190-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-neskol-kih-peremennyh-1mb

Решение

1.Функция f(x, y) определена в окрестности точки (0, 0).

2.Покажем, что

Если x → 0, y → 0, то x + y → 0, т.е. x + y − величина бесконечно

2xy

малая. Множитель cos x2 + y2 − ограниченная функция. Тогда со-

гласно теореме, произведение бесконечно малой функции на ограни- ченную функцию есть бесконечно малая.

3. Предел в точке (0, 0) равен значению функции в этой точке. Следовательно, функция непрерывна в точке (0, 0).

Пример 1.2.6

Исследовать функцию

на непрерывность в точке (0, 0).

Решение

Рассмотрим изменение x и y вдоль прямых y = kx:

Так как при k ≠ 0 этот предел отличен от нуля и не равен значению функции в точке (0, 0), то данная функция имеет разрыв в этой точке.

1.3. Дифференцируемость функции многих переменных

11

x2, ..., xi, …, xn) по переменной xi в точке M0 называется число, равное разности значений функции в точках Mi (x10 , x20 , ..., xi0 + xi , ..., xn0 )

и M0 (x10 , x20 , ..., xi0 , ..., xn0 ) т.е.

xi f = f (x10 , x20 , ..., xi0 + xi , ..., xn0 ) − f (x10 , x20 , ..., xi0 , ..., xn0 ).

Если существует предел отношения частного приращения функ-

приращению ∆xi аргумента xi при ∆xi → 0, то этот предел называется

частной производной функции f(x1, x2, ..., xn) по переменной xi в точке

Рассмотрим случай функции двух переменных. Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой области D плоскости XOY. Пусть точка M0(x0, y0) D, величина ∆x − приращение аргумента x, величи- на ∆xf = f(x0 +∆x, y0) – f(x0, y0) − приращение функции f(x, y) по пере- менной x. Тогда частной производной функции z = f(x, y) по незави- симой переменной x в точке M0(x0, y0) называется

Частная производная функции z = f(x, y) по переменной x в точке

Чтобы найти частную производную функции z = f(x, y) по пере- менной x надо продифференцировать функцию по переменной x в предположении, что у – константа.

Частной производной функции z = f(x, y) по независимой пере- менной y в точке M0(x0, y0) D называется

12

Частная производная по переменной y в точке M0 обозначается

Чтобы найти частную производную функции z = f(x, y) по пере- менной у надо продифференцировать функцию по переменной у в предположении, что x – константа.

Так как частная производная является обыкновенной производной от данной функции, взятой в предположении, что изменяется только переменная, по которой производится дифференцирование, то фак- тическое отыскание частных производных элементарных функций осуществляется по известным правилам дифференцирования функ-

функции z = f(x, y) при изменении только x или только y, а знак частной производной указывает характер этого изменения (возрастание, убыва- ние). Геометрический смысл частных производных функции двух пере- менных состоит в следующем: частная производная функции z = f(x, y) по переменной x равна тангенсу угла между осью OX и касательной в точке M0(x0, y0) к сечению поверхности z = f(x, y) плоскостью y = y0; ча- стная производная функции z = f(x, y) по переменной y равна тангенсу угла между осью OY и касательной в точке M0(x0, y0) к сечению поверх- ности z = f(x, y) плоскостью x = x0.

∂u ∂u ∂u

Пусть u = f(x, y, z) − функция трех переменных; ∂x , ∂y , ∂z – част-

ные производные функции u по переменным x, y, z соответственно. Тогда

13

Для нахождения частной производной функции u = f(x, y, z) по ка- кой-либо переменной дифференцируем f(x, y, z) как функцию одной этой переменной, считая остальные переменные константами.

Дифференцируемость функции нескольких переменных и ее дифференциал

14

Достаточное условие дифференцируемости функции

Если функция u = f(x1, x2, ..., xn) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки M0 (x10 , x20 , ..., xn0 ) Rn непрерывные в этой точке, то функция дифференцируема в точке M0.

Связь между дифференцируемостью функции в точке и непрерывностью

Если функция u = f(x1, x2, ..., xn) дифференцируема в некоторой

Рассмотрим случай функции двух переменных.

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой области D, точка M0(x0, y0) D. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке M0(x0, y0), если существуют такие числа А и В, что полное при-

ращение этой функции ∆z = f(x0 +∆x, y0 +∆y) – f(x0, y0), отвечающее приращениям ∆x, ∆y аргументов, можно представить в виде

z = A x + B y + o( x2 + y2 ).

Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M0(x0, y0), то

часть A∆x + B∆y приращения функции, линейная относительно ∆x, ∆y, называется главной частью приращения ∆z.

Полным дифференциалом функции двух независимых перемен- ных называется главная часть полного приращения функции, линей- ная относительно приращений независимых переменных. Полный дифференциал функции z = f(x, y) в точке M0(x0, y0)

Геометрический смысл полного дифференциала заключается в следующем. Полный дифференциал функции z = f(x, y) в точке M0(x0, y0), отвечающий приращениям ∆x и ∆y переменных x и y, равен приращению аппликаты точки касательной плоскости, проведенной к поверхности z = f(x, y) в точке M0(x0, y0), при переходе от точки

M0(x0, y0) к точке M(x0 +∆x, y0 +∆y).

Полный дифференциал функции u = f(x, y, z) трех переменных в точке M0(x0, y0, z0), вычисляется по формуле

15

Пример 1.3.1

Найти частные производные и дифференциал первого порядка функции z = ln(x2 + y2) в точке M(1, 3).

Решение

Найдем частную производную функции z по переменной x, для этого продифференцируем функцию z по переменной x, считая y кон- стантой:

Найдем частную производную функции z по переменной y, для этого продифференцируем функцию z по переменной y, считая x кон- стантой:

Вычислим частные производные в точке M(1, 3):

Найдем дифференциал первого порядка по формуле

Тогда для нашей функции дифференциал первого порядка

Пример 1.3.2

Найти частные производные и дифференциал первого порядка

16

Решение

Найдем частную производную функции z по переменной x, для этого продифференцируем функцию z по переменной x, считая y кон- стантой:

Найдем частную производную функции z по переменной y, для этого продифференцируем функцию z по переменной y, считая x константой:

Тогда для нашей функции дифференциал первого порядка dz M = − π82 dx + π82 dy.

17

Пример 1.3.3

Найти частные производные и дифференциал первого порядка

Решение

Найдем частную производную функции u по переменной x, для этого продифференцируем функцию u по переменной x, считая y и z константами:

Найдем частную производную функции u по переменной y, для этого продифференцируем функцию u по переменной y, считая x и z константами:

Найдем частную производную функции u по переменной z, для этого продифференцируем функцию u по переменной z, считая x и y константами:

Вычислим частные производные в точке M(2, 1, −1).

18

Найдем дифференциал первого порядка по формуле

Решение

1

z = (2x2 + 5y2 − 1)6 − 3ln(x−2 + xy−8 ).

Найдем частную производную функции z по переменной x, для этого продифференцируем функцию z по переменной x, считая y константой: