7. Методы анализа пространственных распределения линий: плотность линий.

Мы встречаем линейные объекты постоянно. Улицы и шоссе образуют узнаваемый

объект, который мы относим к сетям, создаваемым человеком для перемещения людей и

вещей между пространственно распределенными точками, называемыми городами. Нам

встречаются ограждения, также имеющие определенные конфигурации и количества в зави-

симости от размеров полей, участков, форм полигонов, которые они окружают. Полосы на

открытых участках коренной породы показывают параллельные линии перемещения камней

под ледником, проходившем тысячи лет назад.

Механизмы, вызвавшие образование каждого из этих линейных паттернов, лучше все-

го могут быть поняты, если мы прежде определим конкретные параметры соответст-

вующих распределений.

Плотность линий.

Поскольку линии в отличие от точек имеют пространственную протяженность, ана-

лиз их распределений несколько сложнее. Одни исследователи изучали распределения длин

линий, другие рассматривали интервалы между линиями, во многом подобно анализу

ближайшего соседа в точечных распределениях.

Простейшей мерой распределения линий является плотность линий.

Мы определили плотность безразмерных точек как отношения их числа к занимаемой

ими площади. Плотность двухмерных полигонов определялась как отношение суммарной11

площади класса к площади всей карты. Подобным же образом, для определения плотности

одномерных линий мы будем использовать отношение суммы их длин к площади покры-

тия. Выражаться оно может в метрах на гектар или километрах на квадратный километр.

За исключением сравнения с аналогичными величинами для других регионов или для того

же региона в другие моменты времени, мы мало что можем сделать с этой информацией.

Поэтому сейчас мы рассмотрим другие показатели распределений линий, аналогично тому,

как было с распределениями точек и полигонов.

Ближайшие соседи и пересечения линий

Распределение пар линий может быть определено во многом подобно тому, как мы

поступали с точками, хотя вычисления несколько усложняются, так как, в отличие от точек,

линии имеют размерность. Может показаться, что следует просто выбрать центр каждой ли-

нии и провести анализ ближайшего соседа для этих точек. Однако, вследствие того, что ли-

нии имеют различные длины, эта процедура не даст нам правдивой картины распределения

самих линий. С точки зрения статистики часто считается полезным делать случайную вы-

борку. Следуя этому подходу, нашей первой задачей в анализе ближайших соседей среди

линейных объектов будет выбор случайной точки на каждой линии карты (или на каждом

сегменте линии, если они — не прямые). Далее, опускается перпендикуляр из этой точки к

ближайшей линии (Рисунок 4). Затем мы измеряем эти расстояния и подсчитываем среднее

РБС. Как со всеми РБС, мы должны иметь возможность оценить эту величину по отноше-

нию к случайному распределению. Дэйси [Dacey, 1967] определил значения для ожидаемых

РБС, дисперсии и стандартной ошибки случайного распределения линий. Эти величины по-

зволяют нам сравнить ожидаемое и наблюдаемое и создать статистический показатель, по

которому можно протестировать гипотезу о случайности.

Этот критерий работает для большинства распределений линий, будь линии пря-

мыми или изогнутыми, но имеет и некоторые ограничения. Если линии очень извилисты,

этот подход — менее чем успешен (!).

Рисунок 4. Расстояние до ближайшего соседа среди линий. Поиск ближайшего соседа между

линиями с использованием случайно выбранной точки на одной из них.

Кроме того, чтобы критерий был полезен, линии должны быть по меньшей мере в

полтора раза длиннее среднего расстояния между ними.

Если количество линий в покрытии мало, оценка плотности, используемая в ана-

лизе ближайшего соседа должна быть скорректирована весовым коэффициентом (n-1)/n,

где n — число линий распределения. То есть, вместо отношения суммы длин на площадь мы

используем формулу

(n-l)L/nA,

где L — сумма длин, а А — площадь. Эта скорректированная плотность линий улуч-12

шит качество статистики ближайшего соседа.

Методы пересечения линий являются альтернативой при анализе распределения

линий. Один простой подход состоит в том, чтобы преобразовать двухмерный паттерн в од-

номерную последовательность прочерчиванием выборочной линии через карту и учетом пе-

ресечений этой линии с линиями покрытия. Существуют по меньшей мере два способа соз-

дания таких линий.

Первый — случайно выбрать пару точек и соединить их линией.

Второй метод состоит в проведении луча из случайной точки под случайным углом,

откладывании случайного расстояния от начальной точки и проведении перпендикуляра к

лучу из этой точки. После того, как линия проведена, может быть рассмотрено распределе-

ние интервалов между пересечениями ее с линиями покрытия с использованием стандарт-

ных методов анализа наборов данных. Альтернативой одиночной линии является зигзагооб-

разная, которая пересекает покрытие два или три раза. Зигзагообразный путь (часто назы-

ваемый случайным обходом (random walk)) также создаст серию пересечений, расстояния

между которыми опять же могут быть проанализированы любым статистическим методом

для последовательностей данных.

8. Ориентация и направленность линейных объектов.

Линейные объекты могут характеризоваться не только распределением по ландшаф-

ту, но и ориентацией. Такие объекты как осадочные напластования, русла ледников, пере-

носимая водой галька, цепи валунов, оставленные ледниками, ограждения, сети улиц, вет-

ровал деревьев в лесу имеют определенную ориентацию, которая часто указывает на по-

родившую их силу.

Но когда мы анализируем ориентацию, у нас может возникнуть ситуация выбора ме-

жду двумя встречными направлениями. Если линейный объект является улицей с односто-

ронним движением, то ориентация ее самой не говорит нам о направлении, в котором дол-

жен двигаться транспорт. Поэтому, кроме ориентации нам нужно знать и о направленности

(directionality).

В традиционном статистическом анализе ориентации линий с карты переносятся на

диаграмму направлений (rose diagram), где все они прочерчиваются из одной начальной

точки. На некоторых диаграммах направлений длиной линий также изображают параметры

объектов, такие как сила ветра или длина изгороди. Диаграммы направлений полезны для

визуальной оценки, но измерения, получаемые непосредственно по данным покрытия

больше подходят для численного анализа.

Первым мы рассмотрим равнодействующий вектор (vector resultant). В качестве

примера можно вспомнить басню про лебедя, рака и щуку. Зная силы и направления, при-

ложенные к возу, можно определить, в какую сторону и с каким ускорением объект начнет

движение.

Для демонстрации двухмерного анализа направлений возьмём большое количество

деревьев, поваленных прямолинейным ветром. Каждое дерево может быть отображено как

линейный объект покрытия, при этом записываются координаты вершины и основания

каждого дерева, давая нам ориентацию каждого дерева (Рисунок 5). 13

Рисунок 5. Распределение направлений поваленных деревьев. Карта показывает об-

щую тенденцию и некоторые отклонения от нее.

Метеорологи хотят выяснить общее направление ветра по поваленным деревьям, но

эти деревья не имеют единой для всех ориентации, поэтому нашей первой задачей является

определение равнодействующего вектора поваленных деревьев.

С каждым деревом ассоциируется вектор с началом в основании дерева и углом Q

в сторону вершины. Мы умножаем длину каждого дерева на косинус этого угла для полу-

чения Х-составляющей, а также на синус этого угла для получения Y-составляющей. Для

вычисления равнодействующего вектора мы складываем эти величины для каждой состав-

ляющей, и полученные значения равнодействующего вектора Xr и Yr показывают преобла-

дающее направление вершинных точек деревьев в ветровале. Рисунок 6 показывает равно-

действующий вектор R, полученный из трех векторов А, В и С.

Мы можем также определить среднее направление Q исходя из равнодействующего

вектора по формуле: Q = arctan (Yr / Xr).

Рисунок 6. Разброс векторов. Равнодействующие векторы для случаев близких и разбросанных ис-

ходных

Как и с любым набором точек, где средняя величина служит мерой центральной тен-

денции данных или тенденции данных группироваться вокруг некоторой центральной точки,

мы можем использовать среднее для получения других статистических показателей, которые

определяют разброс от среднего. Рисунок 7 показывает два случая равнодействующего век-

тора R с тремя исходными.

Когда векторы расположены близко к одному направлению, равнодействующий

вектор будет длинным, в то время как при широко разбросанных исходных векторах

— значительно более коротким. В нашем примере из басни это выглядит как сложение

усилий участников в общем направлении или же скорее противодействие друг другу, приво-

дящее к существенно меньшей равнодействующей силе, прилагаемой к возу. 14

Рисунок 7. Разброс векторов. Равнодействующие векторы для случаев близких и разбросанных ис-

ходных

Следует отметить, что здесь угол отсчитывается от оси Y, а не от оси X, как принято

в математике. В формуле вычисления составляющих длина дерева является весовым коэф-

фициентом для его направления. Чтобы каждое дерево вносило одинаковый вклад, следует

приравнять его длину единице. Тогда среднее направление будет равно арктангенсу отноше-

ния суммы косинусов к сумме синусов направлений деревьев.

Таким образом, мы имеем не только среднее направление лесоповала, но и меру

компактности распределения: чем компактнее распределение, тем длиннее эта линия.

Для сравнения длины равнодействующего вектора в данном месте с другим местом,

нам следует, опять же, нормализовать данные. Нормализованная длина равнодейст-

вующего вектора получается делением длины равнодействующего вектора R на сумму

длин образующих его векторов.

Это безразмерная величина в диапазоне от 0 до 1, напоминающая дисперсию в тра-

диционной статистике, так как является мерой пространственного разброса вокруг сред-

него значения. Правда, она выражает этот разброс "наоборот": большие значения соответ-

ствуют более близкой ориентации векторов, меньшие - большему разбросу. Таким образом,

большое значение этого показателя в нашем примере с деревьями означало бы значительное

преобладание одного из направлений ветра, а малое значение говорило бы о наличии завих-

рений или отсутствии явно преобладающего направления.

В контексте ГИС, данные меры главным образом помогают характеризовать распре-

деления внутри покрытия и сравнения их с данными других покрытий в поисках причинных

механизмов. Растровые ГИС плохо приспособлены для данного типа анализа, но большин-

ство векторно-топологических систем позволяют определить по меньшей мере некоторые

предварительные значения (например, углы отрезков полилиний), которые могут храниться

в БД ГИС как атрибуты и передаваться другим программам для обработки, если сам ГИС-

пакет не способен вычислять средние показатели направленности.