190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb
.pdfПример 1.4.5
Найти дифференциалы первого и второго порядка функции u = x2 + y2 + z2 − 2xy в точке М(2, 1, 1).
Решение
Найдем частные производные функции u по переменным x, y и z:
∂u = |
( x2 + y2 + z2 − 2xy )′ = |
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy)′x |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂x |
|
|
x |
|
|
2 x2 + y2 + z2 − 2xy |
|||||||
= |
|
2x − 2y |
= |
|
|
|
x − y |
||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
|
2 x2 + y2 + z2 − 2xy |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 − 2xy |
||||||
∂u = |
( x2 + y2 + z2 − 2xy )′ = |
(x2 + y2 + z2 − 2xy)′y |
= |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
∂y |
|
|
|
y |
|
|
2 x2 + y2 + z2 − 2xy |
||||||
= |
|
2y − 2x |
= |
|
|
|
y − x |
||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||
|
2 x2 + y2 + z2 − 2xy |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 − 2xy |
||||||
∂u = |
( x2 + y2 + z2 − 2xy )′ = |
(x2 + y2 + z2 − 2xy)′z |
= |
||||||||||
|
|
||||||||||||
∂z |
|
|
|
z |
|
|
2 x2 + y2 + z2 − 2xy |
||||||
= |
|
2z |
|
= |
|
|
|
z |
|||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
2 x2 + y2 + z2 − 2xy |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 − 2xy |
Вычислим частные производные в точке M:
∂u |
|
|
= |
1 |
; |
∂u |
|
|
= − |
1 |
; |
∂u |
|
|
= |
1 |
. |
|
|
||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
||||||
|
M |
2 |
|
|
M |
2 |
|
|
M |
2 |
|
||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем дифференциал первого порядка функции u в точке M по формуле
du |
|
= |
∂u |
|
M |
dx + |
∂u |
M |
dy + |
∂u |
|
M |
dz. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
M |
∂x |
|
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
31
du |
|
M |
= |
1 |
(dx − dy + dz). |
|
|||||
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
Найдем частные производные второго порядка функции u:
∂2u |
|
∂ |
∂u |
|
|
|
x − y |
|
|
′ |
|
||||
|
2 |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||
∂x |
|
∂x ∂x |
|
x |
+ y |
+ z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
− 2xy x |
|
= |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
)x |
= |
|
||||||
|
|
(x − y)′ x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y) |
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 − 2xy |
|
′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x2 + y2 + z2 − 2xy )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
|
2 x2 |
+ y2 + z2 − 2xy |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 + z2 − 2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y)(x − y) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
x2 + y2 + z2 − 2xy − x |
2 + 2xy − y2 |
= |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
u |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
y − x |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∂u |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂y |
∂y |
|
x |
+ y |
+ z |
− 2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
( y |
|
|
y |
|
+ y2 + z2 − |
2xy − |
( y − x) |
( |
|
|
|
x2 + y2 + z2 − |
2xy |
)y |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
− x)′ |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x2 + y2 + z2 − 2xy )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 − 2xy − ( y − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
|
2 x2 |
+ y2 + z2 − 2xy |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 + z2 − 2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
|
|
= |
x2 + y2 + z2 |
− 2xy − ( y |
− x)( y − x) |
= |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
= |
x2 |
+ y2 + z2 − 2xy − y2 |
+ 2xy − x2 |
= |
|
|
|
z |
2 |
|
|
; |
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
2 |
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
2 |
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
u |
|
|
∂ ∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∂z |
|
|
∂z |
|
∂z |
|
|
x |
|
+ y |
+ z |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy z |
|
|
|
)z |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(z)′ x2 + y2 + z2 − 2xy − z x2 + y2 + z2 − |
2xy |
|
′ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x2 + y2 + z2 − 2xy )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 − 2xy − z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= |
|
2 x2 + y2 + z2 − 2xy |
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
+ z2 − 2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
x2 |
+ y2 |
+ z2 − 2xy − z |
2 |
|
= |
|
|
|
|
x2 |
+ y |
2 − 2xy |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
∂ |
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∂x∂y ∂y ∂x |
|
x |
+ y |
+ z |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
( |
|
|
) |
|
|
(x − y)′ x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y) |
|
x2 + y2 + z2 − 2xy |
′ |
|
||||
|
|
y |
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
( x2 + y2 + z2 − 2xy )2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− x2 + y2 + z2 − 2xy − (x − y) |
|
|
2y − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
2 + y2 + z2 − 2xy |
|
|
|
|||
|
= |
|
2 |
x |
= |
|
|||
|
x2 + y2 + z2 |
− 2xy |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
33
|
|
|
|
|
|
|
= |
− x2 − y2 − z2 |
+ |
2xy − (x − y)( y − x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
− x2 |
− y2 |
− z2 + 2xy + x2 |
− 2xy + y2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− z2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy) |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
|
∂ |
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x∂z ∂z ∂x |
|
|
x |
+ y |
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2xy z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(x − y)( x2 + y2 + z2 − 2xy )′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x2 + y2 + z2 − 2xy )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
−(x − y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 x2 + y2 + z2 − |
2xy |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
( y − x)z |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 − 2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
u = |
|
∂ |
∂u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
y − x |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y∂z |
|
|
∂z ∂y |
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2xy z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−( y − x)( x2 + y2 + z2 − 2xy )′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
z |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x2 + y2 + z2 − 2xy )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−( y − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
2 x2 + y2 + z2 − 2xy |
|
= |
|
|
|
|
|
(x − y)z |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + y2 + z2 − 2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 + z2 − 2xy)2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим частные производные второго порядка в точке M:
∂2u |
= |
1 |
; |
∂2u |
|
= |
1 |
; |
∂2u |
= |
1 |
; |
∂x2 |
2 2 |
∂y2 |
|
2 2 |
∂z2 |
2 2 |
||||||
M |
|
M |
|
|
M |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
∂2u |
|
= − |
1 |
; |
∂2u |
|
|
= − |
1 |
; |
∂2u |
|
= |
1 |
. |
∂x∂y |
|
2 2 |
∂x∂z |
|
2 2 |
∂y∂z |
|
2 2 |
|||||||
|
M |
|
M |
|
|
|
M |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем второй дифференциал функций в точке M по формуле
d |
2 |
u |
|
|
= |
∂2u |
|
dx |
2 |
+ |
∂2u |
dy |
2 |
+ |
∂2u |
|
|
|
dz |
2 |
+ 2 |
∂2u |
|
dxdy + |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
M |
∂x |
2 |
M |
|
|
∂y |
2 |
|
∂z |
2 |
M |
|
∂x∂y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
M |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
∂2u |
|
|
|
dxdz + 2 |
∂2u |
|
|
dydz. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂z |
|
|
∂y∂z |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
d 2u = 1 (dx2 + dy2 + dz2 − 2dxdy − 2dxdz + 2dydz).
M2 2
1.5.Производная сложной функции
ипроизводная функции, заданной неявно
Дифференцирование сложной функции
Если зависимость функции от аргументов задана через некоторые промежуточные переменные, т.е. задана композиция функций, то в этом случае говорят, что задана сложная функция.
Пусть в некоторой области D задана дифференцируемая функция z = f(x, y). Причем каждая из переменных x и y, в свою очередь, явля- ется дифференцируемой функцией независимой переменной t, т.е.
x = x(t), y = y(t) и существуют производные |
dx |
= x′(t) и |
dy |
= y′(t) . |
|
|
|||
|
dt |
dt |
Тогда производная сложной функции z = f(x(t), y(t)) может быть вы- числена по формуле
dz = ∂z dx + ∂z dy . dt ∂x dt ∂y dt
В частном случае, если z = f(x, y), а функция y = y(x), т.е. z является сложной функцией от переменной x, то полная производная функции z по x
dz = ∂z + ∂z dy . dx ∂x ∂y dx
35
Сформулированное правило дифференцирования сложной функции остается справедливым и для функций любого числа независимых пе- ременных и при любом числе промежуточных аргументов.
Пусть функция u = f(x1, x2, …, xn) − дифференцируемая функция n не- зависимых переменных, которые являются дифференцируемыми функ- циями независимых переменных t1, t2, …, tm, то есть x1 = x1(t1, t2, …, tm), x2 = x2(t1, t2, …, tm), …, xn = xn(t1, t2, …, tm). Тогда частные производ- ные функции u по переменным t1, t2, …, tm находятся по следующим формулам:
∂u |
= |
∂u |
∂x1 + |
∂u |
|
∂x2 |
+ …+ |
∂u |
|
∂xn |
; |
|
∂x |
∂x |
|
∂x |
|
||||||
∂t |
∂t |
|
∂t |
|
∂t |
||||||
1 |
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
n |
1 |
|
∂u |
= |
∂u |
∂x1 + |
∂u |
∂x2 +…+ |
∂u |
|
∂xn |
; |
||||
|
∂x |
∂x |
∂x |
|
|||||||||
∂t |
2 |
|
∂t |
2 |
∂t |
2 |
|
∂t |
2 |
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
…………………………………………………
∂u |
= |
∂u |
|
∂x1 |
+ |
∂u |
|
∂x2 |
+ …+ |
∂u |
|
∂xn |
. |
||||
|
∂x |
|
∂t |
|
∂x |
|
∂x |
|
|||||||||
∂t |
m |
|
m |
|
|
∂t |
m |
|
∂t |
m |
|||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
При этом выражение для дифференциала первого порядка имеет вид
du = |
∂u |
dx + |
∂u |
dx + …+ |
∂u |
dx . |
|
|
|
||||
|
∂x1 |
∂x2 |
∂xn |
|||
|
1 |
2 |
|
n |
В частности, для функции z = f(x, y), где x = x(u, v), y = y(u, v) имеем
∂z = ∂z ∂x + ∂z ∂y ; ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂z = ∂z ∂x + ∂z ∂y . ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
В этом случае дифференциал первого порядка
dz = ∂z dx + ∂z dy.
∂x ∂y
То есть полный дифференциал для функции z = f(x, y) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли ее аргументы x и y не- зависимыми переменными или функциями от независимых перемен- ных (свойство инвариантности первого дифференциала).
36
Дифференцирование функции, заданной неявно
1. Пусть задано уравнение F(x, y) = 0, где F(x, y) – функция двух пе- ременных, заданная в некоторой области D на плоскости XOY. Если для каждого значения x из некоторого интервала (a, b) существует единст- венное значение y, для которого F(x, y(х)) = 0, то говорят, что уравнение F(x, y) = 0 определяет у как неявную функцию от переменной х.
Таким образом, неявной функцией переменной x называется функ- ция, значения которой находятся из уравнения, связывающего x и y, и не разрешенного относительно y.
Если F(x, y) – дифференцируемая функция двух переменных x и y – определяет y как функцию от переменной x и Fy′ ≠ 0, то произ-
водная этой неявной функции может быть найдена по формуле
dy = − Fx′ , dx Fy′
где Fx′ , Fy′ – частные производные функции F(x, y).
Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием данной формулы.
2. Пусть уравнение F(x, y, z) = 0 определяет z как некоторую функцию z = ϕ(x, y) двух независимых переменных x и y.
Если F(x, y, z) – дифференцируемая функция трех переменных x, y и z и Fz′ ≠ 0, то
∂z |
|
F ′ |
|
∂z |
|
Fy′ |
|
|
|
= − |
x |
, |
|
= − |
|
. |
|
∂x |
F ′ |
∂y |
F ′ |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
z |
|
|
|
z |
|
где Fx′ , Fy′ , Fz′ – частные производные функции F(x, y, z).
3. Пусть уравнение F(x1, x2, …, xn, y) = 0 определяет y как некоторую функцию y = ϕ(x1, x2, …, xn) n независимых переменных x1, x2, …, xn.
Если F(x1, x2, …, xn, y) – дифференцируемая функция n + 1 пере- менной x1, x2, …, xn, y и Fy′ ≠ 0, то
∂y = − Fx′i , i = 1,2, ..., n,
∂xi Fy′
где Fx′i , Fy′ – частные производные функции F(x1, x2, …, xn, y).
37
Пример 1.5.1
Найти dz , если z = ln cos(xy3), где x = arctg t, y = sin2t. dt
Решение
Найдем частные производные функции z = ln cos(xy3) по перемен- ным x и y:
|
∂z |
= (ln cos(xy3 ))′ = |
(cos(xy3 ))′ |
|
(− sin(xy3 ))(xy3 )′ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|
x |
= |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
cos(xy3 ) |
|
|
cos(xy3 ) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
sin(xy3 ) y3 |
|
= − y3 tg(xy3 ); |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos(xy3 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂z = (ln cos(xy3 ))′ = |
(cos(xy3 ))′ |
|
(− sin(xy3 ))(xy3 )′ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
|
|
y |
|
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
cos(xy3 ) |
|
|
cos(xy3 ) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
= − |
sin(xy3 )3y2 x |
= −3xy2 tg(xy3 ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(xy3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найдем производные функции x = arctg t, y = sin2t: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
= (arctg t)′ = |
|
1 |
|
; |
dy |
= |
(sin2 t)′ = 2sin t cost = sin 2t. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1+ t2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда производную |
dz |
|
вычислим по формуле |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= ∂z |
|
dx |
+ |
∂z |
dy |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
∂x |
|
dt |
∂y |
dt |
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dz |
= − y3tg(xy3 ) |
|
1 |
|
|
− |
3xy2tg(xy3 )sin 2t. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 1.5.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найти частную производную |
|
|
|
и |
|
полную производную |
dz |
||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
dx |
y
функции z = e x , где y = ϕ(x).
38
Решение
y
Найдем частные производные функции z = e x по переменным x и y:
|
|
y ′ |
|
|
y |
|
|
|
′ |
|
|
|
y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z = e |
x = e |
x |
|
y |
|
|
|
|
= e x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ′ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z = e x |
|
= e x |
|
y |
|
|
|
|
= e x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
; |
|
y |
|
|
|||
x2 |
|||||
|
|
|
|
11 .
x2 y
Тогда полную производную функции z вычислим по формуле
|
|
|
dz |
= ∂z + |
∂z |
dy |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂x |
|
|
∂y dx |
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||
|
dz |
= − |
|
ye x |
|
+ |
|
e |
x |
|
ϕ′(x). |
|
|||||
|
dx |
|
x2 |
|
|
2x |
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 1.5.3 |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
||||
Найти частную производную |
|
и полную производную |
dz |
||||||||||||||
|
∂x |
dx |
x+ y
функции z = 2 y , где y = cos4x.
Решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+ y |
|||||
Найдем частные производные функции z = 2 |
x |
по переменным |
||||||||||||||
∂z |
|
x+ y |
′ |
|
x+ y |
|
|
′ |
|
|
x+ y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
= 2 |
y |
= 2 y |
ln 2 |
|
x + y |
|
= 2 y ln 2 |
; |
||||||||
∂x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
y |
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
x+ y |
′ |
|
x+ y |
|
|
x + y |
′ |
|
x+ y |
|
|
′ |
|
x+ y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
2 |
y |
= 2 y |
ln 2 |
|
|
= 2 y |
ln 2 |
|
x |
+ 1 |
= 2 y |
ln 2 |
− |
||||||
∂y |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x и y:
x y2 .
39
Найдем производную функции y = cos4x:
dydx = (cos4 x)′ = 4cos3 x(− sin x).
Тогда полную производную функции z вычислим по формуле
dz = ∂z + ∂z dy . dx ∂x ∂y dx
Следовательно,
|
|
dz |
|
|
x+ y |
|
|
1 |
|
|
x+ y |
|
ln 2 − |
|
x |
|
(−4cos3 x sin x); |
||||||||
|
|
= 2 |
|
y |
|
ln 2 |
+ 2 y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+ y |
|
1+ |
|
|
|
cos3 x sin x . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
ln 2 |
1 |
|
4x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
y |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|||||||||
Пример 1.5.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найти |
∂z |
и |
∂z , если z = f(x, y), где x = arcsin(uv), y = ln |
u |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∂u |
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
Решение
Найдем частные производные функций x = arcsin(uv) и y = ln u по v
переменным u и v:
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(uv)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|||
|
= (arcsin(uv))′ = − |
u |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
1 − (uv)2 |
|
|
|
|
|
1 − (uv)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(uv)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|||||
|
|
= (arcsin(uv))′ = |
|
v |
|
= |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
1 − (uv)2 |
|
|
|
|
|
1 − (uv)2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂y |
= ln |
u |
′ |
= |
(ln u − ln v)′ |
= |
1 |
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
∂u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|||||||
|
|
|
|
|
v u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∂y = |
ln |
u |
′ |
= (ln u − ln v)′ |
|
= − |
1 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
v |
||||||||
|
|
|
v v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40