![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb
.pdf![](/html/2706/142/html_fWjSvtF4am.BHZ4/htmlconvd-4QAmgt21x1.jpg)
z = 5arcsin |
y |
− 5tg2 (x6 y + y6 x − 1). |
|
x6 |
|||
|
|
Решение
Найдем частную производную функции z по переменной x, для этого продифференцируем функцию z по переменной x, считая y константой:
∂z |
= |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
(yx−6 )′x |
− 5 2tg(x6 y + y6 x |
− 1)(tg(x6 y + y6 x − 1))′x |
= |
|||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|||||||||||||||||||
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x6 y + y6 x − 1)′x |
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
|
|
5 |
|
|
|
(−6yx−7 )− 10 tg(x6 y + y6 x − 1) |
|
|
= |
|
|||||||||||||
|
|
|
1− |
y |
2 |
|
|
cos2 (x6 y + y6 x − 1) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6x5 y + y6 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= − |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 y |
− 10 tg(x6 y + y6 x − 1) |
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
x12 − y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x7 |
|
|
cos2 (x6 y + y6 x − 1) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= − |
|
|
30 y |
|
|
|
|
− 10 tg(x6 y + y6 x − 1) |
|
|
6x5 y + y6 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 (x6 y + y6 x − 1) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x12 − y2 |
|
|
|
|
Найдем частную производную функции z по переменной y, для этого продифференцируем функцию z по переменной y, считая x константой:
∂z |
= |
|
5 |
|
(yx−6 )′y |
− 5 2tg(x6 y + y6 x − 1)(tg(x6 y + y6 x − 1))′y |
= |
|
∂y |
|
y |
2 |
|||||
|
1 |
− |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x6 |
|
|
|
= |
5 |
|
|
x |
−6 − 10 tg(x6 y + y6 x − 1) |
|
|
(x6 y + y6 x − 1)′y |
= |
||||||||||||||
|
|
1 − |
y |
2 |
|
|
cos2 (x6 y + y6 x − 1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
− 10tg(x |
6 |
y + y |
6 |
x − 1) |
|
x6 + 6y5 x |
|
|
= |
|||||
|
|
|
x12 − y2 |
x6 |
|
|
|
cos2 (x6 y + y6 x − 1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5 |
|
|
|
|
|
|
− 10 tg(x6 y + y6 x − 1) |
|
x6 + 6 y5 x |
|
|
. |
||||||||||
|
|
x12 − y2 |
|
cos2 (x6 y + y6 x − 1) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
1.4. Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть частная производная |
∂f |
по аргументу xi функции |
|
∂xi |
|
u = f(x1, x2, ..., xn), определенной в области D Rn , существует в каждой |
||
точке области D. В этом случае частная производная представляет со- |
бой функцию переменных x1, x2, ..., xn, также определенную в области D. Поэтому можно поставить вопрос о существовании частных производ- ных у этой функции по какой-либо переменной в точке M D.
Частная производная |
∂ |
|
∂f |
|
называется частной производной |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
∂x j |
∂xi |
|
|
|
|
|
|||
второго порядка и обозначается |
|
|
∂2 f |
. Заметим, что при i = j при- |
||||||
∂2 f |
|
|
|
∂xi∂x j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
меняется обозначение ∂x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
||
Пусть функция z = f(x, y) имеет частные производные ∂x |
и |
|
в |
|||||||
∂y |
каждой точке области D. Эти производные также являются функциями переменных x и y. Частные производные от этих функций называются
вторыми частными производными или частными производными вто-
рого порядка от данной функции z = f(x, y). Каждая производная первого порядка имеет две частные производные: по переменной x и по пере- менной y. Таким образом, получим четыре частных производных второ- го порядка, которые обозначаются следующим образом:
|
|
∂2 z = |
∂ |
∂z |
= |
f ′′ |
; |
∂2 z |
= |
∂ |
∂z |
= |
f ′′ |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂2 z = |
|
∂ |
∂z |
= |
f ′′ |
; |
∂2 z |
|
= |
∂ |
∂z |
= |
f ′′ . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∂y2 |
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
∂y∂x |
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∂2 z |
|
∂2 z |
|
называются смешанными, производная |
|||||||||||||||||
|
Производные |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
∂x∂y |
|
∂y∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂2 z |
получается дифференцированием функции z = f(x, y) сначала по |
||||||||||||||||||||||
|
∂x∂y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 z |
||
переменной x, а затем по y; для нахождения производной |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
сначала |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y∂x |
функцию z = f(x, y) дифференцируем по переменной y, а затем по x.
22
![](/html/2706/142/html_fWjSvtF4am.BHZ4/htmlconvd-4QAmgt23x1.jpg)
Например, рассмотрим функцию z = xy (x > 0, x ≠ 1). Найдем ее ча- стные производные первого порядка:
|
|
|
|
|
|
∂z = yxy−1; |
∂z = xy ln x. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
∂y |
||||
Найдем вторые частные производные: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂2 z |
= |
|
∂ |
(yx y−1 ) = y( y − 1)x y− 2 ; |
||||||||
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∂2 z |
= |
|
∂ |
(x y ln x) = x y ln2 x; |
||||||||
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂2 z |
= |
|
∂ |
(yx y−1 ) = x y−1 + yx y−1 ln x; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|||||||||||
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂2 z |
= |
∂ |
(x y ln x) = yx y−1 ln x + x y |
1 |
= yx y−1 ln x + x y−1. |
|||||||||||
|
|
∂x |
|
||||||||||||||
|
∂y∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
∂2 z
Заметим, что в данном примере смешанные производные ∂x∂y и
∂2 z
∂y∂x равны между собой. Это не случайно. Если смешанные произ-
∂2 z ∂2 z
водные ∂x∂y и ∂y∂x определены в некоторой окрестности точки
M(x, y) и непрерывны в этой точке, то тогда смешанные производные в этой точке равны между собой, т.е.
∂2 z |
∂2 z |
||
|
= |
|
. |
|
|
||
∂x∂y |
∂y∂x |
Здесь условие непрерывности частных производных является су- щественным условием. Если оно не выполнено, то может оказаться, что смешанные производные будут не равны между собой.
Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка, и т.д.
Пусть в области D задана функция z = z(x, y) двух переменных x и y. Если эта функция дифференцируема в области D , то ее полный дифференциал в точке M0(x0, y0) D
23
![](/html/2706/142/html_fWjSvtF4am.BHZ4/htmlconvd-4QAmgt24x1.jpg)
dz |
|
|
= ∂z |
|
|
dx + ∂z |
|
|
dy. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
M0 |
∂x |
|
M0 |
∂y |
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Тогда полным дифференциалом второго порядка называется пол- ный дифференциал от полного дифференциала первого порядка при условии, что dx и dy считаются постоянными. Формула для нахожде- ния второго дифференциала:
d 2 z |
|
|
= |
∂2 z |
|
dx2 + |
∂2 z |
|
dy2 + 2 |
∂2 z |
|
dxdy. |
|
|
|||||||||||
|
M0 |
∂x2 |
|
∂y2 |
|
∂x∂y |
||||||
|
|
|
M0 |
|
M0 |
|
|
M0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для функции u = u(x, y, z) трех переменных x, y и z дифференциал второго порядка в точке M0(x0, y0, z0)
d 2u |
|
|
= |
∂2u |
dx2 |
+ ∂2u |
dy2 + |
∂2u |
|
|
dz2 + 2 |
∂2u |
|
dxdy + |
|||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|||||||||||||
|
|
M0 |
|
∂x2 |
M0 |
|
∂y2 |
M0 |
∂z2 |
M0 |
|
M0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
∂2u |
|
|
|
dydz + 2 |
|
∂2u |
|
dxdz, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∂y∂z |
|
|
|
∂x∂z |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
M0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
∂2u |
= |
|
∂ |
∂u |
; |
||||
∂x2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||||
|
∂x |
∂x |
|
||||||
∂ |
2 |
u |
= |
|
∂ |
∂u ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
||||
|
∂y ∂y |
|
|||||||
∂2u |
= |
|
∂ |
∂u |
; |
||||
∂z2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
∂z |
∂z |
|
∂2u
∂x∂y
∂2u
∂y∂z
∂2u
∂x∂z
=∂ ∂u ;
∂y ∂x
=∂ ∂u ;
∂∂ z y
=∂ ∂u .
∂z ∂x
Пример 1.4.1
Найти дифференциалы первого и второго порядка функции
z = |
x |
+ |
5y |
+ 5x6 |
в точке М(1, 1). |
y2 |
|
||||
|
|
x3 |
|
Решение
Найдем частные производные функции z по переменным x и y:
∂z = (xy−2 + 5yx−3 + 5x6 )′ = y−2 − 15x−4 y + 30x5; |
|
∂x |
x |
|
24
![](/html/2706/142/html_fWjSvtF4am.BHZ4/htmlconvd-4QAmgt25x1.jpg)
∂z = (xy−2 + 5yx−3 + 5x6 )′ = −2y−3 x + 5x−3. |
|
∂y |
y |
|
Вычислим частные производные в точке M(1, 1):
∂z |
|
|
= 1 |
− 15 |
+ 30 |
= 16; |
∂z |
|
|
= −2 |
+ 5 |
= 3. |
|
||||||||||||
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|||||||
|
M |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем дифференциал первого порядка функции z в точке M по
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
= ∂z |
|
dx + ∂z |
|
|
|
M |
dy. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
∂x |
|
M |
|
∂y |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
M = 16dx + 3dy. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найдем частные производные второго порядка функции z: |
|||||||||||||||||||||||||||
∂2 z |
|
|
|
|
∂ |
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂x2 |
= |
|
|
|
|
|
|
= (y−2 − 15x−4 y |
+ 30x5 )′ = 60x−5 y + 150x4 ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
2z |
= |
∂ |
|
|
∂z |
|
|
|
= (−2xy |
−3 + 5x−3 )′ = 6xy−4 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂y ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂2 z |
= |
|
∂ |
|
∂z |
= (y |
−2 − 15x−4 y + 30x5 )′ = −2y−3 − 15x−4. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∂x∂y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||
Вычислим частные производные второго порядка в точке M: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
∂2 z |
|
|
|
= |
210; |
|
|
∂2 z |
|
|
= |
6; |
|
∂2 z |
|
|
|
= −2 − 15 = −17. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
M |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем второй дифференциал функции z в точке M по формуле
d |
2 |
z |
|
|
= |
∂2 z |
|
dx |
2 |
+ |
∂2 z |
|
dy |
2 |
+ 2 |
∂2 z |
|
dxdy. |
||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
M |
∂x |
2 |
M |
|
∂y |
2 |
M |
|
∂x∂y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
d 2 z = 210dx2 + 6dy2 − 34dxdy.
M
25
Пример 1.4.2
Найти |
дифференциалы первого и второго порядка функции |
||
z = |
2x + 5y |
в точке М(0, 1). |
|
3y − x |
|||
|
|
Решение
Найдем частные производные функции z по переменным x и y:
|
|
∂z |
|
|
(2x + 5y)′ |
(3y − x) − (2x + 5y)(3y − x)′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|
||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
(3y − x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
2(3y − x) − (2x + 5y)(−1) |
= |
6 y − 2x + 2x + 5y |
|
|
= |
|
|
|
11y |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3y − x)2 |
|
(3y − x)2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
(3y − x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∂z = |
|
(2x + 5y)′ |
(3y − x) − (2x + 5y)(3y − x)′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3y − x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
5(3y − x) − (2x + 5y) 3 |
= |
15y − 5x − 6x − 15y |
|
= |
|
|
|
−11x |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3y − x)2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
(3y − x)2 |
|
|
|
|
|
|
(3y − x)2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычислим частные производные в точке M(0, 1): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
= |
11 |
; |
∂z |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
M 9 |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем дифференциал первого порядка функции z в точке M по формуле
dz |
|
= |
∂z |
|
dx + |
∂z |
M |
dy. |
|||||
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
M |
|
∂x |
M |
∂y |
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
M |
= |
11 |
dx. |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем частные производные второго порядка:
∂ |
2 |
z = |
∂ |
|
11y |
|
|
= (11y(3y |
− x)−2 )′ = |
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||
∂x |
2 |
∂x |
(3y − x) |
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 11y(−2)(3y − x)−3 (−1) = |
|
22 y |
; |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
(3y − x)3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
|
|
∂ |
2 |
|
|
|
∂ |
|
−11x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z = |
|
|
|
= (−11x(3y − x)−2 )′ |
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
∂y |
2 |
|
|
∂y (3y − x) |
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −11x(−2)(3y − x)−2 3 = |
|
66x |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
(3y − x)3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂2 z |
|
∂ |
11y |
|
|
|
11(3y − x)2 − 11y 2(3y |
− x) 3 |
|
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3y − x)4 |
|
|
|
|||||||||
|
∂y (3y − x)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
11(3y − x) − 66 y |
= |
33y − 11x − 66 y |
= |
−33y − 11x |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
(3y − x)3 |
|
|
|
|
|
(3y − x)3 |
|
(3y − x)3 |
|
Вычислим частные производные второго порядка в точке М:
∂2 z |
= |
22 |
|
∂2 z |
= 0; |
∂2 z |
|
= − |
33 |
= − |
11 |
|||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
∂x2 |
27 |
∂y2 |
∂x∂y |
27 |
9 |
|||||||||
M |
|
M |
|
M |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем второй дифференциал функции z в точке M по формуле:
d |
2 |
z |
|
= |
∂2 z |
|
|
dx |
2 |
+ |
∂2 z |
|
|
dy |
2 |
+ 2 |
∂2 z |
|
|
dxdy. |
||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∂x∂y |
|
||||||||||||
Тогда |
|
|
M |
|
∂x |
|
M |
|
|
|
|
|
∂y |
|
M |
|
|
|
|
|
M |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 z |
|
M |
= |
22 |
dx2 |
− |
22 |
dxdy. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.4.3
Найти дифференциалы первого и второго порядка функции z = ln(e2x + ey) в точке М(0, 0).
Решение
Найдем частные производные функции z по переменным x и y:
∂z |
= (ln(e |
2x |
+ e |
y |
))′ |
= |
1 |
|
(e |
2x |
+ e |
y |
)′ |
= |
|
2e2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂x |
|
|
|
|
x |
|
e2x + ey |
|
|
|
|
|
x |
|
e2x + ey |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂z |
= (ln(e |
2x |
+ e |
y |
))′ |
= |
1 |
|
(e |
2x |
+ e |
y |
)′ |
= |
|
ey |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂y |
|
|
|
|
y |
|
e2x + ey |
|
|
|
|
|
y |
|
|
e2x + ey |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим частные производные в точке M:
27
∂z |
|
|
= 1; |
∂z |
|
|
= |
1 |
. |
|
|||||||||
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|||
|
M |
|
|
M |
2 |
|
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Найдем дифференциал первого порядка функции z в точке M по формуле
dz |
|
= |
|
∂z |
|
dx + |
∂z |
M |
dy. |
|||
|
|
|||||||||||
|
||||||||||||
|
|
M |
|
|
∂x |
|
M |
∂y |
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
M |
= dx + |
1 |
dy. |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Найдем частные производные второго порядка функции z:
∂2 z |
|
|
∂ |
∂z |
|
2e2x |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
(e2x )′ (e2x |
+ ey ) − e2x (e2x + ey )′ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= |
||||||||||||
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e2x + ey )2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
∂x |
|
e2x + ey |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e2x (e2x |
+ ey ) − e2x 2e2x |
|
|
|
|
4e2xey |
|
|
|
|
4e2x+ y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(e2x + ey )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e2x + ey )2 |
|
|
(e2x |
+ ey )2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∂2 z |
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂z |
|
|
ey |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
(ey )′y (e2x + ey ) − ey (e2x + ey )′y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||
y2 |
|
∂y |
|
∂y |
|
|
|
ey |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e2x |
|
ey )2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e2x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ey (e2x |
+ ey ) − eyey |
|
|
|
|
|
|
|
eye2x |
|
|
|
|
|
|
e2x+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(e2x + ey )2 |
|
|
|
|
|
|
|
(e2x + ey )2 |
(e2x + ey )2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
z |
|
|
|
∂ |
∂z |
|
|
|
|
2e |
2x |
|
′ |
|
|
|
−e2x (e2x + ey )′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e2x + ey )2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
∂x |
|
|
e2x + ey |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2 |
|
e2xey |
|
|
|
|
= −2 |
|
|
e2x+ y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e2x + ey )2 |
(e2x + ey )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим частные производные второго порядка в точке M: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 z |
|
|
= |
1; |
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
= |
1 |
; |
|
|
∂2 z |
|
|
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
∂y2 |
|
M |
4 |
|
|
∂x∂y |
|
M |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
![](/html/2706/142/html_fWjSvtF4am.BHZ4/htmlconvd-4QAmgt29x1.jpg)
Найдем второй дифференциал функции z в точке M по формуле:
d |
2 |
z |
|
|
= |
∂2 z |
|
dx |
2 |
+ |
∂2 z |
|
dy |
2 |
+ 2 |
∂2 z |
|
dxdy. |
||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
M |
∂x |
2 |
M |
|
∂y |
2 |
M |
|
∂x∂y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
d 2 z |
|
|
= dx2 + |
1 |
dy2 − dxdy. |
|
|||||
|
|
|
|||
|
|
M |
4 |
|
|
|
|
Пример 1.4.4
Найти дифференциалы первого |
и |
второго порядка функции |
u = 2xy5 z + 4x3 y − 6xyz2 + 2x + 3y − 5z |
в |
точке М(−2, 1, −1). |
Решение
Найдем частные производные функции u по переменным x, y и z:
∂u = (2xy5 z + 4x3 y − 6xyz2 + 2x + 3y − 5z)′ = 2 y5 z + 12x2 y − 6yz2 + 2; |
||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂u = (2xy5 z + 4x3 y − 6xyz2 + 2x + 3y − 5z)′ = 10xy4 z + 4x3 |
− 6xz2 |
+ 3; |
||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂u = (2xy5 z + 4x3 y − 6xyz2 + 2x + 3y − 5z)′ |
= 2xy5 |
− 12xyz − 5. |
||||||||||||
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим частные производные в точке M: |
|
|
|
|||||||||||
∂u |
|
|
= 42; |
∂u |
|
|
= 3; |
∂u |
|
|
= −33. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|||
|
M |
|
|
M |
|
|
M |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем дифференциал первого порядка функции u в точке M по
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
= |
∂u |
|
M |
dx + |
∂u |
|
M |
dy + |
∂u |
|
M |
dz. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
M |
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
du M = 42dx + 3dy − 33dz.
Найдем частные производные второго порядка функции u:
∂2u |
= |
∂ |
∂u |
= (2 y |
5 |
z + 12x |
2 |
y − 6yz |
2 |
+ 2)′ |
= 24xy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
∂x2 |
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
29
![](/html/2706/142/html_fWjSvtF4am.BHZ4/htmlconvd-4QAmgt30x1.jpg)
|
|
|
∂2u = |
|
∂ |
∂u |
= (10xy4 z + |
4x3 − |
6xz2 + 3)′ = 40xy3 z; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
= |
∂ |
∂u |
= (2xy |
5 |
− 12xyz − 5)′ = −12xy; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z2 |
|
|
∂z ∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂2u |
= |
∂ |
|
|
|
∂u |
= (2y |
5 |
z + |
12x |
2 |
y |
− 6yz |
2 |
+ 2)′ |
= 10y |
4 |
z + |
12x |
2 |
− 6z |
2 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂x∂y |
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∂2u |
= |
|
∂ |
∂u |
= |
(2y |
5 |
z + 12x |
2 |
y − 6yz |
2 |
+ 2)′ = |
2y |
5 |
− 12yz; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
∂x∂z |
|
|
|
|
∂z |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
∂2u |
= |
|
|
∂ ∂u |
= |
(10xy4 z + 4x3 − 6xz2 + |
3)′ = 10xy4 − 12xz. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y∂z |
|
|
|
∂z |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим частные производные второго порядка в точке M:
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
= 24(−2) = −48; |
∂2u |
|
|
|
= 40(−2)(−1) = 80; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= −12(−2) = 24; |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 10(−1) + 12 4 − 6 = 32; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂z2 |
|
M |
|
|
∂x∂y |
M |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= 2 − 12(−1) |
= 14; |
|
|
|
|
|
|
= 10( |
−2) − 12(−2)(−1) = −44. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x∂z |
|
|
|
|
∂y∂z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем второй дифференциал функций в точке M по формуле |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
2 |
u |
|
|
|
|
= |
∂2u |
|
dx |
2 |
+ |
∂2u |
|
|
dy |
2 |
|
+ |
∂2u |
|
|
|
dz |
2 |
+ 2 |
∂2u |
|
|
dxdy + |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M |
∂x |
2 |
|
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
∂z |
2 |
M |
|
∂x∂y |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
∂2u |
|
|
|
dxdz + 2 |
|
∂2u |
|
|
dydz. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂z |
|
|
∂y∂z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
d 2u = −48dx2 + 80dy2 + 24dz2 + 64dxdy + 28dxdz − 88dydz.
M
30