![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
11.3 Линейные операторы на плоскости
Пусть
на плоскости с декартовой системой
координат
каждой ее точке m
поставлена в однозначное соответствие
точка
,
то есть, согласно определению, задано
преобразование этой плоскости
.
Пусть координатные представления
радиусов-векторов этих точек суть
и
,
тогда координаты
и
будут некоторыми функциями от
и
,
и потому равенство
можно
рассматривать как представление
оператора
в системе координат
.
Далее
мы будем рассматривать частные, но
важные для приложений виды функций
и
.
Определение. Оператор
называется линейным
оператором,
если в каждой декартовой системе
координат
он задается формулами
При помощи операций с матрицами линейный оператор может быть записан в виде
,
где матрица
называется
матрицей
линейного оператора
(координатным
представлением
)
в
декартовой системе координат
.
Определение. Оператор
называется линейным
однородным
оператором,
если он удовлетворяет предыдущему
определению и
.
Если
оператор
называется неоднородным.
Пример
5. Линейным
однородным оператором является оператор
,
действие которого сводится к умножению
координат радиуса-вектора прообраза
на фиксированные положительные числа,
называемый «оператором
сжатия (или
“растяжения”)
по осям»,
имеющий матрицу
,
где
числа
и
– коэффициенты
сжатия (или растяжения);
Пример 6. Оператор ортогонального проектирования радиусов-векторов точек плоскости на некоторую заданную ось, проходящую через начало координат, также является линейным однородным оператором.
Теорема
11.5 Для
линейного однородного оператора
справедливы соотношения:
,
В справедливости утверждения теоремы можно убедиться непосредственной проверкой, используя правила действия с матрицами.
Теорема
11.6 Если
для некоторого оператора
справедливы соотношения
,
то этот оператор линейный и однородный.
Доказательство.
Пусть
и
– соответственно координатные разложения
для прообраза и образа, тогда
.
Вводя обозначения
и
,
получаем
А
в силу линейной независимости векторов
и
,
или
Теорема доказана.
Заметим,
что для вектора
,
имеющего координатное представление
в базисе
,
при любом линейном преобразовании
образом
является вектор с координатным
представлением
.
Из теорем 11.5 и 11.6 вытекают важные следствия.
Следствие
1.
Столбцами матрицы линейного однородного
оператора
в базисе
являются координатные представления
векторов
и
.
Следствие 2. Каждому линейному однородному оператору преобразования плоскости в конкретном базисе соответствует однозначно определяемая квадратная матрица второго порядка, а каждая квадратная матрица второго порядка задает в этом базисе некоторый линейный однородный оператор.
Выясним теперь, как изменится матрица линейного однородного оператора при замене базиса. Имеет место
Теорема
11.7 Пусть
в системе координат
некоторый однородный линейный оператор
имеет матрицу A.
Тогда в системе координат
этот оператор будет иметь матрицу
,
где S
– матрица перехода от
к
.
Доказательство.
Пусть
в исходной системе координат действие
линейного оператора
задается формулой
,
а в новой системе координат –
,
и пусть S
– матрица перехода от
к
с формулами перехода
и
.
Подставляя
два последних соотношения в первое и
принимая во внимание утверждение о
невырожденности матрицы перехода S
(то есть существование матрицы
),
получаем, что
или
Откуда и следует, что
Теорема доказана.