190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb

ется точкой экстремума.

81

Итак, точка M1(0, 0, 0) − точка максимума функции, zmax = 0; точки

82

1.10.Условный экстремум функции двух переменных

Вп. 1.9 проводился поиск локальных экстремумов функции во всей области ее определения, когда аргументы функции не связаны ника- кими дополнительными условиями. Такие экстремумы называются безусловными. Однако часто встречаются задачи на нахождение экс- тремума функции, аргументы которой удовлетворяют дополнитель- ным условиям связи. Экстремумы такого рода называют условными.

Пусть переменные x1, x2, …, xn связаны системой уравнений

где функции ϕ1, ϕ2, …, ϕm определены на некотором множестве

D Rn, а множество E − множество точек множества D, удовлетво- ряющих данной системе уравнений. Уравнения данной системы на-

зываются уравнениями связей.

Точка M0 (x10 , x20 , …, xn0 ) Е называется точкой условного мини-

мума функции u = f(x1, x2, …, xn) при наличии уравнений (1.1), если найдется такая окрестность Uδ(M0) D точки M0, что для всех точек M из этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям (1.1), выпол- няется неравенство f(M0) < f(M).

Точка M0 (x10 , x20 ,…, xn0 ) Е называется точкой условного мак-

симума функции u = f(x1, x2, …, xn) при наличии уравнений (1.1), если найдется такая окрестность Uδ(M0) D точки M0, что для всех точек M из этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям (1.1), выпол- няется неравенство f(M0) > f(M).

Другими словами, сравниваются между собой значения функции, которые она принимает на множестве тех точек (x1, x2, …, xn), коор- динаты которых удовлетворяют уравнениям (1.1).

83

Для нахождения точек условного экстремума можно использовать следующие методы.

1.Если из уравнений (1.1) можно выразить какие-нибудь m перемен- ных через остальные переменные, тогда, подставив эти переменные вме-

сто соответствующих переменных xi в функцию u = f(x1, x2, …, xn), полу- чим функцию n − m переменных. В результате исследование условного экстремума функции n переменных сведется к уже разобранному иссле- дованию обычного локального экстремума функции n − m переменных.

2.Метод множителей Лагранжа.

Требуется найти условный экстремум функции u = f(x1, x2, …, xn)

при условии ϕi (x1, x2 , …, xn ) = 0, (i = 1, 2, ..., m, m < n).

Рассмотрим функцию n + m переменных:

L(x1, x2 , ..., xn ; λ1, λ2 , ..., λm ) =

= f (x1, x2 , ..., xn ) + λ1ϕ1(x1, x2 , ..., xn ) + λ2ϕ2 (x1, x2 , ..., xn ) + ... + + λmϕm (x1, x2 , …, xn ).

Числа λ1, λ2, …, λm называются множителями Лагранжа, а функ-

ция L(x1, x2, …, xn; λ1, λ2, …, λm) − функцией Лагранжа.

Точка (x10 , x20 , ..., xn0 ; λ10 , λ02 , ..., λ0m ) является стационарной точ- кой функции Лагранжа, если

Точка M0 (x10 , x20 , ..., xn0 ) может быть точкой условного экстремума функции u = f(x1, x2, …, xn) при наличии уравнений (1.1), если сущест- вуют такие числа λ1, λ2, …, λm, что точка (x10 , x20 , ..., xn0; λ10 , λ02 , ..., λ0m ) является критической точкой функции Лагранжа L(x1, x2, …, xn; λ1, λ2, …, λm). Дальнейшее исследование поведения функции в стацио- нарных точках проводится исследованием второго дифференциала функции Лагранжа с учетом условий связи.

Пусть требуется найти экстремум функции z = f(x, y) при выпол- нении дополнительного условия ϕ(x, y) = 0. Функция Лагранжа в этом случае имеет вид

L(x, y, λ) = f(x, y) + λϕ(x, y).

84

Необходимое условие экстремума

∂f = 0,

∂x

∂f =

∂y 0,

ϕ(x, y) = 0.

Достаточное условие существования условного экстремума

Первый способ

Вопрос о существовании и характере условного экстремума мож- но решить, исследовав знак второго дифференциала функции Ла- гранжа

для рассматриваемой системы значений (x0, y0, λ), в которых частные производные функции Лагранжа равны нулю при условии, что

Если второй дифференциал функции Лагранжа d 2L < 0, то в точке (x0, y0) функция f(x, y) имеет условный максимум; если d 2L > 0 – условный минимум.

Второй способ

Выяснить наличие и характер условного экстремума также можно с помощью определителя

Если < 0, то в точке М – условный максимум, если > 0 – ус- ловный минимум.

85

Пример 1.10.1

Найти условный экстремум функции z = x2y(4 – x – y) при условии связи x + y = 6.

Решение

Здесь требуется найти экстремум функции z = x2y(4 – x – y) при условии, что аргументы этой функции лежат на прямой x + y = 6. Из уравнения связи выразим y = 6 − x и подставим его в уравнение функции:

z = x2y(4 – x – y) = x2 (6 – x)(4 – x – 6 + x) = x2 (6 – x)(–2)= −12x2 + 2x3.

Найдем безусловный экстремум функции f = 2x3 – 12x2. Найдем первую производную и приравняем ее к нулю:

f′ = 6x2 – 24x = 0.

Тогда x1 = 0 и x2 = 4 – критические точки.

Отметим критические точки на числовой прямой, найдем знаки производной в полученных интервалах и укажем направления воз- растания и убывания функции (рис. 1.3).

Рис. 1.3

При переходе через точку x1 = 0 первая производная меняет знак с «+» на «−». Следовательно, при x1 = 0 функция достигает максимума. При переходе через точку x2 = 4 первая производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, при x2 = 4 функция достигает минимума.

Так как y = 6 – x, то y1 = 6, а y2 = 2. Тогда точка (0, 6) – точка ус- ловного максимума, точка (4, 2) – точка условного минимума.

Найдем значение функции в точках экстремума:

z(0, 6) = 0;

z(4, 2) = 32(4 – 4 – 2) = −64.

86

Таким образом, функция z = x2y(4 – x – y) с условием связи x + y = 6 имеет условный максимум в точке (0, 6), zmax = z(0, 6) = 0; условный минимум в точке (4, 2), zmin = z(4, 2)= −64.

Найдем стационарные точки. Для этого найдем частные произ- водные и приравняем их к нулю:

Из второго уравнения системы следует, что y = 0 или 144/λ − λ = 0. Если y = 0, то из первого уравнения системы следует, что x = 0. Но тогда третье уравнение данной системы не имеет смысла. Следова- тельно,

87