2.3.2. Решение уравнения теплопроводности для случая стационарной неоднородности

Рассмотрим линейную задачу теплопроводности для случая, когда на концах стержня поддерживаются постоянные (не зависящие от времени) и различные ненулевые температуры

, (2.71)

а начальное условие имеет вид

. (2.72)

Чтобы можно было воспользоваться методом разделения переменных, необходимо свести исходную краевую задачу (2.57), (2.71), (2.72) к такой, в которой граничные условия будут одно­родными. Для этого введем новую функцию v(x, t), связанную с ис­комой функцией u(x, t) соотношением

, (2.73)

где k и b – постоянные коэффициенты, которые подбираются из ус­ловий

.

Тогда при

и (2.74)

имеем

. (2.75)

Так как из (2.73) следует, что

,

то функция v(x, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению

. (2.76)

Подстановка же (2.73) с учетом (2.74) в начальное условие (2.72) приводит его к виду

. (2.77)

Итак, для определения функции v(x, t) приходим к начально-крае-вой задаче (2.75), (2.76), (2.77) с однородными граничными условиями относительно функции Решение её методом разделения переменных будет иметь вид (см.(2.64))

, (2.78)

где

. (2.79)

В результате искомая функция u(x, t) будет равна

.

2.4. Уравнения эллиптического типа

2.4.1. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области

Пусть требуется найти решение однородного уравнения эллиптического типа – уравнения Лапласа в прямоугольной области (см. рис. 2.1)

, (2.80)

удовлетворяющее граничным условиям

,

(2.81)

.

Здесь U₀(x) и U₁(x) – заданные функции от x, непрерывные на промежутке и обращающиеся в нуль приx = 0 и x = a.

Рис.2.1.

На рис.2.1 жирными линиями показаны границы области, для которых граничные условия являются неоднородными.

Замечание. Уравнение Лапласа часто записывается в ком­пакт­­ной форме

или ,

где – так называемыйоператор Лапласа, имеющий различ­ный вид в зависимости от системы координат. Соответственно раз­лич­ным образом запишется и уравнение Лапласа. Так, в декартовой ортогональной системе координат x, y, z оператор Лапласа имеет вид

.

В частности, для двумерного случая

.

В цилиндрических координатах r, φ, z (r – полярный радиус-вектор точки, φ – полярный угол):

.

В сферических координатах r, θ, φ (r – радиус-вектор точки, а θ и φ – соответственно углы долготы и широты)

.

Для определëнности примем в дальнейшем, что

. (2.83)

Метод Фурье разделения переменных применим и к реше­нию уравнения Лапласа для таких простых областей, как прямо­угольник, круг и т.п. Как и для уравнений гиперболического и параболичес­кого типов, частные решения отыскиваются в виде

. (2.84)

Подставляя решение (2.84) в уравнение (2.80), получим условие разделения переменных в виде

, (2.85)

где – постоянная разделения.

Из (2.85) следуют два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения второго порядка

, (2.86)

. (2.87)

Подставляя (2.84) в граничные условия (2.81), получим

. (2.88)

В результате, для определения функции X(x) приходим, как и выше, к той же самой задаче на собственные значения (2.9–2.10), что и для волнового уравнения и для уравнения теп­лопро­водности. Собственные значения этой задачи определяются по фор­муле, аналогичной формуле (2.14), а соответствующие этим значениям собственные функции равны согласно (2.15)

. (2.89)

Для функции же Y(y) из (2.87) c учетом (2.14) получаем линейное однородное уравнение

. (2.90)

Характеристическое уравнение, соответствующее дифферен­циаль­ному уравнению (2.90)

,

имеет действительные и различные корни. Поэтому частные решения уравнения (2.90) будут

.

Удобнее в расчетах использовать их линейные комбинации – гиперболические функции

.

В соответствии с принципом суперпозиции решений для линейных однородных уравнений эти функции также будут частными решениями уравнения (2.90). Поэтому общее решение уравнения (2.90) может быть записано в виде

. (2.91)

Подставляя теперь (2.89) и (2.91) в (2.84) и суммируя частные решения, получим решение уравнения (2.80), удовлетворяющее однородным граничным условиям (2.81)

. (2.92)

Постоянные α_n и β_n находим из граничных условий (2.82) на горизонтальных сторонах области. При y =0 и y = b из (2.92) следует

, (2.93)

, (2.94)

где

.

Из (2.93), (2.94) следует, что иможно рассматривать как коэффициенты Фурье соответственно для функцийU₀(x) и U₁(x) при разложении их в ряды Фурье по синусам на промежутке [0, a]. Следовательно,

, (2.95)

. (2.96)

Из (2.96) найдем

. (2.97)

В частном случае, при

(см.2.83) получим

, (2.98)

. (2.99)

Подставляя далее формулы (2.96) и (2.97) в равенство (2.92), после элементарных тригонометрических преобразований получим решение краевой задачи (2.80–2.82) в виде

. (2.100)

В частном случае, когда α_n и β_n определяются согласно (2.98) и (2.99), приходим к решению

. (2.101)

Замечание. В силу линейности задачи выражение

(2.102)

даёт решение задачи Дирихле для граничных условий

,

(2.103)

,

а выражение

(2.104)

даёт решение задачи Дирихле для граничных условий

,

(2.105)

Заменяя в (2.100) x на y и y на x, a на b и b на a, получим решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области при граничных условиях

,

(2.106)

в виде

,

где

, .