ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
Лекция 11
11.1 Произведение матриц
Определение. Матрица размера , с элементами , называется произведением матрицы размера , с элементами ) на матрицу размера , с элементами ), где
Замечания о произведении матриц
Из определения произведения матриц непосредственно следует, что для матриц подходящих размеров:
-
произведение матриц некоммутативно, то есть в общем случае
,
-
произведение матриц ассоциативно
,
-
произведение матриц обладает свойством дистрибутивности
.
Отметим еще раз, что произведение двух матриц существует только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго.
Легко убедиться, что умножение (как справа, так и слева) любой матрицы на подходящего размера единичную матрицу дает в результате ту же самую матрицу .
Определение. Матрица называется обратной квадратной матрице , если выполнены равенства .
Обратная матрица существует не для всякой произвольной квадратной матрицы. Для существования матрицы, обратной к , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие .
Определение. Матрица , для которой , называется вырожденной, а матрица, для которой , – невырожденной.
Лемма 10.1 Если обратная матрица существует, то она единственна.
Доказательство.
Предположим, что невырожденная матрица имеет две обратные: и . Тогда из равенств и следует, что
.
Умножая слева обе части данного равенства на , получаем
и, учтя, что , приходим к равенству
.
Лемма доказана.
Для квадратных матриц порядка справедливы следующие равенства:
если .
Пример 1. Используя матричные операции, систему линейных уравнений
можно записать в виде
,
где
,
а ее решение (если существует ) – в виде
.
Пример 2. Формулы перехода от одной декартовой системы координат к другой с помощью матричных операций могут быть записаны в виде
,
где S – матрица перехода.
Теорема 11.1 Имеет место соотношение
.
Теорема 11.2 Для невырожденных одинакового размера квадратных матриц A и B справедливо соотношение
.
Задача на дом: Проверить тождество
Определение. Невырожденная квадратная матрица Q, для которой , называется ортогональной.
Свойства ортогональных матриц играют важную роль во многих приложениях. Их можно сформулировать в виде следующих теорем.
Теорема 11.3 Для ортогональной матрицы Q справедливо равенство .
Доказательство.
Умножая равенство последовательно слева на , в силу определения обратной матрицы приходим к соотношению . Откуда находим, что , поскольку
- определитель произведения квадратных матриц одинакового размера равен произведению определителей сомножителей;
- определитель матрицы не меняется при ее транспонировании;
- .
Теорема доказана.
Теорема 11.4 Каждая ортогональная матрица второго порядка , для которой может быть представлена в виде , где – некоторое число, а каждая ортогональная матрица с – в виде .
Доказательство.
Пусть матрица ортогональная, тогда должны быть справедливы равенства
и, следовательно,
.
Последнее матричное равенство может быть записано в виде системы скалярных уравнений
причем из этих равенств, как было показано при доказательстве теоремы 11.3, следует, что . Рассмотрим случай .
Если из суммы первого и третьего уравнений системы вычесть удвоенное равенство , то мы получим
Или
,
откуда следует, что
Наконец, из условий имеем оценки
,
которые позволяют ввести обозначения
,
приводящие к требуемому виду матрицы Q поскольку из полученных соотношений также следует, что
.
Случай рассматривается аналогично.
Теорема доказана.
Следствие. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса на плоскости к другому ортогональная .
Матрица S перехода от одной ортонормированной системы координат на плоскости к другой может иметь один из двух следующих видов:
или ,
где – угол между первыми базисными векторами. Но тогда матрица перехода S ортогональная в силу теоремы 11.4.
Следствие доказано.