Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Найдем направляющие косинусы вектора a :

cos α =

; cosβ = −

; cos γ =

Вычислим производную по направлению вектора a = MP по фор-

муле

∂u

cos α +

∂u

cosβ +

∂u

cos γ .

∂a

∂x

∂y

∂z

Тогда

∂z

−

= −

∂a

2 3 4 3 4 3 3 6 12

Пример 1.6.3

Найти производную функции u = arctg

− y2

z в точке М(2, 2, 4)

по направлению вектора a = −3i

4k .

Решение

Найдем частные производные функции u по переменным x, y и z:

∂u		x		′
	= arctg		− y2	z

∂x		y		x

′

;

+ x

y x

+ x

y y

∂u

− y2

′

= arctg

z =

− 2y z =

x 2

∂y

y y

=		y2		−	x	− 2 y z = −	x	− 2 y z;

	y2	+ x2					y2 + x2
			y2

	x		′		y	2
∂u = arctg		− y2	z	= −			.

∂z	y		z		2 z

Тогда частные производные в точке М(2, 2, 4)

∂u

;

∂x

+ 4

∂u

= −

− 8 = −

;

∂y

∂u

= −

= −1.

∂z

Координаты вектора a = (−3,0, 4) , тогда длина вектора

a = (−3)2 + 42 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a :

				cos α = −						3	; cosβ = 0; cos γ =											4		.
				cos α = −							; cosβ = 0; cos γ =													.
								5													5
Вычислим производную по направлению вектора a по формуле

	∂u			=	∂u			cos				α +		∂u				cosβ +		∂u				cos γ .



	∂a		M		∂x		M							∂y		M				∂z			M
	∂a				∂x

Тогда
	∂z				1			3				33	0				4		3		4				19
	∂z				1			3				33					4		3		4				19
				=		−			−						−			= −		−			= −			.
				=		−			−						−			= −		−			= −			.
	∂a	M			4			5				4					5		20 5						20
	∂a	M			4			5				4					5		20 5						20

Пример 1.6.4
Найти угол между			градиентами функций					f (x, y) = x2 + y2
и g(x, y) = x − 3y +		3xy	в точке M(3, 4).
Решение
Найдем частные производные функции f(x, y):
∂f		(x2 + y2 )′			2x			x
	=		x	=		=			;
∂x	=			=	2 x2 + y2	=			;
∂x		2 x2 + y2			2 x2 + y2		x2 + y2

∂f =

(x2 + y2 )′

2 x2 + y2

x2 + y2

∂y

2 x2 + y2

Вычислим частные производные в точке M(3, 4):

∂f

;

∂x

∂y

Тогда градиент функции f(x, y) в точке M

∂f

3 4

= grad f

;

∂x

∂y

5 5

Найдем частные производные функции g(x, y):

∂g

(3xy)′

= 1+

;

∂x

3xy

∂g = −3 +

= −3 +

3x .

(3xy)′

∂y

3xy

2 3xy

Вычислим частные производные в точке M(3, 4):

∂f

= 1+

= 2;

∂g

= −3 +

= −

∂x

∂y

Тогда градиент функции g(x, y) в точке M

∂g

= grad g

;

= 2,−

∂x

∂y

Найдем угол ϕ между градиентами функций f и g по формуле


				(a, b)

	cosϕ =							.
	cosϕ =							.

				\| a \| \| b \|
									3			4					9
Скалярное произведение векторов a =										,				и b	= 2,	−
Скалярное произведение векторов a =										,				и b	= 2,	−
									5		5						4
	3		2 +		4 9						3
(a, b) =						−			= −				.
(a, b) =		5			5	−	4		= −			5	.

Длина вектора a

	9		16
\| a \|=		+		= 1.
\| a \|=	25	+	25	= 1.
	25		25

Длина вектора b
\| b \|=	4 + 81		= 145 .

		16		4

Тогда

cosϕ =	− 3 5	= −		12	.
	145 4		5	145

Пример 1.6.5

Найти направление, в котором производная функции u = x sin z –

– y·cos z в точке M(0, 0, 0) будет максимальной, и найти это макси- мальное значение.

Решение

Производная функции u по направлению максимальна в направ- лении градиента этой функции и этот максимум равен длине вектора grad u.

Найдем частные производные функции u = x sin z – y cos z:

			∂u = sin z;
			∂x
			∂u = − cos z;
			∂y
		∂u = x cos z + y sin z.
		∂z
Тогда частные производные в точке M(0, 0, 0)
∂u		= 0;	∂u		= −1;	∂u		= 0.


∂x	M		∂y	M		∂z	M
∂x

Запишем градиент функции u в точке M: gradu M = (0, − 1, 0).

Длина вектора

gradu M = 1.

Следовательно, производная функции u = x sin z – y cos z в точке M(0, 0, 0) будет максимальной по направлению вектора (0, −1, 0) и равна 1.

Пример 1.6.6

Найти производную функции u = ln(ex + e2y + e3z) в точке М(0, 0, 0) по направлению, составляющему с осью OX угол 60°, с осью OY – угол 45°, с осью OZ − тупой угол.

Решение

Найдем частные производные функции u по переменным x, y и z:

∂u = (ln(ex + e2 y + e3z ))′ =

;

2 y

∂x

+ e

∂u = (ln(ex + e2 y + e3z ))′ =

2e2 y

;

ex + e2 y + e3z

∂y

∂u = (ln(ex + e2 y + e3z ))′ =

3e3z

2 y

∂z

+ e

Тогда частные производные в точке М(0, 0, 0)

∂u

;

∂u

;

∂u

= 1.

∂x

∂y

∂z

Так как надо найти производную по направлению, составляюще- му с осью OX угол 60°, с осью OY угол 45°, то

cosα = cos 60° = 1 ;

	2
cosβ = cos 45° =	2	.
cosβ = cos 45° =	2	.
	2

Величину cos γ найдем из условия

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

Тогда

1	+	1	+ cos2 γ = 1 cos2 γ =	1	cos γ = ±	1	.
4
	2		4		2

Так как искомое направление составляет с осью OZ тупой угол, то

cos γ = − 1 . 2

Вычислим производную по направлению по формуле

			∂u		=	∂u			cos α +		∂u			cosβ +			∂u			cos γ .
			∂u			∂u					∂u						∂u

Тогда			∂a	M		∂x		M			∂y		M				∂z		M
			∂a			∂x


	∂z			1	1		2		2			1			1		2		1		2		1
	∂z			1	1		2		2			1			1		2		1		2		1
			=			+				+ 1	−			=		+		−		=		−		.
			=			+				+ 1	−			=		+		−		=		−		.
	∂a	M		3	2		3		2			2			6	3 2					3 3
	∂a	M		3	2		3		2			2			6	3 2					3 3

1.7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке М0(x0, y0, z0) на-

зывается плоскость, в которой лежат все касательные в точке М0 к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая через точку М0 перпендикулярно касательной плоскости.

Если z = f(x, y) – уравнение гладкой поверхности в явном виде, то

z – z0 = fx′(x0, y0)(x – x0) + fy′(x0, y0)(y – y0) –

уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в точке

М0(x0, y0, z0);

	x − x0			=	y − y0				=	z − z0	−
f ′ (x , y		0	)	=	f ′ (x , y		0	)	=	−1	−
x	0	0			y	0	0

уравнение нормали к поверхности z = f(x, y) в точке М0(x0, y0, z0). Если F(x, y, z) = 0 – уравнение гладкой поверхности, заданное в

неявном виде, то

Fx′(x0, y0, z0)(x – x0) + Fy′(x0, y0, z0)(y – y0) + Fz′(x0, y0, z0)(z – z0) = 0 –

уравнение касательной плоскости к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке

М0(x0, y0, z0);

	x − x0			=		y − y0			=		z − z0				−
F ′ (x , y , z		0	)	=	F ′ (x , y , z		0	)	=	F ′(x , y		, z	0	)	−
x	0 0	0			y	0 0	0			z	0 0		0

уравнение нормали к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке М0(x0, y0, z0).

Пример 1.7.1

Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности z = −2x3y6 − 5y3x + 3x2 − 4y6 в точке O(1, 1, z0).

Решение

Найдем координату z0 точки О:

z0 = z(1, 1) = –2 – 5 + 3 – 4 = –8.

Тогда координаты точки O(1, 1, –8).

Найдем частные производные функции z по переменным x и y и их значения в точке O(1, 1, –8):

∂z = −6x2 y6 − 5y3 + 6x;
∂x
∂z			= −6 − 5	+ 6	= −5;

∂x
			O

∂z = −12x3 y5 − 15y2 x − 24y5;
∂y
∂z		= −12 − 15		− 24 = −51.

∂y
	O

Напишем уравнение касательной					плоскости к поверхности

z = z(x, y) в точке O по формуле

z – z0 = zx'(x0, y0)(x – x0) + zy'(x0, y0)(y – y0).

Тогда

z + 8 = –5(x – 1) – 51(y – 1);

z + 8 = –5x + 5 – 51y + 51;

5x + 51y + z – 48 = 0 –

уравнение касательной плоскости.

Напишем уравнение нормали к поверхности z = z(x, y) в точке O(1, 1, –8) по формуле

x − x0

y − y0

z − z0

z′

(x , y )

−1

Тогда

x − 1

y − 1

z + 8

;

−5

−51

−1

x − 1 = y − 1 = z + 8 –

5		51		1
уравнение нормали.
Итак,
5x + 51y + z – 48 = 0 –
уравнение касательной плоскости,
	x − 1	=	y − 1	=	z + 8	–
5
		51		1

уравнение нормали к поверхности z = −2x3y6 − 5y3x + 3x2 − 4y6 в точке

O(1, 1, z0).

Пример 1.7.2

Написать уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности x3 + y3 + z3 + xyz = 6 в точке M(1, 2, −1).

Решение

Введем функцию F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 + xyz − 6.

Найдем частные производные функции F(x, y, z) по переменным x, y и z, а также их значения в точке M(1, 2 ,−1):

∂F = 3x2 + yz;	∂F			= 3 − 2 = 1;

∂x	∂x			M

∂F = 3y2 + xz;	∂F			= 12 − 1 = 11;

∂y	∂y	M
∂F = 3z2 + xy;	∂F

			= 3 + 2 = 5.
∂z	∂z			M

Напишем уравнение касательной плоскости к нашей поверхности в точке M по формуле

Fx′(x0, y0, z0)(x – x0) + Fy′(x0, y0, z0)(y – y0) + Fz′(x0, y0, z0)(z – z0) = 0.

Тогда

1 (x − 1) + 11 (y – 2) + 5 (z + 1) = 0;

x + 11y + 5z − 18 = 0 –

уравнение касательной плоскости.

Напишем уравнение нормали к поверхности в точке M по формуле:

x − x0

y − y0

F ′ (x , y , z

)

F ′

(x , y , z

)

0 0

Тогда

x − 1

y − 2

z + 1

уравнение нормали. Итак,

x + 11y + 5z − 18 = 0

	z − z0			.
F ′(x , y , z		0	)	.
z	0 0	0

–

уравнение касательной плоскости,

x − 1 = y − 2 = z + 1 – 1 11 5

уравнение нормали к поверхности x3 + y3 + z3 + xyz = 6 в точке M(1, 2, −1).

Пример 1.7.3

Написать уравнение касательной плоскости к поверхности x2 + y2 + 2z2 = 22 параллельно плоскости 2x + y − z = 5.

Решение

Fx′

−

x )

F′

( y − y0 ) + Fz′

M (z − z0 ) = 0

–

уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной неявно уравнением F(x, y, z) = 0, в точке M(x0, y0, z0).

Две плоскости A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0

параллельны, если их коэффициенты пропорциональны, т.е.

A1 = B1 = C1 = k.

A2 B2 C2

Следовательно, касательная					плоскость параллельна плоскости
2x + y − z = 5, если

	F ′			Fy′			F ′
	F ′			Fy′			F ′
	x	M	=		M	=	z	M	= k.
2			=			=	−1		= k.
2			1				−1

Найдем частные производные функции F(x, y, z) = x2 + y2 + 2z2 – 22 по переменным x, y и z и их значения в точке M(x0, y0, z0):

Fx′ = 2x,

Fx′

M = 2x0 ;

Fy′ = 2y,

Fy′

M = 2 y0 ;

Тогда

Fz′ = 4z,

Fz′

M = 4z0.

= k,

= k y

−1

= −

Точка M(x0, y0, z0) принадлежит поверхности x2 + y2 + 2z2 = 21, а значит, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению, т.е.

+ y2

+ 2z

2 = 22

k 2 +

+ 2

−

= 22,

k 2 +

k 2

2k 2

= 22.

Умножим на 16:

16k 2 + 4k 2 + 2k 2 = 22 16;

22k 2 = 22 16; k 2 = 16;

k = ±4.

Следовательно, координаты точки M(k, k/2, −k/4) при k = ±4

Fx′ M = 2k; Fy′ M = k; Fz′ M = −k.

Получили две точки: M1(4, 2, −1) при k = 4 и M2(−4, −2, 1) при k = −4;

Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

M1(4, 2, −1):

2k (x − 4) + k ( y − 2) − k (z + 1) = 0 : k ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.20163.07 Mб43186- Путешествуем с английским- Русско-англ разг для бизнесм и путешеств_ред. Мерхелевич_2006.pdf
#
11.11.20181.62 Mб221866.doc
#
08.09.20191.05 Mб111878_ekonomika.doc
#
11.11.20181.99 Mб221882 курсовая ПМП.doc
#
29.09.201988.58 Кб1318_oskol.doc
#
23.03.20161.25 Mб63190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb.pdf
#
06.05.20194.67 Mб241920.doc
#
16.09.2019736.77 Кб61The Tower of London is one of the world.doc
#
20.04.2015606.03 Кб971_2_223.pdf поляков.pdf
#
14.11.201971.92 Кб361а Правоведение. Контрольная работа № 1 2012-13...docx
#
20.04.2015386.05 Кб421ТУ.doc