telnov-mechanika-and-TO

Рассмотрим сначала простейший случай, когда угловая скорость постоянна, например, тело вращается на закрепленной оси. Тогда точ-

ки тела движутся вокруг оси на расстояниях ri = ri sin qi со скоростями v^ = riw , тогда выражение для кинетической энергии приобретает простой и понятный вид

Величина I называется моментом инерции тела относительно оси.

Момент импульса тела

Найдем момент импульса вращающегося тела в неподвижной системе отсчета. По определению

Если начало отсчета подвижной системы, прикрепленной к телу, отсчитывается от центра масс тела, то åmr = 0 , поэтому второй и тре-

тий члены равны нулю. В результате получаем

Отсюда видим, что момент импульса есть сумма момента импульса, связанного с поступательным движением, и момента импульса вращательного движения. Если импульс тела равен нулю, то момент импуль-

са не зависит от начала отсчета.

Далее будем считать, что центр масс тела покоится. Используя пра-

Это есть общее выражение для момента импульса тела относительно центра масс тела (точки). Во-первых, замечаем, что направления момента импульса и угловой скорости в общем случае не совпадают.

201

Возьмем, например, гантели, у которой одна масса m расположена в

точке r , а вторая масса в точке -r , при этом направление вектора r не совпадает с направлением угловой скорости. В соответствие с

(80.9) полный момент импульса L = 2 åm(ωr2 - r(rω)), откуда вид-

но, что направления угловой скорости и момента импульса отличаются.

При вращении тела вокруг закрепленной оси направления L и ω также могут не совпадать, как в рассмотренном выше примере. Кроме того, направление L может не сохраняться, т.к. подшипники могут давить на ось в боковом направлении, создавая момент сил, изменяющий момент импульса (это и будет происходить в рассмотренном примере). Однако, при вращении тела вокруг оси сохраняется проекция момента импульса на направление угловой скорости. Действительно, если сила действует на ось перпендикулярно оси, то создаваемый ей момент сил в направлении оси вращения (пусть это ось Z ) равен нулю (т.к. плечо равно нулю). Момент импульса может меняться только за счет сил трения, действующих по касательной к оси. Чтобы они создавали меньший момент сил, ось в месте закрепления обычно делают как можно тоньше. Итак, при вращении тела, закрепленного на оси направленной вдоль Z , сохраняется проекция момента импульса

где r2 = x2 +y2 – расстояние точки до оси вращения. Это следует непосредственно из (80.9), действительно

Lz = åm(wzr2 -wzz2 ) = åm wz (x2 +y2 ).

Сравнивая общие выражения для кинетической энергии вращения (80.3) и момента импульса (80.9), нетрудно заметить, что

§ 81. Главные оси вращения, главные моменты инерции тела

Проанализируем выражение для момента импульса тела (80.9). Компонента момента импульса вдоль оси x («прибитой» к телу)

202

L = åm(w r2 -x(rω)) =

=wx åm(y2 +z2 ) -wy åmxy -wz åmxz . (81.1)

Внего дают вклады не только угловая скорость wx , но и угловые ско-

рости вдоль осей y и z. Аналогичная ситуация и для других проекций. Всего возникает три типа добавочных членов: åmxy , åmxz и

åmyz . Оказывается, можно так направить три взаимно-

перпендикулярные оси координат, привязанные к телу, чтобы все эти добавочные члены занулились. Такие оси называются главными осями инерции. Действительно, направление подвижной системы координат задается тремя числами и, поэтому неудивительно, что варьируя их можно сделать нулевыми три суммы чисел, зависящие от этих направлений. Более подробно это будет обсуждаться в курсе аналитической механики.

В системе главных осей инерции в (81.1) остается только первый член, и выражения для компонент момента импульса приобретают вид

Моменты инерции относительно главных осей, проходящих через центр масс, называются центральными главными моментами инерции тела. Учитывая (80.11) и (81.5) выражение для кинетической энергии в системе главных осях имеет вид

Как видно из (81.2)-(81.4) главные моменты инерции равны сумме произведений масс составляющих тело на их расстояние до соответст-

вующей оси в квадрате: Ii = åmr2 (или ò r2dm) .

203

Нетрудно видеть, что сумма любых двух моментов инерции больше третьего, так

I1 +I2 = åm(x12 +x22 +2x32 ) > åm(x12 +x22 ) = I3 . (81.7)

Тела можно классифицировать следующим образом: I1 ¹ I2 ¹ I3 – асимметрический волчок;

I1 = I2 ¹ I3 – симметрический волчок;

I1 = I2 = I3 – шаровой волчок.

При вращении вокруг главных осей направление угловой скорости совпадает с направлением момента импульса и сохраняется. При этом оказывается, что вращение относительно главных осей с максимальным и минимальным моментом инерции устойчиво, а относительно среднего по величине неустойчиво, в чем легко убедиться с помощью спичечного коробка.

Нахождение главных осей для тела является непростой задачей, однако часто их направление очевидно из соображений симметрии. Например, для прямоугольного параллелепипеда главные оси проходят перпендикулярно граням через центр тяжести. Для круглого цилиндра

– оси проходят вдоль цилиндра и поперек через ц.м..

Плоское тело, x3 = 0 , имеем

I1 = åmx22, I2 = åmx12, I3 = åm(x12 +x22 ), т.е. I3 = I1 +I2 . (81.8)

Найдем моменты инерции для круглой тонкой пластинки. Момент относительно вертикальной оси

204

§ 82. Теорема Гюйгенса-Штейнера

Пусть момент инерции тела относительно, оси проходящей через центр, масс равен I0 . Момент инерции относительно оси сдвинутой

параллельно на расстояние a

Поскольку, по определенью, при нахождении начала отсчета в центре масс årdm = 0 , то

Эта формула Гюйгенса-Штейнера.

Данный результат можно получить еще по-другому. Кинетическая энергия (80.2)

Моменты инерции некоторых тел

Тонкий стержень (палка)

Момент инерции относительно центра палки

тогда, используя теорему Гюйгенса-Штейнера, находим момент инерции относительно конца палки

Тонкое кольцо.

Момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца,

205

В соответствие с (81.8) момент инерции относительно оси лежащей в плоскости кольца и проходящей через центр,

Шар

§ 83. Уравнение движения твердого тела

При движении свободного твердого тела сохраняются его момент импульса и кинетическая энергия.

Уравнение поступательного движения

здесь P = åpi , Fвнеш = åfвнеш , сумма внутренних сил равна нулю. Для вращательного движения (индекс суммирования “i” опускаем)

ddtL = dtd å[r× p] = å[r× p] + å[r× p] = å[r × f ]. (83.2)

Член å[r × p] равен нулю, поскольку r p . С учетом того, что сумма моментов внутренних сил равна нулю, получаем

т.е. изменение момента импульса равно моменту внешних сил. При переносе начала координат r = a + r¢

206

τ = å[r× fвнеш ] = å[r¢× fвнеш ] +[a × Fвнеш ] = τ¢ +[a × Fвнеш ]. (83.4)

Момент сил не зависит от начала координат, если Fвнеш = 0 , например,

если действует пара противоположно направленных сил. Если F и τ взаимно перпендикулярны, то можно найти такое a , что τ¢ = 0 . Тогда из (83.4)

и результирующее действие всех сил сводится к действию одной суммарной силы, приложенной к определенной точке, точнее к любой точке вдоль определенной прямой (так как момент сил при этом один и тот же).

Рецепт действий при этом такой. Пусть на тело действуют несколько сил. Находим суммарную силу F и суммарный момент τ относительно центра масс. Затем, заменяем все силы одной силой F , приложенной к точке тела, расположенной на прямой, проходящей на рас-

масс, так что все действие однородного поля сводится к силе, приложенной к центру масс тела.

Работа при вращении

Изменение кинетической энергии всегда равно работе сил. Выразим ее через моменты сил, действующие на тело.

dK = åfdr = åf[dφ´r] = dφå[r ´f ] = dφ. (83.6)

207

§ 83. Примеры динамики вращательного движения

Скатывание цилиндра с наклонной плоскости без проскальзывания

v = wR .

Здесь моменты сил рассчитаны относительно центра масс. Решение системы

Эту задачу можно было решить по-другому, выбрав за ость вращения точку соприкосновения цилиндра с наклонной плоскостью, являющейся мгновенной ось вращения. Тогда получается на одно уравнение меньше:

208

По теореме Гюйгенса-Штейнера I = I0 +mR2 = 23 mR2 , что дает прежний ответ dvdt = 23 g sin a.

Физический маятник

Опертый симметричный волчок, вращающийся вокруг главной оси в поле тяжести

На волчок, рис. 70, действует момент сил,

209

Это легко понять, если посмотреть на волчок сверху, откуда будет «видна» горизонтальная проекция момента импульса, равная L sin q , поворачивающаяся вокруг начала вектора с некоторой угловой ско-

рость W = ddtj . Приравнивая скорость изменения момента импульса моменту сил, находим частоту прецессии

Прецессия тем медленнее, чем больше угловая скорость волчка. Скорость прецессии гироскопического маятника не зависит от угла накло-

на. С учетом (84.14) условие w W означает I w2 Mga , т.е. энергия

вращения много больше потенциальной энергии в гравитационном поле.

§ 85. Гироскопы

Гироскоп-это быстро вращающееся аксиально-симметричное твёрдое тело. Главное свойство свободного гироскопа является сохранение направление вращения в пространстве.

Прецессия гироскопа под действием внешних сил

наклоняется, а вместо этого прецессирует. Но еще более необычным является тот факт, что при убирании грузика прецессия мгновенно останавливается. Нет инерционности!

Найдем скорость прецессии, если на расстоянии d от оси подвешен дополнительный грузик массой Dm . Он создает момент сил t = Fd, F = Dmg . Направление этого момента сил перпендикуляр-

210