telnov-mechanika-and-TO

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, что означает, что физические законы не зависят явным образом от времени.

Пример несохранения энергии: пусть мяч подбросили вверх с некоторой скоростью и, пока он летит, вверх ускорение свободного паде-

ния равно g1 , а когда падает вниз, то g2 . В этом случае мяч вернется на

землю с другой скоростью, т.е. полная энергия не сохраняется. Для того, чтобы поменялась g при неизменной массе и размерах Земли нуж-

но, чтобы изменилась фундаментальная константа G .

Закон сохранения импульса

Пусть имеется система частиц, в которой на i -ю частицу действуют сила Fi со стороны остальных частиц. Прикладывая бесконечно малые

внешние силы сместим всю систему на δR , не изменяя взаимного расположения частиц в системе. Суммарная работа всех сил равна нулю, поскольку пространство однородно и внутренняя энергия системы не зависит от места системы в пространстве, т.е.

Отсюда получаем, что ∑Fi – сумма сил в системе равна нулю, а,

i

следовательно, суммарный импульс системы сохраняется. Таким обра-

зом, закон сохранения импульса обусловлен однородностью пространства.

Например, если бы в пространстве были невидимые нам тела, действующие неизвестными нам силами на наблюдаемые тела, то мы заключили бы, что импульс не сохраняется.

Закон сохранения момента импульса.

Используем ту же логику, что и при рассмотрении закона сохранения импульса, но не для сдвига, а для поворота системы в пространстве. Пусть имеется система частиц, в которой на i -тую частицу действуют силы Fi со стороны остальных частиц. Прикладывая бесконечно

малые силы повернем всю систему на уголδ φ, не меняя взаимного

расположения частиц в системе. Суммарная работа всех сил равна нулю, поскольку пространство изотропно и внутренняя энергия системы не зависит от ориентации системы в пространстве:

δA = ∑Fiδri = ∑Fi[δφ×ri ] = ∑δφ[ri ×Fi ] = δφ∑[ri ×pi ] = 0 (39.5)

91

Это означает, что сумма моментов сил в изолированной системе равна нулю. Отсюда,

Здесь первая сумма равна нулю вследствие параллельности скорости и импульса, а вторая сумма равна нулю из-за равенства нулю момента сил.

92

Первый способ основан на поиске выражения для релятивистского импульса путем рассмотрения частных случаев взаимодействия частиц и требования инвариантности явления при переходе в другую систему отсчёта. Второй способ, более формальный, опирается на свойства 4- векторов.

Будем искать выражение для импульса в виде

Ядра встречаются и слипаются. Из симметрии ясно, что в неподвижной системе импульс образованного тела равен нулю. Тогда, в системе поезда 1 это тело не движется в поперечном направлении и его поперечный импульс равен нулю. Отсюда суммарный поперечный импульс ядер до столкновения также равен нулю, т.е.

вертикальная и полная скорость ядра, выпущенного с поезда 2, в системе поезда 1. Пусть относительная скорость поездов равна V , тогда из формул преобразования для Y -скоростей (22.4) с учетом,

чтоvx ядра в системе своего поезда 2 равна нулю, находим

94

1−V 2c2

Врезультате получаем искомое выражение для импульса при произвольных скоростях

При этом закон сохранение импульса будет имеет вид

Давайте, еще раз рассмотрим данный пример с несколько другой стороны. В исходной системе платформы vy - скорости ядер были рав-

ны, а в системе одного из поездов разные. Поперечные размеры при движении не меняются, vy изменилась за счет преобразования време-

ни. А что, если вместо обычной скорости использовать 4-скорость? 4 скорость отличается от обычной тем, что вместо дифференцирования координаты по dt , производная берется по собственному времени час-

тицы dτ = dt 1 −v2 / c2 , ф-ла (25.12), которое является инвариантом. Тогда пространственные компоненты 4-скорости равны

при этом Y -компонента 4-скорости ядер, как было сказано выше, одинаковы и в системе платформы и в системе поездов. Закон сохранения Y -импульса автоматически выполняется, если импульс определить как

1 −v2/ c2

Это выражение совпадает с формулой (40.9), полученной на частном примере. Закон сохранения импульса будет выглядеть как

95

§ 41. Релятивистская энергия

Рассмотрим распад тела с массой M на две части с массами m1 и m2 . В системе покоя исходного тела разлет происходит в противоположных направлениях, рис. 32.

Поскольку исходная масса могла бы распасться и на другие составляющие, то (41.2) можно переписать в виде

1−v2c2

иназовем эту величину релятивистской энергией частицы. К такому термину есть основания: при v → 0

96

т.е. энергия отличается от энергии в покое на нерелятивистскую кинетическую энергию.

В этих терминах (41.4) можно записать в виде

– это закон сохранения энергии в релятивистском случае. При малых скоростях он переходит в нерелятивистский закон сохранения кинетической энергии. Кинетической энергией в общем случае можно назвать величину

1 −v2c2

Таким образом, мы получили релятивистский закон сохранения энергии. Этот закон вытекает автоматически из закона сохранения импульса и преобразований Лоренца.

Ввиду исключительной важности закона сохранения энергии выведем формулу (41.5) тем же способом как было доказано ранее, что в нерелятивистском случае при столкновениях и распадах имеет место

закон сохранения массы ∑m i = ∑mj . Для доказательства мы ис-

i j

пользовали нерелятивистский закон сохранения импульса и преобразования Галилея для скоростей.

Итак, рассмотрим снова распад тела с массой M на две части с массами m1 и m2 вдоль оси X . Исходим из закона сохранения импульса в релятивистском случае, записанного через 4-скорости

Рассмотрим теперь тот же распад в системе отсчета движущейся вдоль оси X со скоростью V . В движущейся системе отсчета закон сохранения импульса будет

97

Производя сокращения с учетом (41.9) и используя выражения для нулевой компоненты 4-скорости частицы

получаем ф-лу (41.2)

В следующем параграфе, будет показано, что релятивистские энергия и импульс являются компонентами 4-импульса, откуда следует закон их преобразования при переходе в другую систему отсчета.

Рассмотрим некоторые фундаментальные и практические следствия релятивистского закона сохранения энергии.

1. При столкновении частиц с массами m1 и m2 может образоваться частица с массой M m1 +m2 .

2. Если в конечном состоянии сохраняются исходные частицы и рождаются новые, то можно сказать, что эти новые частицы образовались из "чистой" кинетической энергии. Пример такой реакции

В этой реакции на ускорителе в 1955 году впервые наблюдали антипротон.

3. При распаде частицы выделяется кинетическая энергия

Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, при этом масса ядер меньше, чем суммарная масса свободных протонов и нейтронов:

называется дефектом массы. Этот «дефект масс» обусловлен отрицательной энергией связи, которая приводит к уменьшению массы ядер.

98

На рис. 34 приведена удельная энергия связи, т. е. энергию связи на один нуклон. Энергия связи отрицательная, но приводят ее везде по абсолютной величине. Наибольшая энергия связи у элементов в районе Fe. Она составляет почти один процент от массы ядра. Выделить эту энергию можно (частично) при слиянии легких ядер или распаде тяжелых ядер. Высвобождается (переходит в кинетическую) энергия равная разности энергий связи.

Средняя энергия связи на нуклон (МэВ)

Число нуклонов в ядре

Рис. 34

Так при поглощении нейтрона ядроU235 быстро разваливается на две части с испусканием нескольких нейтронов

Еще большая энергия (до 0.4 % от Mc2 ) выделяется в реакции син-

В одном килограмме вещества E = mc2 ≈ 1017 Дж , в то время как энергия, выделяющаяся при сжигании 1 кг угля, составляет ~1.5.107 Дж. Таким образом, даже при использовании 0.1% mc2 , будет выделяться энергии в 5.106 раз больше, чем при сжигании угля.

99

Массы частиц, точнее mc2 , принято измерять электронвольтах. Электронвольт – это энергия, набираемая частицей с зарядом равным заряду электрона, при прохождении разности потенциалов один Вольт

Производные единицы –

1кэВ ≡ 103 эВ, 1 МэВ ≡ 106 эВ, 1 ГэВ ≡ 109 эВ и т.д..

Втаблице приведена энергия покоя некоторых частиц

§42. Четырехвектор энергии-импульса.

Впредыдущих двух параграфах были найдены выражения для релятивистского импульса и энергии и сформулированы законы их сохранения. Можно к этим вопросам подойти по-другому, используя язык теоретиков. Часто теоретические подходы делают картину более прозрачной, чем использование специальных ухищрений для получения того или иного результата.

Предположим, при соударении тел (упругом и неупругом) имеет место закон сохранения импульса

Этот закон должен быть справедлив в любой инерциальной системе, значит при преобразованиях Лоренца обе части должны преобразовываться одинаковым образом. В этом случае говорят, что закон имеет ковариантный вид. При p = mv такой ковариантности

при релятивистских скоростях очевидно нет. Если бы импульс был 4- вектором, тогда ковариантность была бы гарантирована. А почему?

Возьмем сначала привычное трехмерное пространство, в котором некий закон записан в виде равенства двух векторов

100