2.2.3. Решение неоднородной начально-краевой задачи

Пусть уравнение и все краевые условия (граничные и начальные) неоднородны и имеют вид:

, (2.49)

граничные условия

, (2.50)

начальные условия

. (2.51)

Принимаем

, (2.52)

где функция ищется в виде линейной функции:w(x, t) = kx + b, а коэффициенты k и b определяются из граничных условий (2.50):

,

откуда следует k = [β(t) – α(t)]/l. Поэтому

. (2.53)

При этом, как легко убедиться, для функции v(x, t) получаются однородные граничные условия:

. (2.54)

Подставляя (2.52) с учетом (2.53) в уравнение (2.49), приходим к неоднородному уравнению относительно функции v(x, t)

. (2.55)

Начальные условия для функции запишутся в виде

. (2.56)

Таким образом, отыскание функции v(x, t) сведено к задаче (2.54–2.56), которая решается с использованием приёма редукции (см. п. 2.2.2). Найдя функцию v(x, t) и подставляя её в (2.52), получим окончательное решение исходной задачи (2.49–2.51).

2.3. Уравнения параболического типа

2.3.1. Решение однородного уравнения параболического типа

Пусть требуется найти закон распределения температуры в однородном стержне длиной l (боковая поверхность которого теплоизолирована), если в начальный момент времени распределение температуры по длине стержня подчиняется заданному закону (см. ниже выражение (2.59)). На концах стержня поддерживается посто­янная нулевая температура.

Задача сводится к решению однородного уравнения теплопроводности

(2.57)

при однородных граничных условиях

(2.58)

и принятом начальном условии

(2.59)

В уравнении теплопроводности (2.57) a² = k/cρ – коэффициент темпе­ратуропроводности (k – коэффициент теплопроводности, c – удельная теплоемкость, ρ – удельная плотность материала стержня).

Замечание. В общем случае начальное условие может быть записано в виде u(x, 0) = T₀(x), где функцией T₀(x) задаётся рас­пределение температуры по длине стержня в начальный момент времени.

Решение начально-краевой задачи (2.57–2.59) строится ме­тодом разделения переменных так же, как и решение волнового уравнения (см.п.2.2.1). Искомая функция u(x, t) представляется в виде (2.6). Подстановка (2.6) в уравнение (2.57) приводит к ра­венству, аналогичному по структуре (2.7)

,

из которого после обычных рассуждений, характерных для метода разделения переменных следует, что обе части равенства не зави­сят ни от x, ни от t и, следовательно, являются постоянными.

Обозначая, как и выше, эту постоянную через , то есть принимая

, (2.60)

получим два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения

,

(2.61)

.

В отличие от волнового уравнения здесь для функции T(t) получается уравнение первого порядка. Подстановка (2.6) в граничные условия (2.58) приводит после разделения переменных к граничным условиям для функции X(x) в виде (2.10).

В результате, для определения функции X(x) приходим к той же самой задаче на собственные значения (2.9–2.10), что и при решении волнового уравнения. Собственные значения λ_n и собственные функции этой задачи X_n(x) определяются соответственно по формулам (2.14) и (2.15).

Подставляя (2.14) в (2.61), получаем линейное дифференциальное урав­нение первого порядка

. (2.62)

Разделяя переменные в уравнении (2.62) и интегрируя, находим его общее решение в виде

, (2.63)

где A_n – произвольная постоянная.

Подставляя найденные функции X_n(x) и T_n(t) в (2.6) и суммируя частные решения линейного однородного уравнения (2.57), получим общее решение однородного уравнения теплопроводности в виде

. (2.64)

Произвольную постоянную A_n находим далее из начального условия. В общем случае при получим

, (2.65)

При этом произвольная постоянная A_n может быть определена как коэффициент Фурье для функции при разложении еë в ряд по синусам на отрезке [0,l], равном длине стержня. Тогда получим

. (2.66)

Так как в рассматриваемой задаче функция согласно (2.59) имеет разные выражения на [0,l], то

. (2.67)

Подставляя (2.67) в (2.64), окончательно получим

. (2.68)

Как видно из (2.68), решение уравнения теплопроводности носит по времени апериодически затухающий характер, что соответствует выравниванию температуры в стержне с течением времени.

Пример. Найти решение задачи (2.57), (2.58) при начальном условии

. (2.69)

Решение. Общее решение этой задачи (2.64) содержит постоянную интегрирования A_n. Для определения её подставляем (2.69) в (2.66). Получим

. (2.70)

В силу ортогональности тригонометрических функций все интегралы в (2.70) при n ≠ 1 будут равны нулю. При n = 1 получим

.

Подставляя значение константы A_n в (2.64), получим окончательное решение задачи (2.57–2.58), (2.69) в виде

.