11.4. Аффинные преобразования и их свойства

Линейные операторы, преобразующие плоскость саму в себя (то есть линейные операторы вида ) и имеющие обратный оператор, играют роль и потому выделяются в специальный класс.

Определение. Линейный оператор

,

отображающий плоскость P саму на себя, с матрицей , для которой в любом базисе , называется аффинным преобразованием плоскости.

Теорема 11.8 Если для линейного преобразования плоскости в некоторой декартовой системе координат, то это условие будет выполнено и в любой другой декартовой системе координат.

Доказательство.

Поскольку определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей, то в силу теоремы 11.7 и невырожденности матрицы перехода имеем

т. е. определитель матрицы линейного преобразования плоскости не зависит от базиса. Поэтому для аффинности линейного преобразования достаточно, чтобы хотя бы в одном базисе.

Теорема доказана.

Теорема 11.9 Каждое аффинное преобразование имеет единственное обратное, которое также является аффинным.

Доказательство.

Поскольку , то матрица существует, единственна и невырожденная, а потому система линейных уравнений

всегда имеет единственное решение для любого вектора . Но это означает, что между образами и прообразами аффинного преобразования существует взаимно однозначное соответствие, то есть для существует единственное обратное аффинное преобразование, задаваемое формулами

, где .

Теорема доказана.

Теорема 11.10 При аффинном преобразовании всякий базис переходит в базис, а для любых двух базисов существует единственное аффинное преобразование, переводящее первый базис во второй.

Рассмотрим теперь вопрос о том, что происходит с различными геометрическими объектами на плоскости при ее аффинном преобразовании.

Теорема 11.11 При аффинном преобразовании образом прямой линии является прямая.

Теорема 11.12 При аффинном преобразовании образом параллельных прямых являются параллельные прямые, общая точка пересекающихся прямых-прообразов переходит в точку пересечения их образов.

Теорема 11.13 При аффинном преобразовании сохраняется деление отрезка в данном отношении.

Теорема 11.14 Для всякого аффинного преобразования существует пара взаимно ортогональных направлений, которые переводятся данным аффинным преобразованием во взаимно ортогональные.

11.5. Ортогональные преобразования плоскости

Определение. Ортогональным преобразованием плоскости P называется линейный оператор Q вида , матрица которого

ортогональная в любой ортонормированной системе координат.

Заметим, что ортогональное преобразование является частным случаем аффинного преобразования, поскольку в силу теоремы 11.3 имеет место либо , либо . Помимо приведенных в предыдущем параграфе аффинных свойств, ортогональные преобразования обладают своими специфическими особенностями.

Теорема 11.15 Линейный оператор на плоскости является ортогональным, если его матрица ортогональная хотя бы в одной ортонормированной системе координат.

Теорема 11.16 В ортонормированной системе координат ортогональное преобразование плоскости сохраняет:

(1) скалярное произведение векторов;

(2) длины векторов и расстояния между точками плоскости;

(3) углы между прямыми.

Доказательство.

(1). Пусть дано ортогональное преобразование плоскости с матрицей в ортонормированной системе координат . Тогда скалярное произведение векторов и с координатными представлениями и выражается в следующем виде

Тогда для скалярного произведения образов векторов и , принимая во внимание ортогональность матрицы , получаем

Равенство и означает, что при ортогональном преобразовании плоскости скалярное преобразование сохраняется в любом ортонормированном базисе.

(2). Из сохранения при ортогональном преобразовании скалярного произведения для любой пары векторов следует сохранение длин векторов, поскольку этом случае

(3). Поскольку в силу (2) при ортогональном преобразовании равные треугольники переходят в равные, то будут сохраняться и величины углов между векторами на плоскости.

Теорема доказана.

Используя свойства ортогональных преобразований, можно показать, что для аффинных преобразований справедлива следующая важная теорема.

Теорема 11.17 Каждое аффинное преобразование может быть представлено в виде произведения ортогонального преобразования и двух сжатий по взаимно ортогональным направлениям.

Доказательство.

Достаточно убедиться, что матрица каждого аффинного преобразования в любом ортонормированном базисе может быть представлена в виде произведения ортогональной матрицы и диагональной матрицы с положительными значениями диагональных элементов.

По теореме 11.4 существует ортогональный (но не обязательно нормированный) базис , в который данное аффинное преобразование переведет исходный ортонормированный базис . При этом существуют положительные нормирующие множители и , такие, что

То есть, – ортонормированный базис.

С другой стороны, линейное преобразование , переводящее ортонормированный базис в ортонормированный базис , очевидно, ортогональное и имеет в исходном базисе ортогональную матрицу . Тогда будут справедливы соотношения

; ; ,

из которых следует равенство

.

Тогда в силу линейной независимости базисных векторов мы имеем

или, после транспонирования обеих частей этого равенства,

.

Таким образом, аффинное преобразование представимо в виде произведения ортогонального преобразования и оператора "сжатия к осям"

Теорема доказана.