telnov-mechanika-and-TO

В узлах молекулы всегда неподвижны, а в пучностях колеблются с максимальными амплитудами.

Если в цилиндре с газом возбуждена продольная волна или в натянутой струне возбуждена поперечная волна, то на торцах (концах) скорости частиц будут равны нулю, значит, там расположены узлы. Таким образом, в этих системах могут существовать монохроматические волны только с длиной волны

где L -расстояние между торцами, т.е.укладывается целое число полуволн. Если начало струны имеет ко-

ординату x = 0 , то амплитуда стоячей волны будет

161

Эта формула получена из (68.3) подстановкой длины волны (68.6) и фазы такой, что при x = 0 амплитуда равна нулю. На рис. 48 показана

стоячая волна в струне с l = L2 .

Пусть в цилиндре с газом динамик на торце сгенерировал звуковой импульс протяженностью короче длины цилиндра, тогда этот сигнал будет бегать туда-сюда. Однако, он является суперпозицией монохроматических стоячих волн с длинами, даваемыми формулой (68.6), таких, что амплитуды на торцах каждой волны равны нулю.

Когда мы оттягиваем гитарную струну за середину, она имеет треугольную форму, значит не является монохроматической волной. Такая форма складывается из стоячих волн с l = (2L), (2L / 2),(2L / 3)....При дергании струны за середину вторая

гармоника вообще не возникает так как она несимметрична относительно середины струны. Несмотря на наличие многих частот в основном слышна самая низкочастотная гармоника (основная гармоника) с l = 2L (укладывается одна полуволна).

162

Г Л А В А VIII

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

§ 69 Движение в центральном поле, общее решение

В данной главе изучается движение тел, связанных силами, действующей по линии, соединяющей тела. Во взаимодействии участвуют всегда не менее двух тел. Как было показано в § 28, в случае двух тел задачу можно свести к движению одного тела с приведенной массой в поле неподвижного (бесконечно тяжелого) тела. Вспомним основные моменты.

Задача двух тел

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, сила взаимодействия которых зависит только от расстояния:

Таким образом, задача двух тел сводится к задаче движения одного тела с массой m под действием силы F(r) .

Выберем начало отсчета в системе центра масс. Расстояние частиц

163

Импульсы и кинетические энергии тел в системе центра масс

Полная энергия

т.е. еще раз видим, что задача двух тел сводится к задаче о движении приведенной массы в поле бесконечно тяжелого источника поля. После нахождения r(t) , траектория движения каждого из тел относитель-

но центра масс находится из соотношений (69.6).

Сохранение момента импульса в центральном поле

Далее мы будем рассматривать движение двух тел, связанных силой, действующей вдоль линии, соединяющей тела. Как было показано, данная задача сводится к движению приведенной массы в центральном поле. Момент импульса сохраняется в любой замкнутой системе, а в центральном поле он сохраняется автоматически, поскольку момент сил, действующий на движущееся тело относительно силового центра равен нулю. Действительно, момент импульса тела с импульсом p на расстоянии r от источника поля

второй член также равен нулю, т.к. сила F = p направлена вдоль r . Поскольку L = [r× p] = const , то движение в одной плоскости,

перпендикулярной L .

Общее решение

Для нахождения траектории и периода движения достаточно воспользоваться законами сохранения момента импульса и энергии.

В цилиндрических координатах

164

это означает, что площадь, заметаемая радиус-вектором за единицу времени (секториальная скорость), постоянна

Как обсуждалось ранее в § 31, центральное поле является потенциальным (консервативным), т.е. в нем справедлив закон сохранения энергии

что соответствует радиальному (одномерному) движению в эффективном потенциале Uэф(r) , содержащем кроме потенциальной энергии

ным потенциалом или центробежной энергией. Отсюда находим связь между временем и радиальной координатой

и подставляя dt из (69.15), получаем уравнение траектории в плоскости (r,j)

165

Границы области движения по радиусу соответствуют r = 0 в (69.14), т.е. r находится из уравнения

Если имеется две границы rmin и rmax , то движение называется финит-

Траектория замкнута, если Dj = 2p mn , где m,n - целые числа (тра-

ектория замыкается после n колебаний по радиусу и m полных оборотов по j). В общем случае траектория незамкнута. Оказывается она

Поскольку E – конечная величина, но последний член в выражении равен нулю. Отсюда следуют условия падения на центр

166

В слабом гравитационном поле U µ -r1 и частицы не падают на центр, однако в сильном гравитационном поле (вблизи черных дыр) в потенциале появляются члены более высокой степени U µ -ar - rb2 ... ,

что приводит к падению материи на центр тяготения.

Примеры эффективного потенциала

167

Движение по круговым орбитам

Это получается как из приравнивания ускорения вызванного силой ус-

Казалось бы, все просто, при каждом радиусе найдется скорость, необходимая для кругового движения. Но будет ли это движение устойчиво? Для эффективных потенциалов, приведенных на двух предыдущих рисунках, движение будет устойчиво, т.к. частица будет коле-

баться между близкими значениями rmin и rmax . Для этого необходимо чтобы точка rmin = rmax соответствовала минимуму потенциала, т.е.

Uэф¢ (r0 ) = 0, Uэф¢¢ (r0 ) > 0 . В обратном случае, Uэф¢¢ < 0 , движение будет неустойчиво, это соответствует картинке эффективного потенциала горбом вверх. Действительно, еслиUэф¢¢ (r0 ) > 0 , то при смещении от

равновесной круговой орбиты на r возникает возвращающая сила

168

Поскольку из условия притяжения na > 0 ,то сокращая на na, имеем

При устойчивом движении небольшой радиальный толчок тела приведет к колебаниям вблизи исходной круговой орбиты.

Гравитационный потенциал удовлетворяет условию (69.36), а пространственный осциллятор условию (69.37). Однако, если потенциал

U(r) = -ra10 , то тело будет двигаться по окружности, но неустойчиво.

Малейшее начальное радиальное движение будет нарастать, и тело упадет на центр или улетит на бесконечность.

§ 70. Кеплерова задача

Немецкий математик и астроном Кеплер (1571-1630) из анализа данных датского астронома Тихо Браге (1546-1601) установил три эмпирических закона:

1)Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2)Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

3)Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как

Задача о круговом движении в гравитационном поле довольно простая и еще до Ньютона было известно, что, если F µ -r12 , то получа-

169

ются законы Кеплера. Исаак Ньютон (1642-1727) математически показал, что, действительно, при F µ -r12 планеты движутся по эллипсам

и при этом выполняется третий закон Кеплера. Рассмотрим эту задачу.

Траектория движения

Итак, имеем

где последнее соотношение соответствует круговому движению. Из (69.18) имеем

Выбором начала отсчета делаем const = 0 . Отсюда траектория движения

170