telnov-mechanika-and-TO

поле потенциально. Обычно полагают U(∞) = 0 , т.е. const = 0 . Если сила отталкивающая, α > 0 , то U(r) > 0 , и U(r) < 0 для сил

притяжения.

Сила трения

где a(v)>0, т.е. сила направлена против скорости.

∫ f dl = ∫ f vdt = −∫ a(v)v dt < 0 ≠ 0 – сила непотенциальная.

§ 32. Закон сохранения энергии

Рассмотрим теперь систему частиц, взаимодействующих посредст-

71

Здесь здесь i может равняться j , т.к. при этом dri j = 0 .

Пусть Fi jdri j = −dUi j по определению, назовем Ui = ∑Ui j потен-

j≠i

циальной энергия частицы i в поле остальных частиц, тогда в соответствие с (32.8) полная потенциальная энергия

учитываем взаимодействие частиц i и j . Например, рассмотрим два заряда. Потенциальная энерия первого заряда в поле второго равна

здесь

E – полная механическая энергия частиц

K – это кинетическая энергия частиц в системе,

U – потенциальная энергия частиц.

Примеры.

1) Тело, летящее в однородном гравитационном поле Земли:

2) Качели, массы m1 и m2 , плечи l1 и l2 , в равновесии.

Для того чтобы качели были уравновешенны, требуется, чтобы потенциальная энергия не изменялась при наклоне качелей (тогда не возникает сил). Поскольку потенциальная энергия

гдеdα – угол наклона качелей. Система находится в равновесии при

72

Получили правило рычага. В такой системе можно поднимать одно тело за счет опускания другого. Здесь кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия одного тела переходит в потенциальную энергию другого тела.

3) Упругое столкновение шариков.

Здесь, наоборот, потенциальная энергия равна нулю, но сохраняется кинетическая энергия.

4) Энергия двух тел, связанных кулоновской силой

Здесь

Внутренняя энергия тела

Если тело не вращается как единое целое, то у него есть внутренняя энергия тела Eвн , которая состоит из кинетической (тепловой) и по-

тенциальной энергии взаимодействующих частиц.

При столкновении макроскопических тел кинетическая энергия может переходить частично во внутреннюю энергию, но полная энергия все равно сохраняется.

Здесь Eвн это кинетическая и потенциальная энергия частиц внутри тел.

73

§ 33. Изменение энергии под действием непотенциальных сил

Если в системе все силы потенциальны, то E = K +U сохраняется. Если на систему действует некая непотенциальная сила, то полная энергия будет меняться.

Простейший пример – это сила трения. При движении тела по горизонтальному столу гравитационная потенциальная энергия постоянна, а изменение кинетической энергии за счет силы сухого трения

Рассмотрим теперь более сложный пример: торможение спутника, летающего вокруг Земли по круговой орбите. Сила торможения за счет остаточного газа направлена против скорости. Как будет меняться скорость спутника и радиус орбиты?

Решение: Радиус орбиты находится из условия, что притяжение Земли обеспечивает ускорение, необходимое для движения по круговой орбите центростремительное ускорение

Отсюда кинетическая энергия спутника

Потенциальная энергия (притяжение)

Сравнивая (33.3), (33.4), мы видим, что при движении по круговой орбите

Поскольку сила трения направлена против скорости, то работа силы трения ведет к уменьшению полной энергии

т.е. кинетическая энергия увеличивается! Странный результат, не так ли? Тело тормозится и при этом ускоряется. Свободная частица всегда

74

тормозится за счет сил трения. Разгадка странного поведения состоит в том, что в данной задаче, происходит подкачка кинетической энергии за счет уменьшения потенциальной энергии.

Изменение потенциальной энергии

Поскольку U уменьшается, то из (33.4) следует, что радиус орбиты уменьшается.

Мы еще будем подробно заниматься движением планет и спутников в центральном поле.

§ 34. Электромагнитное и гравитационное взаимодействие, поле, расчет силы и потенциальной энергии

При рассмотрении потенциальной и кинетической энергии мы взяли уравнение движения (второй закон Ньютона), умножили обе части на вектор перемещения и проинтегрировали. В результате, вместо уравнения второго порядка (содержащего вторую производную координаты, т.е. ускорение) получили уравнение первого порядка (содержит скорость), которое по физике эквивалентно исходному уравне-

нию движения. Однако, введенные понятия, такие как работа, кинетическая энергия, закон сохранения механической энергии оказываются очень плодотворными и помогают проще решать многие задачи.

Было установлено, что есть большой класс потенциальных сил (взаимодействий), работа которых зависит только от начальной и конечной точки, а не от конкретного пути, что позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Потенциальной энергия определяется с точностью до константы, поэтому за ноль может быть принята любая удобная точка (например, бесконечность, для убывающих сил). При движении под действием таких сил полная энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, сохраняется. Действие непотенциальной силы (такой как сила трения) приводит к изменению полной энергии.

Было установлено, что в системе частиц, связанных потенциальными силами, для нахождения суммарной потенциальной энергии нужно просто просуммировать потенциальные энергии всех пар частиц. Энергия каждой пары зависит только от расстояния между частицами. Для нахождения потенциальной энергии двух частиц нужно “закрепить” одну из частиц (любую) и найти работу по перемещению второй

75

частицы от места нахождения до начала отсчета (или наоборот, но тогда с обратным знаком).

Пример. Электростатическая сила взаимодействия двух зарядов в системе СГСЭ

Рассмотрим следующую задачу. Имеется 4 одинаковых частицы с зарядом q, массой m , расположенные в углах квадрата со стороной b . Частицы отпускают, какая будет скорость частиц на бесконечности?

Из симметрии ясно, что скорости всех частиц будут одинаковы. Найдем исходную потенциальную энергию системы частиц. Расстояние от первой частицы до остальных трех составляет

Здесь фактор 21 появляется потому, что при сложении потенциальной

энергии каждой частицы энергий каждой пары учитывается дважды. Из закона сохранения энергии начальная энергия (in-itial) равна ко-

нечной (f-inal)

76

Поле

При электромагнитном, гравитационном (и всяком другом) взаимодействии частицы действуют друга на друга на расстоянии. Как это возможно? Это очень сложный вопрос, выходящий за рамки классической механики. Говоря языком квантовой теории поля можно сказать, что взаимодействия осуществляются путем обмена виртуальными частицами – переносчиками взаимодействий. В электромагнитных взаимодействиях таким переносчиком является фотон, в гравитационных – гравитон, в слабых – W и Z бозоны, в сильных – глюоны. Электромагнитное и гравитационное поле на больших расстояниях можно описывать на языке классической физики, в которой считается, что частицы создают вокруг себя некое (материальное) поле, которое оказывает воздействие на другие частицы с силой, зависящей от напряженности поля.

Понятие поля возникло и плодотворно используется в классической физике уже давно, давайте и мы рассмотрим некоторые свойства поля на примере электрического взаимодействия (выводы легко перенести на гравитационное взаимодействие). Детально электрические явления изучаются в курсе электродинамики, здесь мы рассмотрим только механические аспекты.

Электромагнитное взаимодействие

Взаимодействие первого заряда на второй можно записать в виде

где E - электрическое поле, создаваемое первой частицей. В этом случае потенциальная энергия взаимодействия будет

Поля, спадающие с расстоянием как 1/r2 удобно изображать сило-

выми линиями, плотность которых пропорциональна напряженности поля. Нетрудно видеть, что поток поля через любую сферическую поверхность, охватывающую заряд не зависит от расстояния этой поверхности от заряда. Действительно

77

поверхности в каждой ее точке и направленный наружу из

Полученное соотношение называется теоремой Гаусса. Это основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей, входит в систему уравнений Максвелла. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченном этой поверхностью. Эта теорема справедлива только для полей, спадающих

с расстоянием как 1 / r2 .

Используя теорему Гаусса легко найти электрические поля в простейших конфигурациях.

Поле от заряженной плоскости.

Пусть плоскость имеет заряд с поверхностной плотностью σ = QS .

Охватываем заряд поверхностью в виде цилиндра с единичной площадью дна (рис.

E25), тогда из теоремы Гаусса (боковые поверхности не дают вклад в поток) находим 2E = 4πσ , отсюда

заряда здесь используются буквы q или Q , первая для точечного заряда, вторая для заряда, распределенного в пространстве.

Поле заряженной нити.

Пусть нить заряжена с линейной плотностью λ = Ql . Охватывая

нить цилиндром радиуса r и единичной длины и применяя теорему Гаусса, находим 2πr E = 4πλ, отсюда

78

Поле снаружи и внутри заряженной сферы

Из симметрии силовые линии поля заряженной сферы представляет собой симметричный ежик. Охватывает заряженную сферу с зарядом Q сферической поверхностью радиуса r , из теоремы Гаусса получаем

4πr2E = 4πQ и поле

такое же, как поле точечного заряда.

Внутри заряженной сферы, если и есть какое-то поле, то из симметрии оно должно быть радиальное. Охватывая центр сферы поверхность с радиусом меньшим, чем радиус заряженной сферы, получаем, что охваченный поверхностью заряд равен нулю, а, следовательно, и поле внутри заряженной сферы равно нулю.

Потенциал заряженной сферы

Раз поле от заряженной сферы такое же, как и от точечного заряда, то и потенциал на поверхности сферы будет таким же

где R – радиус сферы.

Потенциальная энергия заряженной сферы

Мы знаем, как находить потенциальную энергию для дискретных зарядов, здесь же заряд размазан по поверхности. Рассмотрим несколько подходов к этой задаче.

Потенциальная энергия – это фактически работа поля, которую нужно затратить, чтобы заряды, находящиеся на бесконечности друг от друга, собрать на сфере. Пусть на сфере уже есть некий промежуточный заряд Q , тогда потенциал сферы ϕ =Q/R . Работа по переносу

очередной порции заряда dQ с бесконечности на поверхность сферы

79

Следует заметить, что в (34.18) нет привычного знака минус перед интегралом, поскольку в данном случае dA – это не работа, которую совершают заряды, а работа, которую совершают над зарядами. Она имеет противоположный знак.

Потенциальная энергия заряженного шара.

Пусть заряд Q0 однородно распределен по объему шара радиуса R .

Поле внутри шара на расстоянии r от центра создается только зарядами, которые находятся ближе к центру, тогда

Поле равно нулю в центре и линейно растет от центра до поверхности шара, а далее спадает как поле от точечного зарядаE = Qr20 .

Для нахождения потенциальной энергии шара будем, как и в предыдущей задаче, добавлять заряд малыми порциями, при этом размер шара будет нарастать с нуля доR . Если шарик уже имеет размер r , то его потенциал

Далее заметим, что приращение заряда связано с приращением радиуса как

§ 35. Энергия поля, классический радиус электрона, черные дыры

Мы нашли потенциальную энергию для сферы, шара, а где сидит эта энергия? В поле, где же еще. Найдем эту связь.

80