9.3Случайные числа

При проведении численных моделирований нам необходимо уметь ге-

нерить случайные числа. Современные компьютеры в большинстве сво¼м являются цифровыми, а не аналоговыми устройствами. Поэтому возможна только генерация псевдослучайных чисел, являющихся результатом работы некоторого детерминированного алгоритма. В основе получения случайных чисел с различными распределениями лежит генератор равномерно распредел¼нных, обычно целых чисел из диапазона [0...max]. Понятно, что, если необходимо вещественное равномерно распредел¼нное число в диапазоне [0...1], то целое случайное число делится на максимальное значение max.

В C++ есть встроенная функция rand(), возвращающая целое, равномерно распредел¼нное случайное число в диапазоне от нуля до константы RAND_MAX, которая в большинстве компиляторов равна 32767.

Если в программе при помощи rand() генерить случайные числа, то при е¼ повторном запуске получится в точности такая же последовательность чисел. Чтобы е¼ изменить, можно в начале вызвать функцию srand(seed), где целое число seed зада¼т номер последовательности слу- чайных чисел. Если передать в эту функцию количество секунд, прошедших с 1970 г., возвращаемое функцией time(0), то последовательности будут получаться каждый раз разные.

Ниже в примере происходит генерация десяти случайных вещественных чисел из диапазона 0 6 x 6 1:

printf (" %12.8 f\n" , Float ( rand ()) / RAND_MAX );

}

Если закомментировать srand, то при последовательных вызовах программы ряд случайных чисел будет получаться один и тот же. Операция % обозначает остаток от деления. Например, 47%10 равно 7. С е¼ помощью мы обрезаем значение seed величиной RAND_MAX-1. Для преобразования целых чисел в вещественные используется операция Float(rand()). Напомню, что 1/2 равно 0, тогда как Float(1)/2 равно 0.5.

Провед¼м сравнение статистических свойств тр¼х генераторов rand(),

RndI() и RndU(). Будем сразу работать с вещественными случайными числами в диапазоне [0...1]. Так, алгоритм переполнения RndU() имеет следующую вещественную реализацию:

Константа 0xffffffff является записью максимального беззнакового целого 232 1 в шестнадцатеричной системе исчисления. Если целые

числа генерятся при помощи rand(), делить необходимо на RAND_MAX, à äëÿ RndI() íà 2147483647 = 231 1.

В качестве статистик, характеризующих равномерность случайных

чисел, мы будем использовать среднее, точное значение которого равноx = 1=2, квадрат среднего x2 = 1=3, минимальное xmin = 0 и макси-

мальное значение xmin = 1. Кроме этого, будем вычислять среднеквадратичное отклонение вероятности попадания в один из m одинаковых интервалов, на которые разобь¼м диапазон [0..1]:

где n число сгенер¼нных случайных чисел, pk = nk=n, à nk-количество чисел, попавших в k-й интервал. Мы умножили эту статистику на n, так как подобное отклонение убывает, как 1=n, поэтому при любых n она будет примерно постоянной. Зная zm, можно по 2-критерию оценить достоверность гипотезы о равномерном распределении, однако мы будем использовать zm только для сравнения различных генераторов.

Характеристиками независимости будут служить ковариационíые коэффициенты для моментов случайных чисел, умноженные на pn:

cjk = pn xjt xkt 1 xjt xkt 1

В случае независимых величин чисел они должны быть равны нулю.

Для вычисления количества различных случайных чисел, выдаваемых генератором, воспользуемся библиотечным классом map который хранит пары ключ-значение . В нашем случае ключом будет служить случайное число, а значением количество его появлений. Класс map сравнительно быстро ищет и вставляет новые числа, и его размер size сообщает о количестве различных ключей (случайных чисел).

c11 [ ex ]/= n; c11 [ ex ]=( c11 [ ex ]-a[ ex ]* a[ ex ])* sqrt ( Float (n )); c12 [ ex ]/= n; c12 [ ex ]=( c12 [ ex ]-a[ ex ]* s[ ex ])* sqrt ( Float (n )); c21 [ ex ]/= n; c21 [ ex ]=( c21 [ ex ]-a[ ex ]* s[ ex ])* sqrt ( Float (n )); c22 [ ex ]/= n; c22 [ ex ]=( c22 [ ex ]-s[ ex ]* s[ ex ])* sqrt ( Float (n ));

printf ("%g\t%g\n" , Aver (a , nex ), Sigma (a , nex )/ sqrt ( nex )); // . . .

}

После получения на основании nex экспериментов массивов со ста-

тистиками при помощи функций Aver(), Sigma(), находящихся в файле stat.cpp, вычисляются среднее значение статистики и одна стандартная ошибка: Sigma(a, nex)/sqrt(nex). Ниже в таблицах стандартная ошибка используется для вывода только значащих цифр в статистике и указы-

вается в виде индекса. Так, например, 0.025 3 означает, что в последнем знаке может быть ошибка, т.е. 0:025 0:003. Привед¼м результаты рабо-

ты программы:

Корреляционные свойства RndU и rand примерно одинаковы, а для RndIзаметно хуже. Генератор RndU существенно лучше по количеству различных чисел, которые он генерит. Так, на выборке из n = 1000000

он выда¼т все числа различными, тогда как для rand различных чисел только RAND_MAX=32767. Аналогичная проблема и у RndI, к тому же их количество существенно зависит от начального значения gRndSeed.

Если нам необходимо равномерно заполнить некоторый отрезок точка-

ми (например, при Монте-Карло вычислении интеграла), то, используя rand или RndI, мы получим около 105 точек, и проведение большего чис-

ла экспериментов становится бессмысленным. Статистики равномерности имеют следующие значения:

Средние значения у первых двух генераторов в пределах стандартной ошибки совпадают с точными значениями. Генератор RndI хуже как по этим показателям, так и по степени равномерности для m = 100 интер-

валов z100.

В дальнейшем для равномерно распредел¼нных чисел мы будем использовать RndU(). С помощью RndU(), а точнее, е¼ вещественного аналога Rnd(), можно получать и нормально распредел¼нные числа, которые, собственно, нам и необходимы для стохастических дифференциальных уравнений. Рассмотрим соответствующий алгоритм.

Для генерации нормально распредел¼нного случайного числа с нуле-

вым средним и единичной волатильностью служит метод Бокса-Миллера.

Перейд¼м от равномерно распредел¼нных на интервале [0::1] чисел x1 è p p

x2 к переменным: y1 = 2 ln x1 cos(2 x2), y2 = 2 ln x1 sin(2 x2). Количество чисел, попавших в некоторую область двухмерного пространства , определяется двойным интегралом. При замене переменных в

интеграле объ¼м умножается на якобиан:

Таким образом, переменные y1 è y2 являются независимыми (интегралы расщепляются) и имеют нормальные распределения.

Функции cos и sin вычисляются достаточно долго. Чтобы избежать

работы с ними, воспользуемся следующим при¼мом. Выберем область интегрирования в виде круга с единичным радиусом и центром в начале

координат. Будем случайным образом равномерно заполнять его точками. Пусть v1 è v2 координаты точки внутри круга v12 + v22 = r2 < 1.

В полярных координатах v1 = r cos , v2 = r sin . Òàê êàê v1 è v2 распределены равномерно, то и полярный угол будет равномерно распредел¼н в интервале [0::2 ]. Поэтому для вычисления значения cos и sin можно воспользоваться отношениями v1=r è v2=r:

Переменные was è r объявлены в функции RndG, как статические ( static). По завершении работы функции их значения будут сохранены, и при следующем вызове мы будем иметь значение одного из случайных гауссовых чисел, вычисленных на предыдущей итерации.