1.5. Разложение в ряд Фурье функции f(X), определённой на отрезке [0, l]

Функцию f(x), определëнную на отрезке [0, l] и являющуюся на этом отрезке кусочно-монотонной и ограниченной, можно разложить в ряд Фурье двумя способами. Для этого достаточно представить продолжение функции на промежуток [–l, 0]. Если продол­жение f(x) на [–l, 0] чётное (симметричное относительно оси ординат), то ряд Фурье можно записать по формулам (1.12–1.13), то есть по косинусам. Если продолжить функцию f(x) на [–l, 0] нечётным образом, то разложение функции в ряд Фурье будет представлено формулами (1.14–1.15), то есть по синусам. При этом оба ряда будут иметь в интервале (0, l) одну и ту же сумму.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию y = x, заданную на промежутке [0, 1] (см. рис.1.4).

Рис.1.4.

Решение.

a). Разложение в ряд по косинусам. Строим чётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её чётным продолжением на [–1, 0 ] и последующим продолжением (по периоду T = 2) на всю ось 0x показан на рис.1.5.

Рис.1.5.

Так как l = 1, то ряд Фурье для данной функции при чётном разложе­нии будет иметь вид

(1.18)

при этом

,

.

В результате получим при

. (1.19)

На всей оси 0x ряд сходится к функции, изображенной на рис.1.4.

2). Разложение в ряд по синусам. Строим нечётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её нечётным продолжением на [–1, 0] и последующим периодическим продолжением на всю числовую ось 0x показан на рис.1.6.

Рис.1.6.

При нечëтном разложении

, (1.20)

где

.

Поэтому ряд Фурье по синусам для данной функции при будет иметь вид

. (1.21)

В точке сумма ряда будет равна нулю, хотя исходная функция равна 1. Это обусловлено тем, что при таком периодическом продолжении точкаx = 1 становится точкой разрыва.

Из сравнения выражений (1.19) и (1.21) следует, что скорость сходимости ряда (1.19) выше, чем ряда (1.21): она определяется в первом случае множителем , а во втором случае множителем ­1/n. Поэтому разложение в ряд по косинусам в данном случае пред­почтительнее.

В общем случае можно показать, что если функция f(x) не обращается в нуль хотя бы на одном из концов промежутка [0, l], то предпочтительнее еë разложение в ряд по косинусам. Это обусловлено тем, что при чётном продолжении в соседний промежуток функция будет непрерывной (см. рис.1.5), и скорость сходимости получающегося ряда будет выше, чем ряда по синусам. Если функция, заданная на [0,l], обращается в нуль на обоих концах интервала, то предпочти­тельнее её разложение в ряд по синусам, так как при этом будет непрерывной не только сама функция f(x), но и её первая произ­водная.

1.6. Обобщённый ряд Фурье

Функции и(n, m = 1, 2, 3,…) называются ортогональными на отрезке [a, b], если при n ≠ m

. (1.22)

При этом предполагается, что

и .

Рассмотрим разложение функции f(x), которая определена на отрезке [a, b], в ряд по системе ортогональных функций

, (1.23)

где коэффициенты (i = 0,1,2...) являются постоянными числами.

Для определения коэффициентов разложения умножим равенство (1.23) на и проинтегрируем почленно на отрезке [a, b]. Получим равенство

В силу ортогональности функций все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного (при). Отсюда следует, что

(1.24)

Ряд (1.23) по системе ортогональных функций, коэффициенты которого определяются по формуле (1.24), называется обобщённым рядом Фурье для функции f(x).

Для упрощения формул для коэффициентов применяют, так называемое, нормирование функций. Система функций φ₀(x), φ₁(x),…, φ_n(x),… называется нор­ми­рованной на промежутке [a, b], если

. (1.25)

Справедлива теорема: всякую ортогональную систему функ­­ций можно нормировать. Это означает, что можно подобрать постоянные числа μ₀, μ₁,…, μ_n,… так, чтобы система функций μ₀φ₀(x), μ₁φ₁(x),…, μ_nφ_n(x),… была не только ортогональной, но и нормированной. Действительно, из условия

получим, что

.

Число

называется нормой функции и обозначается через .

Если система функций нормирована, то, очевидно, . Последовательность функцийφ₀(x), φ₁(x),…, φ_n(x),…, опреде­лённых на отрезке [a, b], является ортонормированной на этом отрезке, если все функции нормированы и взаимно ортогональны на [a, b].

Для ортонормированной системы функций коэффициенты обобщённого ряда Фурье равны

. (1.26)

Пример. Разложить функцию y = 2 – 3x на отрезке в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных на этом отрезке функций, в качестве которых взять собственные функции задачи на собственные значения

,

предварительно проверив их на квадратичную интегрируемость и ортогональность.

Замечание. Говорят, что функция , заданная на отрезке, есть функция с интегрируемым квадратом, если она сама и еë квадрат интегрируемы на, то есть, если существуют интегралыи.

Решение. Сначала решаем задачу на собственные значения. Общее решение уравнения этой задачи будет

,

а его производная запишется в виде

.

Поэтому из граничных условий следует:

Для существования нетривиального решения необходимо принять

,

откуда следует Поэтому собственные значения параметра равны

,

а соответствующие им собственные функции с точностью до множителя будут

. (1.27)

Проверим полученные собственные функции на ортогональность на отрезке [0, 3/2]:

так как при целых.При этом

.

Следовательно, найденные собственные функции ортогональны на отрезке [0, 3/2].

Разложим заданную функцию в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных собственных функций (1.27):

, (1.28)

коэффициенты которого вычисляются по (1.24):

. (1.29)

Подставляя (129) в (1.28), окончательно получим

.