telnov-mechanika-and-TO

Рассмотрим еще вопрос, как часто Земля и Марс имеют расположение удобное для полетов? Пусть З и wM -угловые скорости движения

Земли и Марса вокруг Солнца. Тогда в системе отсчета, вращающейся вместе с Землей, угловая скорость Марса w = wЗ -wM . Время взаимное расположение повторяется с периодом

Нужно еще учесть, что орбита Марса имеет большой эксцентриситет. Минимальное расстояние до Солнца 207 млн. км, максимальное 249 млн.км. Если сильно экономить, то лететь нужно, когда Марс находится близко к Солнцу (меньше будет большая полуось орбиты), это порядка четверти всего времени. Такие очень удобные случаи будут повторяться через 2.14/0.25~8 лет.

Полет к Солнцу

Посмотрим, сколько времени займет полет к Солнцу и какая для этого нужна скорость. Полет к Меркурию близок к полету на Солнце, туда уже летал «Маринер-10» 1974—1975 гг.

Оптимальная орбита для полета на Солнце—это сильно вытянутый эллипс, имеющий двойную полуось равную расстоянию до Солнца.

Учитывая, что T 2 µa3, а полуось в двое меньше, чем радиус орбиты Земли, находим время полета к Солнцу

Скорость на орбите Земли должна быть нулевой, для этого нужно запустить ракету в сторону противоположную орбитальной скорости Земли со скоростью 30 км/с. Вдобавок, нужно выйти за пределы тяготения Земли. Необходимая для всего этого скорость

Это вдвое больше, чем третья космическая скорость (71.11), необходимая для покидания Солнечной системы

181

§ 72 Средние потенциальные и кинетические энергии в связанных системах, теорема о вириале.

Начнем с кругового движения. При движении по круговой орбите в поле

В природе чаще всего встречаются силы с n = 1 (электрическое и гравитационное взаимодействия), однако бывают и другие. Например, между нейтральными молекулами существуют силы Ван-дер-ваальса (диполь-дипольные взаимодействия) с n = 6 . Кинетическая энергия при движении по окружности находится из уравнения движения

Отсюда находим соотношения между кинетической, потенциальной и полной энергиями

Пример. Пусть искусственный спутник Земли за много оборотов тормозится в верхних слоях атмосферы, при этом орбита остается примерно круговой. Что происходит со скоростью? На первый взгляд, раз тормозится, то скорость уменьшается. Это было бы так, если торможение происходило на коротком участке орбиты, а при медленном торможении нужно учесть изменение радиуса орбиты. Торможение означает уменьшение полной энергии. Из (72.4) следует, что уменьшение полной энергии означает уменьшение потенциальной энергии (уменьшение радиуса орбиты) и увеличение кинетической энергии!

182

Рассмотрим теперь произвольное финитное движение системы частиц. Запишем уравнение движения для одной частицы

Усредним это выражение по большому времени, много большему, чем характерные времена в системе ( t ~ r / v ). Среднее от функции f (t)

это

f (t) dt

Для предпоследнего члена интеграл равен выражению, стоящему после знака производной. При финитном движении скорости и расстояния конечные, поэтому сумма в предпоследнем члене (72.8) есть некое

Величина -21 åFr называется вириалом сил, действующих в систе-

ме, а выражение (72.10) называют теоремой о вириале (Клаузиус, 1870).

В данном выражении F – это сила, действующая на одну из частиц со стороны всех остальных, а r – радиус-вектор частицы. Суммирование производится по всем частицам, так что (72.10) представляет собой двойную суму. Однако ранее мы убеждались, что все силы в системе можно разложить на парные взаимодействия, в которых пары силы имеют противоположные направления, а полная потенциальная энергия системы есть сумма энергий парных взаимодействий. Поэтому, для простоты, не умаляя общности, рассмотрим систему всего из двух частиц. Тогда

183

В итоге, мы получили соотношение между потенциальной и кинетической энергиями в системах частиц, совершающих финитные движения, где потенциальная энергия взаимодействия между частицами

U = -ran . Соотношение оказалось таким же, как и для круговых ор-

бит.

§ 73 Астрофизические следствия теоремы о вириале

Связь излучения с температурой и размером системы

Пусть есть некоторая туманность, которая светится, тем самым теряя энергии. Из (72.15) для гравитационного взаимодействия ( n 1) K = -E . Раз E убывает, значит, кинетическая энергия растет. Кине-

тическая энергия пропорциональна температуре, K = 23 kTN , (k - постоянная Больцмана), поэтому температура тоже растет. При этом размер туманности уменьшается, поскольку E =U2 ~ -GMr 2 , умень-

шение E означает уменьшение r .

Если на Солнце отключить термоядерные реакции, то его температура начнет расти! Собственно так и происходит. Когда в звезде выгорает водород, она начинает уменьшаться в размерах, ее температура возрастает, и начинают гореть более тяжелые элементы (гелий и.т.д.). «Горением» здесь является синтез тяжелых элементов из легких.

184

Неустойчивость межгалактического газа

Однородный газ не может быть гравитационно-устойчивым поскольку, если брать всё большие размеры, то потенциальная энергия

шара пропорциональна U µ M 2 , а кинетическая энергия пропорциональна количеству молекул, т.е. K µ M . Для устойчивости же необ-

ходимо K = -U2 . Газовое скопление будет сжиматься, если (опускаем численные коэффициенты)

Это есть характерное расстояние между галактиками.

§ 74. Влияние солнечной радиации на движение малых тел

Давление света

Пусть пылинка радиуса R и плотности r находится на некотором

расстоянии r от звезды массы M , излучающей во все стороны мощность P . При поглощении света на пылинку действует сила, направленная от звезды,

Сила гравитационного притяжения

Обе силы пропорциональны 1 / r2 , так что, если одна из них больше другой, то так будет на всех расстояниях. Пылинка будет удаляться от звезды при Frad > Fg , т.е. при

185

Таким образом, солнечный свет выдувает из солнечной системы все мелкие пылинки.

Эффект Пойнтинга-Робертсона

Пусть небольшое тело движется по круговой орбите вокруг Солнца. Солнечный свет падает на тело, а затем эта энергия изотропно (в системе тела) испускается в пространство. При поглощении порции энер-

гии de масса тела увеличивается на dm = dce2 . Эта дополнительная масса приобретает скорость тела и импульс вдоль траектории движения dp = vdm = dce2 v (при этом общий импульс тела вдоль орбиты не

меняется, т.к. фотоны прилетают перпендикулярно траектории). Световое давление на тело вдоль радиуса приводит только к не-

большому уменьшению силы притяжения, которая остаются пропор-

циональна 1/ r2 (см. предыдущую задачу), им можно пренебречь. Поскольку температура тела в среднем сохраняется, вся поглощен-

ная энергия излучается изотропно в пространство, унося с собой этот импульс, забранный его у тела. Следовательно, тело испытывает силу трения

где P – мощность Солнца, r – расстояние от Солнца, v – орбитальная скорость, R – радиус тела. Сила трения ведет к уменьшению полной механической энергии тела, которая, по теореме о вириале, равна половине потенциальной энергии. Отсюда следует уравнение движение тела

186

Отсюда время падения на Солнце (r = 0 )

За время существования солнечной системы (~5 млрд. лет) с орбиты Земли на Солнце упали все тела с радиусом меньше 250 см. Они, конечно, не упали, а испарились при падении, а останки вынеслись солнечным ветром за пределы солнечной системы. Однако, сейчас на орбите Земли могут быть другие тела, которые вначале были на краю Солнечной системы.

§ 75. Модель расширяющейся Вселенной, критическая плотность

Из наблюдений следует, что Вселенная в среднем очень однородна, изотропна, безгранична, и при этом расширяется. Если взять две галактики, то они притягиваются друг к другу. С другой стороны на них действуют силы со всех сторон, будет ли они ускоряться относительно друг друга? Рассмотрим модель такой однородной Вселенной, наполненной пылью (нет давления). Найдем силу, действующую со стороны выделенного в пространстве шара, на маленькое пробное тело, находящееся на границе этого шара и движущееся при расширении вместе с этой границей. Это может быть просто частичка пыли на границы

187

Во время расширения на пробное тело действует все время одна и та же масса M , и мы можем записать закон сохранения энергии для пробного тела

где A = const . Если A = 0 , то скорость на бесконечности будет равна нулю; если A < 0 , то после достижения радиуса R = -GMA шар нач-

нет сжиматься. При A > 0 шар будет расширяться до бесконечности,

при этом v¥ = 2A .

При однородном расширении относительная скорость движения двух точек в данный момент времени пропорциональна расстоянию между этими точками

где H – некая константа, постоянная Хаббла. Она зависит от времени, но в любой данный момент одинакова во всем пространстве. Подставляя в (75.2) v = HR , получаем

Здесь плотность взята в тот же момент времени, что и постоянная

188

Критическая плотность является одной из важнейших величин в космологии. Постоянная Хаббла измерена экспериментально по «красному смещению» спектров объектов, до которых известно расстояние, известна с точностью в несколько процентов и равна

Определение средней плотность оказалось очень сложной задачей. Прямой подсчет видимой массы (Звезды, светящийся газ) давал

r ~ 0.04rкр , и только в ~2005 году удалось измерить плотность Вселе-

ной косвенным образом с однопроцентной точность. Оказалось, что плотность Вселенной равна критической плотности

При этом известные формы материи составляют всего около 5%. Более подробно о Вселенной будет рассказано в последней главе.

§ 76. Рассеяние частиц

При прохождении пучка частиц через мишень некоторые частицы рассеиваются, а некоторые могут вообще исчезнуть в результате ка- кой-то реакции. Вероятность взаимодействия пропорциональна толщине мишени dx и ее плотности n

где коэффициент пропорциональности называют сечением процесса. Его геометрический смысл простой: если частицы мишени представляют собой шарики радиуса R , а налетающие частицы имеют сущест-

венно меньшие размеры, то s = pR2 , т.е. сечение равно проекционной площади частиц мишени.

Рассеяние является упругим, если исходные частицы остаются неизменными и новых частиц не рождается, В обратном случае процесс рассеяния является неупругим.

При упругих столкновениях частицы могут рассеяться на различные углы. Обычно, чем ближе к рассеивающему центру пролетает частица, тем больше угол рассеяния. В классической (не квантовой) физике это учитывается это следующим

где r прицельный параметр, т.е. расстояние от исходной траектории от рассеивающего центра. В случае упомянутых шариков (76.2) после интегрирования по прицельным параметрам переходит в s = pR2 .

189

Прицельный параметр в задаче рассеяния является ненаблюдаемой величиной, однако, его можно связать с углом рассеяния. Пусть имеется зависимость r(q) , тогда

Здесь взято абсолютное значение производной, поскольку, угол обычно отсчитывают от нуля и dq является положительной величиной, а

ddrq может быть как положительной, а чаще отрицательной величиной

(угол уменьшается при увеличении прицельного параметра).

Сечение обычно относят не к элементу плоского угла q , а к элементу телесного угла

При рассеянии поляризованных частиц сечение может зависеть не только от полярного угла q , но и от азимутального угла.

Следует заметить, что в микромире для описания процессов рассеяния необходимо использовать квантовую механику, поскольку движение частицы в большинстве случаев нельзя описать траекторией с прицельными параметрами. Однако, мы продолжим рассмотрение в рамках классической механики. Будет с чем сравнить при изучении квантовой механики.

76. Рассеяние на сфере

190