2.2.2. Решение неоднородного волнового уравнения при однородных граничных условиях и неоднородных начальных условиях

Рассмотрим следующую задачу: найти закон колебаний однородной струны длиной l под действием внешней гармонической силы F(x, t) = ρf(x)sinωt, рассчитанной на единицу длины струны. Начальные ус­ловия произвольны. Концы струны закреплены.

Задача приводится к решению уравнения

, (2.25)

где Ω(x, t) = f(x)sinωt при однородных граничных условиях

(2.26)

и начальных условиях

. (2.27)

Решение задачи (2.25–2.27) будем строить в общем виде, но для определённости в дальнейшем примем, что

. (2.28)

где a, g, γ – константы.

Применяем редукцию исходной задачи (2.25–2.27), а именно ищем решение в виде

, (2.29)

где функция является решением начально-краевой задачи для однородного уравнения

(2.30)

с однородными граничными условиями

(2.31)

и с начальными условиями

, (2.32)

а функция является решением начально-краевой задачи для неоднородного волнового уравнения

(2.33)

при однородных граничных и начальных условиях

, (2.34)

. (2.35)

Задача (2.30–2.32) описывает собственные колебания струны, её решение известно (см. п.2.2.1, выражение (2.18))

,

причём произвольные постоянные A_n и B_n определяются по формулам (2.21–2.22).

Если U₀(x) и V₀(x) определяются согласно (2.28), то получим

, (2.37)

Поэтому

. (2.38)

Задача (2.33–2.35) описывает вынужденные колебания струны при отсутствии начальных возмущений (при однородных начальных условиях). Решение её ищем в виде разложения в ряд по собствен­ным функциям однородной задачи (2.2–2.3).

Так как ими являются согласно (2.15) синусы, то принимаем

. (2.39)

При этом удовлетворяются граничные условия (2.34). Задача сводится к отысканию функции W_n(t). Подставляя (2.39) в уравнение (2.33), получим

. (2.40)

Далее раскладываем в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, l] правую часть уравнения (2.40)

. (2.41)

При (см. (2.28)) получим

.

Подставляя (2.41) в уравнение (2.40), получим

.

Приравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых собственных функциях, приходим к уравнению

. (2.42)

С учетом найденного выражения для b_n уравнение (2.42) примет вид

. (2.43)

Подставляя далее (2.39) в начальные условия (2.35), получим

. (2.44)

Таким образом, отыскание функции W_n(t) свелось к решению задачи Коши для обыкновенного линейного неоднородного дифферен­циального уравнения второго порядка (2.43) с начальными условиями (2.44).

Общее решение уравнения (2.43) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, определяемого методом подбора, и имеет вид

. (2.45)

Произвольные постоянные находим из начальных условий (2.44):

. (2.46)

В результате решение задачи Коши (2.43–2.44) примет вид

. (2.47)

Подставляя (2.47) в (2.39), находим решение задачи (2.33–2.35):

. (2.48)

Суммируя решения (2.38) и (2.48), окончательно находим

.

Из полученного решения следует, что в случае, когда частота ω внешней возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот колебаний струны ω_n = nπa/l (явление резонанса), отклонения струны от положения равновесия неограниченно возрастают.