11.2. Операторы и функционалы. Отображения и преобразования плоскости
Вводимое в курсе математического анализа понятие функции (как правила, устанавливающего однозначное соответствие между числом, принадлежащим области определения, и числом, принадлежащим множеству значений) может быть обобщено на случай, когда область определения и область значений не являются числовыми множествами.
Определение. Будем говорить, что задан оператор A, действующий на множестве M со значениями в множестве N, если указано правило, по которому каждому элементу множества M поставлен в соответствие единственный элемент из множества N.
Символически
результат действия оператора A
обозначается так:
.
Элемент y
в этом случае называется образом
элемента
x,
элемент x
– прообразом
элемента
y.
Определение. Если N – область значений некоторого оператора – является числовым множеством, то говорят, что на множестве M задан функционал.
Функционалы
обычно обозначаются так же, как и функции:
например,
.
Пример
1. Если
каждому вектору
в пространстве поставлен в соответствие
вектор
,
являющийся ортогональной проекцией
вектора
на некоторую ось l,
то говорят, что в пространстве задан
оператор
ортогонального проектирования векторов
на ось l.
Символически оператор можно записать
.
Пример
2. Каждой
дифференцируемой на интервале
функции
можно поставить в однозначное соответствие
– ее производную функцию, поэтому можно
говорить об операторе дифференцирования
,
символически обозначаемом как
.
Пример
3. Каждому
вектору
в пространстве можно поставить в
однозначное соответствие число
– его длину. Очевидно, что данная
зависимость является функционалом,
заданным на множестве векторов.
Пример
4. Для
каждой непрерывной на
функции
существует однозначно вычисляемый
определенный интеграл
,
который можно рассматривать как
функционал
на множестве функций, непрерывных на
.
Определение. Оператором A, отображающим плоскость (или просто отображением плоскости) P на плоскость Q, называется правило, по которому каждой точке плоскости P поставлена в соответствие единственная точка плоскости Q.
Отображение
плоскости принято обозначать следующим
образом:
.
Если точка m
плоскости
P
отображается в точку
плоскости Q
,
то это представляется как
,
при этом точка
является образом
точки m,
а точка m
– прообразом
точки
.
Определение. Отображение
называется
взаимно
однозначным,
если каждая точка плоскости Q
имеет прообраз и притом единственный.
Определение. Отображение
плоскости
P
в саму себя
называется
преобразованием
плоскости P
.
Определение. Последовательное
выполнение преобразований
и
называется произведением
(или
композицией)
этих преобразований.
Произведение
операторов записывается в виде
.
Заметим, что в общем случае это произведение
не коммутативно, но ассоциативно.
Определение. Преобразованием,
обратным
взаимно однозначному преобразованию
,
называется оператор
,
такой, что для каждой точки m
плоскости P
имеет место
.
Определение. Точка
плоскости P,
переводимая преобразованием
сама в себя, называется неподвижной
точкой для
оператора
.
Множество
точек плоскости P,
переводимое преобразованием (оператором)
само в себя, называется инвариантным
множеством преобразования
.