- •Федеральное агенство по образованию
- •1. Ряды фурье
- •1.1. Условия Дирихле. Теорема о разложимости
- •1.2. Ряды Фурье для чётных и нечётных
- •1.4. Разложение в ряд Фурье непериодических функций
- •1.5. Разложение в ряд Фурье функции f(X), определённой на отрезке [0, l]
- •1.6. Обобщённый ряд Фурье
- •1.7. Применение рядов Фурье к интегрированию дифференциальных уравнений
- •2. Уравнения математической физики
- •2.1. Классификация уравнений и постановка задач математической физики
- •2.2. Уравнения гиперболического типа
- •2.2.1. Решение однородного волнового уравнения
- •2.2.2. Решение неоднородного волнового уравнения при однородных граничных условиях и неоднородных начальных условиях
- •2.2.3. Решение неоднородной начально-краевой задачи
- •2.3. Уравнения параболического типа
- •2.3.1. Решение однородного уравнения параболического типа
- •2.3.2. Решение уравнения теплопроводности для случая стационарной неоднородности
- •2.4. Уравнения эллиптического типа
- •2.4.1. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области
- •2.4.2. Решения уравнения Пуассона
- •2.4.3. Бигармоническое уравнение. Решение Навье
- •Варианты расчетно–графической
- •Вариант №2
- •Вариант №3
- •Вариант №4
- •Вариант №5
- •Вариант №6
- •Вариант №7
- •Вариант №8
- •Вариант №9
- •Вариант №10
- •Вариант №11
- •Вариант №12
- •Вариант №13
- •Вариант №14
- •Вариант №15
- •Вариант №16
- •Вариант №17
- •Вариант №18
- •Вариант №19
- •Вариант №20
- •Вариант №21
- •Вариант №22
- •Вариант №23
- •Вариант №24
- •Вариант №25
- •Вариант №26
- •Вариант №27
- •Вариант №28
- •Вариант №29
- •Вариант №30
- •Список литературы
- •Содержание
- •107023 Москва, ул б.Семёновская, д.38, мгту «мами» Для заметок
2.4.3. Бигармоническое уравнение. Решение Навье
Уравнение вида
,
где – оператор Лапласа (см. п.2.4.1), называетсябигармоническим, а его решения, имеющие производные до четвёртого порядка включительно, называются бигармоническими функциями.
Бигармоническое уравнение имеет различный вид в различных системах координат. В декартовой системе координат однородное бигармоническое уравнение записывается так:
и, как видно, является дифференциальным уравнением в частных производных четвёртого порядка эллиптического типа.
К бигармоническому уравнению приводятся многие статические и динамические задачи механики и физики.
Рассмотрим его решение на примере задачи об изгибе пластины прямоугольного очертания в плане, свободно опёртой по контуру. Это решение в двойных тригонометрических рядах Фурье впервые было получено в 1820 году Л.Навье и носит его имя [10].
Можно показать, что задача определения малых прогибов тонкой упругой прямоугольной пластины, подверженной действию поперечной нагрузки, приводится к неоднородному бигармоническому уравнению вида
(2.147)
или
, (2.148)
где – прогиб пластины, – внешняя поперечная нагрузка,D = Eh3/[12(1 – μ2)] – цилиндрическая жесткость пластины (h – толщина пластины, E – модуль упругости материала, – коэффициент Пуассона).
Уравнение (2.148) называется уравнением Софи Жермен–Лагранжа. Для получения единственного решения к уравнению (2.148) необходимо присоединить граничные условия. Для свободно опëртой пластины на контуре равны нулю прогибы и изгибающие моменты. Можно показать, что граничные условия при этом могут быть записаны в виде (см. рис.2.2)
(2.149)
Для решения краевой задачи (2.148–2.149) искомая функция – прогиб пластины w(x, y) представляется в виде разложения в двойной тригонометрический ряд Фурье
. (2.150)
Заметим, что каждый член ряда (2.150) удовлетворяет всем граничным условиям (2.149).
Подставляя ряд (2.150) в уравнение (2.147), получим
. (2.151)
Далее раскладываем в двойной тригонометрический ряд Фурье по синусам правую часть уравнения (2.151)
. (2.152)
Коэффициенты двойного ряда Фурье (2.152) в силу ортогональности синусов определяются по формуле
. (2.153)
Подставляя (2.152) в (2.151) и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях получающегося равенства при синусах, получим равенство
,
из которого выражаем неизвестный коэффициент разложения прогиба через известный коэффициент разложения нагрузки:
. (2.154)
После подстановки (2.154) в (2.150) получим окончательное решение задачи в виде
. (2.155)
Рассмотрим случай нагрузки, равномерно распределëнной по всей поверхности пластины. Тогда q(x, y) = q0 = const. При этом из (2.153) следует
Подставляя это значение amn в (2.155), получим выражение для прогиба в произвольной точке пластины, нагруженной равномерно распределëнной нагрузкой
.
где суммирование проводится по нечëтным m и n: m = 1, 3, 5,..., n = 1, 3, 5,... Из приведëнного решения следует, что максимальный прогиб будет в центре пластины при x = a/2 и y = b/2
. (2.156)
Этот ряд быстро сходится и практически достаточно ограничиться его первым членом. Полагая в (2.156) , получим для квадратной пластины (приизвестную формулу [10]
.
ПРИЛОЖЕНИЕ