telnov-mechanika-and-TO

Из рисунка может показаться, что изотропии нет, поскольку справа за сферой имеется тень, куда не проникают частицы. Это действительно так, но если экспериментатор интересуется только угловым распределением, то есть регистрирует детектором количество частиц при различных углах рассеяния, то это распределение будет изотропным. Если взглянуть на процесс рассеяния с расстояний много больше радиуса сферы, то будет виден только изотропный «ежик» из рассеянных частиц.

§ 78 Резерфордовское рассеяние на малые углы.

Пусть a частицы обстреливают тонкую мишень с целью изучения силы взаимодействия aчастиц с ядрами (опыт Резерфорда). Считаем, что ядра неподвижны, а a частицы рас-

Будем считать, что на на a-частицу действует поперечная сила F = rak на участке пути длиной ~ r, тогда частица получает попереч-

ный импульс

Угол рассеяния

191

где N0 – число частиц, упавших на мишень.

Пусть детектор, занимающий некоторый малый телесный угол, помещается под различными углами. Тогда отношение скоростей счета будет

действуют с ядрами как электрически заряженными частицы. Кроме зависимости силы от расстояния этот эксперимент показал, что ядро

имеет размеры r ~ 10-13 см (при таких прицельных параметрах формула перестаёт работать) и то, что заряд ядра равен Ze . Почти вся информация о строении частиц была получена в подобных экспериментах.

192

§ 78. Формула Резерфорда.

Ранее, формула (70.27), было получено связь между углом рассеяния, начальной скоростью частицы и прицельным параметром для по-

тенциала U = ar

Здесь – угол рассеяния. Подставляя это выражение в (76.5) получаем

Это формула знаменитая формула Резерфорда. Расчет по квантовой механике дает (по случайности) сечение рассеяния в кулоновском поле, полностью совпадающее с формулой Резерфорда.

Учет массы частиц мишени

Формула (78.2) получена для случая рассеяния на бесконечно массивном источнике поля. Рассмотрим теперь случай конечной массы частиц мишени. Картина рассеяния будет следующей: на покоящуюся

193

Вспомним задачу двух тел, рассмотренную ранее. Относительный радиус вектор r двух частиц под действием взаимных сил изменяется так, как если бы одну частицу (например, мишени) закрепить, а второй

массой m1 в системе центра масс будет подобна траектории частицы с

приведенной массой (справа), значит, их углы отклонения будут одинаковы. Начальная скорость приведенной массы должна быть такая же, как и относительная начальная скорость налетающей частицы и мишени, т.е. равна скорости налетающей частицы.

Рис. 61

Таким образом, для решения задачи мы должны сначала найти угол отклонения частицы с приведенной массой в поле бесконечно тяжелого центра. Этот угол c будет равен углу рассеяния налетающей части-

цы в системе центра масса. Угол рассеяния частицы мишени в системе ц.м. равен p -c. Далее эти углы нужно преобразовать в лабораторную

систему, т.е. выразить c в формуле (78.2) через углы в лабораторной системе. Кроме этого, вместо m в (78.2) нужно подставить приведен-

Найдем связь между c и q1 и q2 . Скорость системы центра масс

194

Ввиду простой связи (78.8) легко получить сечение рассеяния, выраженное через угол рассеяния частицы мишени

Для налетающей частицы, из-за сложной связи углов в лабораторной и ц.м. системах, получаются слишком громоздкие формулы. Нуж-

но учитывать также (§ 39), что при m1 > m2 один и тот же угол q1 соответствует двум разным углам c. На рис. 62 в этом случае a >b .

195

Рассмотрим только случай равных масс. Тогда c = 2q1 , и подстановка в (78.2) с учетом m = m1 / 2 дает дифференциальное сечение рассеяния

Заметим, что при 1 эта формула совпадает с (78.2) для бесконечно тяжелой частицы-мишени. Это связано с тем, что при малых углах рассеяния частица мишени за время взаимодействия сдвигается очень мало, поэтому ответ не зависит от ее массы.

Упражнение: Пусть частица с массой m1 , имеющая на бесконечности скорость v1 , налетает на покоящуюся частицу с массой m2 с прицельным параметром r. Найти расстояние наименьшего сближения, если

потенциальная энергия взаимодействия частиц U = -ar ?

Решение. Используя общий подход к решению задачи двух тел, можно считать, что одна из частиц закреплена, а налетает частица с приведенной массой с относительной скоростью, равной начальной относитель-

ной скорости частиц, т.е.v1 . Записываем уравнения сохранения момен-

та импульса и энергии для начального положения и расстояния минимального сближения d

Подставляя v из первого уравнения во второе, находим ответ задачи

Поскольку расстояние не может быть отрицательным, перед корнем нужно взять знак плюс.

196

систем отсчета: инерциальной системы XYZ и системы координат x1,x2,x3 (или x,y,z ), жестко связанной с телом и участвующей во всех

его движениях. Для задания положения тела в неподвижной системе отсчета необходимо задание 6 чисел, три координаты для задания начала отсчета подвижной системы и три угла для ориентации ее осей относительно неподвижной системы, т.е. твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Координата точки тела относительно неподвижной системы

Вводя обозначения v = ddtr , V = ddtR , ω = ddtφ , находим скорость точки на теле

где V – поступательная скорость тела, ω– угловая скорость. При чисто поступательном движении линия между двумя произвольными точками на теле перемещается параллельно самой себе; при чисто вращательном тело совершает движение вокруг некоторого направления.

Пока мы не делали никаких предположений о выборе центра подвижной системы. Пусть центр подвижной системы сдвинули на вектор

a , так что r = a + r¢. Подставляя в (79.4), получаем

198

отсюда

Таким образом, угловая скорость не зависит от выбора начала отсчета, скорость же поступательного движения такого абсолютного характера не имеет. Центр подвижной системы отсчета является как бы мгновенной осью вращения, а полная скорость произвольной точки на теле есть сумма скоростей этого центра и вращательной скорости точки (относительно этого центра).

В некоторых случаях выбором a можно сделать V¢ = 0 . Тогда все движение будет сводиться к вращению относительно мгновенного центра вращения. Из (79.7) следует, что для этого необходимо V ^ ω.

Для вращений имеет место закон сложения угловых скоростей. Действительно, вместо одновременного вращения с двумя угловыми скоростями, совершим два последовательных малых поворота за равные

времена, сначала с угловой скоростью 1 , затем с ω2 . Изменение радиус вектора при первом повороте dr1 = [ω1 × r]dt , при втором повороте dr2 = [ω2 ×(r + dr1 ]dt » [ω2 × r]dt (отброшен малый член второго порядка). Откуда dr = dr1 +dr2 = [ω× r]dt , где ω = ω1 + ω2 .

Примеры:

1)Колесо катится по дороге со скоростью V. Нижняя точка является мгновенной осью вращения. Центр колеса движется со скоростью V, а верхняя точка колеса, со скоростью 2V.

2)Левый конец палки длины L имеет мгновенную скорость VA под уг-

aложение мгновенной оси вращения (точка О).

199

§ 80. Кинетическая энергия и момент импульса вращающегося тела

Кинетическая энергия тела

Кинетическая энергия тела в неподвижной системе координат

åmV[ω× r] = åm r[V ×ω]. Тогда, если начало отсчета подвижной

системы координат помещено в центре масс тела, то второй член равен нулю, поскольку åm r = 0 , В результате получаем, что кинетическая

энергия тела есть сумма энергии поступательного движения тела как целого (M = åm ) и вращательной энергии

sin2 q 1 -cos2 q .

Напомним, что координаты частиц здесь даются в системе координат жестко привязанной к телу и вращающейся вместе с ним. Угловая скорость также определена относительно подвижной системе координат и в общем случае изменяется по направлению и величине (постоянным является момент импульса).

200