- •Случайные события
- •Стохастический мир
- •Случайные величины
- •Совместная и условная вероятности
- •Зависимость и независимость
- •Характеристическая функция
- •Модель аддитивного блуждания
- •Случайные процессы
- •Стохастические уравнения
- •Уравнение Ито
- •Остановка перед восхождением
- •Лемма Ито
- •Точные решения
- •Простые стохастические модели
- •Представление решений
- •Автокорреляция и спектр
- •Порождающий процесс Винера
- •Средние значения
- •Динамическое уравнение для средних
- •Процесс Феллера
- •Логистическое уравнение
- •Вероятности
- •Марковские плотности вероятности
- •Граничные условия
- •Стохастические интегралы
- •Площадь под траекторией Винера
- •Интегралы Ито
- •Интегрирование стохастических уравнений
- •Единственность решений
- •Метод последовательных приближений
- •Системы уравнений
- •Скоррелированные блуждания
- •Системы стохастических уравнений
- •Стохастический осциллятор
- •Линейные многомерные модели
- •Многомерие помогает одномерию
- •Как решать стохастические задачи?
- •Стохастическая природа
- •Теория броуновского движения
- •Стохастический осциллятор
- •Дрожание земной оси
- •Электронный шум
- •Хищники и их жертвы
- •Стохастическое общество
- •Финансовые рынки
- •Эмпирические закономерности
- •Диверсификация
- •Портфель на всю жизнь
- •Опционы
- •Кривая доходности
- •Компьютерное моделирование
- •Статистики
- •Случайные числа
- •Моделирование стохастических процессов
- •Ошибки вычислений и ускорение сходимости
- •Вычисление средних
- •R: Стохастический справочник
- •Основные соотношения теории
- •Системы уравнений с одинаковым шумом
- •M: Математические приложения
- •H: Помощь
- •C: Примечания
- •Рекомендуемая литература
Глава 5
Стохастические интегралы
Как и в обычном анализе, если определено стохастическое дифференцирование, то естественно ввести и стохастическое интегрирование. Соответствующая техника даст нам ещ¼ один инструмент получения соотношений для иногда достаточно общих случайных процессов. Это очень красивый раздел стохастической математики, который к тому же активно используется в учебной и научной литературе.
В дифференциальных уравнениях присутствуют два бесконечно малых изменения снос, пропорциональный dt, и волатильность шума W .
Соответственно, возможно два вида интегралов. В первом разделе мы рассмотрим стохастические интегралы по dt, изучим их основные свой-
ства и найд¼м представление некоторых интегралов через обычные слу- чайные величины. Во втором разделе рассматривается интеграл Ито поW . Далее будут получены условия, при которых решение стохастиче-
ского дифференциального уравнения единственно, и рассмотрен итерационный метод построения этого решения.
123
124 |
Глава 5. |
5.1Площадь под траекторией Винера
Для данной реализации n независимых случайных величин "1; :::; "n,
имеющих нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией: "i N(0; 1), мы получаем конкретную выборочную траекторию винеровского процесса со значениями, заданными по оси времени с шагом t = t=n :
Wn = W (tn) = ("1 + ::: + "n) p |
|
= " p |
|
= " p |
|
|
|
t |
n t |
t: |
(5.1) |
Предел n ! 1 соответствует непрерывному стохастическому процессу. Если использовать такие же "1; :::; "n при итерационном решении неко-
торого стохастического уравнения:
p xk+1 = a(xk; tk) t + b(xk; tk) "k t;
получится выборочный процесс, однозначно связанный с Wt. Â ýòîì ñìûñp - ле выборочные решения всех уравнений с общим шумом W = " dt
являются деформацией одной и той же выборочной траектории Wt.
Несмотря на изломанный вид функции Wt = W (t), можно вычислить площадь под ней, проинтегрировав от нуля до t:
St = Z0 |
t |
W d : (5.2) |
Интеграл, как и в обычном анализе, определим при помощи интегральной суммы:
n |
|
|
|
Xk |
|
|
+ "2) + ::: + ("1 + ::: + "n 1)] ( t)3=2; (5.3) |
St = Wk 1 |
t = ["1 |
+ ("1 |
|
=1 |
|
|
|
где интервал [0::t] разбит на n отрезков длительностью t. Значение процесса Винера в конце k - того отрезка равно накопленной сумме k
случайных независимых гауссовых изменений на каждом отрезке.
Для других реализаций "1; :::; "n мы получим другое значение, поэтому St и аналогичные интегралы являются случайными процессами.
Процесс St в момент времени t не может быть выражен через Wt, òàê как зависит не только от значения Wt = W (t), но и от формы траектории во все моменты времени. Тем не менее, для St можно получить простое представление через скалярные случайные величины.
Стохастические интегралы |
125 |
Перегруппируем интегральную сумму (5.3) следующим образом: |
|
p
(n 1) "1 + ::: + 1 "n 1 ( t)3=2 = 1 12 + 22 + ::: + (n 1)2 ( t)3=2:
Сумма гауссовых чисел статистически эквивалентна одному, которое мы обозначили через 1 N(0; 1). В результате появляется соответствующий множитель. Сумма ряда 12 + ::: + (n 1)2 равна (n 1)n(2n 1)=6.
Устремляя n ! 1, t ! 0, так что n t = t, получаем:
St = Z0 |
t |
||
2 |
|
||
W d = 1 |
tp3=3 |
: |
Таким образом, St это гауссовый случайный процесс с волатильностью, увеличивающейся со временем как t3=2, ò.å. St N(0; t3=3). Однако это
ещ¼ не вс¼. Величина 1 не является независимой от винеровского блуждания Wt. Действительно, Wt равен сумме гауссовых чисел "k, которые мы использовали для вычисления интеграла St:
Wt |
= |
"1 + "2 + ::: + "n 1 + "n |
( t)1=2 |
|
( t) |
3=2 |
St |
= |
(n 1) "1 + (n 2) "2 + ::: + 1 "n 1 |
|
p
=2 t
t3=2
=1 p :
3
Первая строка это запись винеровского процесса в момент времени t через накопленную сумму изменений 2 на каждом интервале. Втораяэто интегральная сумма, полученная выше. В обоих случаях 1 è 2 это гауссовы числа N(0; 1). Однако, они скоррелированы друг с другом:
W |
S |
= |
|
|
t2 |
= (1 + 2 + ::: + n |
|
1)( t)2 = |
(n 1)n |
( t)2 |
|
t2 |
: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
t |
|
t |
1 |
|
2 p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
! 2 |
|
|||||
Две скоррелированные гауссовы переменные |
|
|
|
= p |
|
=2 можно пред- |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ставить в виде линейной комбинации (см. стр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33) независимых гауссовых |
|||||||||||||||
чисел ", : |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
" + |
|
|
|
; |
|
|
|
2 = ": |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Поэтому окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
t3=2 |
|
Wt |
|
|
|
t3=2 |
(5.4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Wt = " t; |
|
St = ( 3 " + ) |
p |
|
|
= |
|
|
t + |
|
p |
|
: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Подобное представление позволяет легко вычислять различные средние, относящиеся к одному моменту времени, например Wt2 St2 = 5 t4=6.
126 |
Глава 5. |
Полученное соотношение для St имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть площадь вычисляется от t0 до t, и в этих точках W0 = W (t0) è Wt = W (t). Тогда в формуле (5.4) необходимо заменить Wt íà Wt W0 и добавить нижний прямоугольник площадью W0 (t t0):
S |
= |
W0 + Wt |
(t |
t |
) + |
(t t0)3=2 |
: |
Wt |
|||
|
|
|
|
||||||||
t |
|
2 |
|
0 |
|
|
p |
W0 |
t-t0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
||||
Площадь трапеции между W0 |
è Wt равна (W0 + Wt)(t t0)=2. Второе |
слагаемое, пропорциональное гауссовой величине , представляет собой
площадь отклонения истинной траектории от прямой, проходящей через
W0 è Wt.
Эту же формулу можно интерпретировать, как линейную модель предсказания площади по значению начальной и конечной точки траектории S = f(W0; Wt). Ошибка подобной модели пропорциональна , и е¼ дисперсия увеличивается со временем как (t t0)3.
Если известно n + 1 значений процесса W0; W1; :::; Wn, идущих с шагом t на интервале t t0 = n t, то сумма площадей n трапеций и отклонений от них даст суммарную площадь:
Sn = |
20 |
+ W1 + ::: + Wn 1 + |
2n |
t + pt t0 2p3 |
; |
|||
|
W |
|
W |
|
|
|
t |
|
где учтено, что ( 1 + ::: + n)p t = pn t = pt t0. При t ! 0 дисперсия поправки стремится к нулю.
Рассмотрим теперь два отрезка времени [0:::t] и [t:::t + ]. Площадь
âмомент времени t + равна площади в момент t плюс площадь на участке длительностью :
|
Wt + Wt+ |
|
3=2 |
|||
St+ = St + |
|
+ |
2p |
|
: |
|
2 |
||||||
3 |
Винеровский процесс в момент времени t + |
можно разбить на сумму |
||||||||
двух независимых процессов |
Wt+ |
~ |
p |
|
p |
|
, ãäå |
" |
è |
|
|||||||||
|
|
||||||||
|
= Wt + W = " t + "~ |
|
|
"~ пропорциональны независимым накопленным изменениям на каждом отрезке времени (см. стр. 68). Поэтому:
|
~ |
(5.5) |
|
St+ = St + Wt + S ; |
|
где площадь ~ |
|
~ |
S |
вычисляется под независимым от Wt процессом W îò |
нуля до и имеет нулевую корреляцию с St. В качестве упражнения (l
H40) стоит вывести это же соотношение непосредственно из (5.3).
Стохастические интегралы |
127 |
Площадь под винеровской траекторией является интегральной величиной, поэтому можно ожидать, что St более гладкий процесс, чем Wt. Проверим это, вычислив автокорреляцию. Процессы Wt è St имеют нулевое среднее, поэтому их дисперсии равны средним квадратов:
|
3 |
3 |
|
||
Wt2 = "2 t = t; |
St2 = 2 |
t |
= |
t |
: |
3 |
3 |
Воспользуемся записью (5.5) площади St в два различных момента
~
времени t и t + . Так как S независима от St è Wt, автоковариация легко вычисляется:
St St+ = St2 + St Wt = t33 + t22 ;
где учтено, что Wt St = t2=2. Разделив ковариацию на волатильности St è St+ , получим автокорреляционный коэффициент для S:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
St St+ |
|
1 + 3T=2 |
|
3 |
|
(St; St+ ) = |
q |
St2 St2+ |
= |
(1 + T )3=2 |
1 |
8 |
T 2 + :::; |
где T = =t. Аналогично проводятся вычисления для W :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wt Wt+ |
1 |
|
|||
(Wt; Wt+ ) = |
q |
Wt2 Wt2+ |
|
= |
p |
1 + T |
1 T + ::: |
Корреляция для Wt быстрее уменьшается с ростом T по сравнению с корреляцией для St. Графически это представлено ниже на левом графике:
1.0 |
T |
1 |
|
|
|
|
(St,St+ ) |
|
|
(Wt,Wt+ ) |
|
0.7 |
|
|
Wt
St
Справа приведены выборочные траектории для Wt è St. Видно, что St существенно более гладкий процесс.
В первой главе мы уже обсуждали, что свойства процесса в данный момент времени характеризуют его не полностью. В частности, степень изломанности или гладкости определяется автокорреляционной функцией. Чем быстрее процесс забывает свою историю, тем сильнее он изломан и тем быстрее убывает автокорреляция.
128 Глава 5.
В качестве упражнения предлагается проверить справедливость для произвольной детерминированной функции f(t) и гауссового числа N(0; 1) следующих соотношений:
Z |
t |
2(t) = Z |
t |
t |
|
|
|
f(s)Ws ds = (t) ; |
Z |
f( ) d |
i |
2 ds: |
(5.6) |
||
0 |
|
0 |
hs |
|
|
|
p
Если процесс Винера Wt = " t, то коэффициент корреляции равен:
= " |
|
1 |
|
|
= |
|
(t) p |
|
|
|
t |
tt
Z Z
hi
f( ) d ds:
0s
Например, для степенной функции f(t) = tn:
Z0 |
t |
|
|
p |
|
tn+3=2 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
sn Ws ds = |
|
2 |
|
|
6 + 7n + 2n2 |
|
||||||
|
p |
|
; |
= |
p |
|
|
: |
|||||
|
6 + 7n + 2n2 |
2(2 + n) |
В общем случае корреляционные коэффициенты зависят от времени t.
При вычислении средних от произведения произвольных моментов удобнее выразить через " и независимую от не¼ случайную величину "1:
p
= " + 1 2 "1:
Теперь вычисление средних типа "2 2 не составит труда.
Естественно, интеграл по времени можно вычислять не только от винеровского процесса, но и от любой случайной функции:
t
Z
It = f (W ) d
t0
Индекс у функции означает, что возможна не только зависимость от винеровского процесса W , но и явная зависимость от времени: ft(Wt) = f(t; Wt), как, например, в (5.6). Функция f в общем случае может быть произвольным случайным процессом.
Подобные интегралы являются случайными процессами, так как подынтегральная функция случайна, а верхний предел интеграла переменный. Обычно такие интегралы не выражаются явным образом через процесс Винера. Более того, только в линейном по Wt случае интеграл оказыва- ется нормально распредел¼нным. В более общем случае это не так.
Стохастические интегралы |
129 |
Использование скалярных случайных чисел позволяет записывать
достаточно общие формулы для средних значений стохастических интегралов. Рассмотрим, например, усреднение произведения функции gt(Wt) и интеграла по времени от ft(Wt). Запишем в символическом виде интегральную сумму:
D |
gt(Wt) Z |
t |
= gt("1 + ::: + "n) f1("1) + f2("1 |
+ "2) + ::: t |
; |
|||
f (W ) d |
||||||||
0 |
E |
D |
p |
|
h |
i |
E |
|
где мы для краткости опустили |
|
внутри функций. Возьм¼м k-тое |
||||||
t |
||||||||
слагаемое в квадратных скобках. Чтобы усреднить его с функцией |
g, |
необходимо сгруппировать в ней k первых гауссовых чисел в одно, а оставшиеся n k во второе:
p |
|
p |
|
p |
|
|
gt("1+:::+"k+"k+1+:::+"n)fk("1+:::+"k) = gt("a |
k+"a |
n k)fk("a k): |
Òàê òàê "a è "b два независимых гауссовых числа, то среднее вычислить не представляет труда. Переходя к непрерывному пределу, получаем:
gt(Wt) Z |
t |
|
|
= Z |
t |
|
|
|
|
|
|
|
f "ap |
|
d : |
(5.7) |
|||||||||
f (W ) d |
gt "ap + "bpt |
|
|||||||||||||||||||||||
D |
0 |
|
|
E |
0 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|||||
Например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
||
|
|
|
Wt2 Z W 2 d = Z |
3 2 + (t ) d = 6 t3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично выводится среднее для квадрата интеграла: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 t |
f (W ) d 12 |
= 2 |
t dt2 t2 dt1 ft1 "1pt1 |
ft2 "1pt1 + "2pt2 |
|
t1 |
|||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
Z |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D@0 |
|
|
A E |
|
0 |
0 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|||
и его обобщение для момента k того порядка (tk+1 = t): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 t |
|
1k |
|
k tj+1 |
D |
j |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|||||||
|
D Z |
|
|
|
E |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
YX
t0 |
f (W ) d |
A |
= k! j=1 |
t0 |
dtj ftj i=1 "ip |
ti ti 1 |
|
: |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
Другие полезные соотношения можно найти в приложении Стохастиче- ский справочник . Их имеет смысл доказать в качестве упражнения.