распадается на две частицы с массами m1 и m2 с выделением энергии Q . Какие

будут скорости частиц, если после распада первая частица полетела под углом θ относительно исходного направления?

В нерелятивистской механике суммарная масса частиц сохраняется, т.е. m = m1 +m2 . Кинетическая энергия осколков Q в системе покоя

исходной частицы возникает за счет, например, химической энергии взрывчатки. Отсюда находим импульсы и скорости осколков в системе покоя исходной частицы

85

Неупругие столкновения (слипания)

Тело массы m1 , летящее со скоростью, v слипается с покоящимся телом массы m2 . Какая будет конечная скорость и сколько энергии пе-

рейдет в тепло?

Из закона сохранения импульса конечная скорость равна

тогда из закона сохранения энергии количество выделенного тепла равно

§ 37. Упругие столкновения

Частица с массой m1 , летящая со скоростью v1 , упруго рассеивается на частице с массой m2 , летящей навстречу со скоростью v2 . Какая

будет конечная скорость первой частицы, если она рассеялась на угол

θ ?

2левая сила трения), тогда при столкновении между шарами будут действовать только ра-

диальные силы и вращения не возникнет. В этом случае для решения задачи достаточно воспользоваться законами сохранения импульса и энергии:

Уравнение (37.1) представляет собой фактически два уравнения: сохранение продольного и поперечного импульсов. Т.е. всего есть три

86

уравнения, заданыp1, p2, θ , нужно найти p1′, p2′ и угол второй частицы.

Можно в лоб, путем подстановок, решить эту систему из трех уравнений. Однако мы сделаем это проще, воспользовавшись операциями с векторами. Данная техника нам понадобится для решения подобной задачи в релятивистском случае.

Возьмем из (37.1) p2′ = p1 + p2 −p1′и подставим в (37.2). В результате остается одно уравнение

где неизвестным является p1′. Раскрывая и сокращая одинаковые члены, получаем

получаем квадратное уравнение

Происхождение двойного решения такое же, как и при распаде частиц. В случае покоящейся второй частицы, p2 = 0 , формула упрощается

При θ = 0 и m1 > m2 имеем

87

Первое решение – это пролет мимо (легкое касание), второе – лобовое столкновение, причем при равных массах налетающая частица останавливается.

В случае лобового столкновения m1 < m2 налетающая частица полетит назад ( θ = π ), при этом

Из (37.10) следует, что при столкновении бесконечно тяжелой стенки с покоящейся частицей последняя приобретает скорость

v2′ = 2v1 . Этот результат можно легко получить, перейдя в систему стенки, где покоящаяся частица налетает на стенку со скоростью v1 и отскакивает с той же скоростью. Переходя обратно в лабораторную

систему, получаем v2′ = v1 +v1 = 2v1 .

Столкновение в случае трения

Пусть брусок налетает под углом θ1 на бесконечно тяжелую плос-

кость, коэффициент трения с которой k . Найдем угол отражения, считая соударение упругим.

Здесь, хотя и все деформации упругие, т.е. в самих телах тепло не выделяется, однако энергия может теряться за счет силы сухого тре-

88

При получении этой формулы мы предположили, что имеет место проскальзывание в течение всего времени взаимодействия. Но проскальзывание прекращается, когда горизонтальная скорость становится равной нулю, отсюда следует, что

Есть еще один режим, когда проскальзывания нет вообще. При этом сила будет действовать против полной скорости, что приведет к полной остановке тела, а затем силы деформации отбросят тело точно назад. Поскольку сила действует в направлении скорости, то условие

непроскальзывания, «заклинивания», F < kF , т.е. sin θ1 < k cos θ или

§ 38. Закон сохранения момента импульса

До сих пор мы упоминали момент импульса только в связи с третьим законом Ньютона, не вдаваясь в детали. Третий закон Ньютона гла-

сит: силы взаимодействия двух материальных точек i и k равны по модулю и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные

точки: Fik = −Fki . Этот постулат означает, что в любой замкнутой

системе сохраняется момент импульса. Выясним, что это такое. По определению, момент импульса системы частиц это

Для одной частицы L = r p = rp , где r = r sin θ, p = p sin θ , т.е момент импульса материальной точки (частицы) относительно точки начала отсчета равен импульсу тела, умноженному на длину перпендикуляра, опущенного из начала отсчета на траекторию частицы. Мо-

89

мент импульса направлен перпендикулярно плоскости, лежащей на векторах r и p . Это аналогично движению точки по окружности, рас-

смотренному ранее, где был введен вектор угловой скорости, направленный перпендикулярно плоскости движения, вдоль оси вращения.

Все взаимодействия в системе частиц можно рассматривать как сумма взаимодействий пар частиц. Для любой пары

Учитывая, что p1 = −p2 , получаем

Здесь первые два члена равны нулю потому, что скорость и импульс частицы имеют одинаковое направление и их векторное произведение равно нулю. Третий член равен нулю вследствие третьего закона Ньютона (поскольку сила параллельна радиус-вектору, соединяющему частицы). Таким образом, в природе имеет место закон сохранения мо-

мента импульса.

Следствия этого закона рассматриваются в разделах движение твердого тела и движение в центральном поле.

§ 39. О происхождении закона сохранения энергии, импульса и момента импульса

Закон сохранение энергии

Энергии для системы частиц

Выражение в скобке равно нулю по второму закону Ньютона. Таким образом: закон сохранения энергии работает, если потенциальная энергия явным образом не зависит от времени, а является функцией только координат.

90