6.7Как решать стохастические задачи?

Подвед¼м итоги рассмотренных выше методов анализа стохастических задач. Основными математическими инструментами описания эволюции системы, при воздействии на не¼ случайных факторов, являются стохастическое дифференциальное уравнение и уравнение Фоккера-Планка. Обычно именно стохастическое уравнение будет исходным, так как оно оперирует терминами изменения наблюдаемых переменных состояния системы (координата, импульс, количество особей, цена и т.п.). Часто стохастическое дифференциальное уравнение является естественным обобщением уже известного детерминированного уравнения эволюции системы, к которому добавляется член шумового воздействия, пропорциональный

W.

Функции сноса и волатильности стохастического уравнения вместе с начальными и граничными условиями полностью задают изучаемую систему. В качестве начальных условий может быть выбрано конкретное значение переменных состояния x0 в момент времени t0, или некоторая

их плотность вероятности P (x0). Знание сноса и волатильности позволяет легко записать уравнение Фоккера-Планка, которое обычно оказывается более удобным при наличии граничных условий.

Когда стохастическое описание применяется к реальной (естественной или искусственной) системе, важно понимать порядок значений параметров, входящих в функции сноса и волатильности. Возможно, некоторыми членами в уравнении можно пренебречь или рассматривать их как поправки к более простому уравнению. Аналогичным образом, необходимо понимать, является ли стохастика ведущим приближением в уравнении или небольшим возмущением детерминированного случая.

Часто при помощи скейлинговых замен x ! x и t ! t и соответствующего выбора констант и можно уменьшить число значимых

параметров системы, сведя их к размерным величинам, характеризующим типичные масштабы времени и переменные состояния.

Полным решением стохастической задачи является марковская плотность вероятности P (x0; t0 ) x; t). Она может быть задана в виде ре-

шения стохастического уравнения x = f(t; "), выраженного через скалярную случайную переменную ", или в явном виде, как функция, удо-

влетворяющая уравнению Фоккера - Планка. Знание плотности вероятности позволяет находить различные интегральные величины среднее значение, волатильность, автоковариацию и т.п. Иногда именно они интересуют исследователя, а не полная плотность вероятности.

Перечислим некоторые при¼мы, позволяющие получить информацию об изучаемой стохастической системе

B Если задача допускает точное решение, то иногда его можно найти

непосредственно из стохастического уравнения. Для этого служит алгоритм на стр. 57.

B При помощи формулы Ито и подходящей замены функций можно

попытаться свести исходное уравнение к другому, точное или приближ¼нное решение которого получить проще. В частности, всегда возможно изменить функциональную зависимость волатильности шума, изменяя при этом, естественно, и снос уравнения

B Если система при длительной эволюции выходит на стационарное

решение, то его удобно получать при помощи стационарного уравнения Фоккера - Планка. Для одномерных задач при этом достаточно решить обыкновенное дифференциальное уравнение, которое обычно легко интегрируется. Стационарная плотность вероятности позволяет вычислить асимптотические средние значения наблюдаемых величин.

B При помощи динамических уравнений для средних можно полу-

чать важные соотношения между наблюдаемыми величинами. Иногда уда¼тся найти явное изменение во времени или стационарное решение, когда все или часть средних величин перестала изменяться. В последнем случае можно получить промежуточное между стационарным и динамическим решением. При этом одни переменные состояния являются константами, а эволюция других в этом пределе упрощается.

B Выявление особых точек, в которых снос обращается в ноль, и ли-

неаризация уравнений в их окрестности да¼т важную качественную информацию о характере решений (см. ниже). При этом необходимо провести анализ возможных бифуркаций системы при изменении значений е¼ параметров. Вообще, решение детерминированного уравнения обычно должно предшествовать анализу более сложной стохастической задачи.

B Если в задаче есть граничные условия, то плотность вероятности

можно представить в виде ряда по ортогональному базису собственных функций (стр. 116).

B Естественно, многие практически интересные задачи не позволяют

получить точного решения. В этом случае на помощь приходят приближенные или численные методы, которые мы рассмотрим в девятой главе.

Как и в детерминированном, случае важно уметь понимать харак-

тер поведения решения системы стохастических уравнений, не решая их непосредственно. Рассмотрим в качестве примера двумерную задачу с уравнениями:

dx = f(x; y)dt + 1 (x; y) W dy = g(x; y)dt + 2 (x; y) W :

По индексу предполагается суммирование от единицы до двух, а компоненты вектора W = f Wx; Wyg являются независимыми бесконечно малыми изменениями винеровского процесса.

Предположим, что в некоторой точке x0, y0 обращаются в ноль:

f(x0; y0) = g(x0; y0) = 0:

Такая точка называется особой. Имеет смысл выяснить поведение решения в е¼ окрестности. Для этого функции f(x; y), g(x; y) разложим в ряд

Тейлора до слагаемых первого порядка малости по отклонениям от особой точки X(t) = x(t) x0, Y (t) = y(t) y0. Для матрицы волатильности

i = i (x0; y0) возьм¼м нулевое приближение, вычислив е¼ значение в особой точке:

dX = (fx X + fy Y ) dt + 1 W dY = (gx X + gy Y ) dt + 2 W ;

где константа fx это частная производная @f(x0; y0)=@x0, вычисленная в особой точке (x0; y0), и аналогично fy, gx, gy. Если изучить поведе- ние решений этих уравнений, мы пойм¼м, как ведут себя в окрестности особой точки (при малых отклонениях от не¼ X, Y ) и решения общего

уравнения. Подобное линейное уравнение мы рассматривали в разделе x6.4, ñòð. 164.

Уравнения для среднего совпадают с детерминированными уравнени-

параметр удовлетворяет характеристическому уравнению :

Это квадратное относительно уравнение имеет два решения 1, 2.

Пример подобного качественного анализа системы уравнений мы рассмотрим в седьмой главе в рамках модели Охотник - Жертва (стр. 198), а пока привед¼м классификацию особых точек в двумерном случае.

Возможны следующие случаи:

B 1 < 0, 2 < 0 устойчивый узел, к которому решение стремится и в котором может находиться сколь угодно долго. При небольших отклонениях от особой точки отрицательный снос будет возвращать x; y

обратно. Естественно, как положение равновесия, так и возврат к нему имеют нерегулярный, стохастический характер. В частности, стохастика может вытолкнуть решение из окрестности особой точки, уведя его в другую часть пространства переменных состояния.

B 1 > 0, 2 > 0 неустойчивый узел, который решение покидает при любом малом возмущении, которых в стохастическом мире достаточно. Если предыдущий случай можно представлять как движение в потенциале в виде двухмерного параболоида, то в этом случае параболоид перев¼рнут, и решение охотно с него соскальзывает, удаляясь от особой точки.

B 1 2 < 0 комбинация двух предыдущих случаев, называемая седлом. В зависимости от значений параметров fx; fy; gx; gy, это седло опре- дел¼нным образом пов¼рнуто в пространстве x; y. Вдоль одного направ-

ления ( оси лошади ) небольшие отклонения будут возвращать решение обратно к особой точке. Перпендикулярно лошади находится направление наибольшей неустойчивости.

B 1;2 = a i !. Если a < 0, то это затухающий колебательный режим, называющийся фокусом. При a > 0 колебания самовозбуждаются. Если a = 0, то в системе возникают незатухающие колебания с частотой ! (центр). Как мы видели выше, в стохастическом случае даже при a < 0

движение полностью не останавливается и происходит квазипериодиче- ское колебание вокруг особой точки.

Необходимо помнить, что анализ решения в окрестности особой в линейном приближении будет корректен только в случае небольшой волатильности. При анализе и стационарного уравнения Фоккера-Планка мы видели, что асимптотически точное решение (3.13), ñòð. 89, для средних совпадает с линейным приближением только в пределе малых волатильностей . Это же справедливо и для многомерного случая.

Различные типы особых точек обладают качественно различным поведением решения в их окрестности. Если мы начн¼м медленно изменять параметры системы, то в какой-то момент она скачком может перейти из одного типа решения в другой. Говорят, что при этом произошла бифуркация, перестройка решения. Анализ подобных возможностей в изу- чаемых системах исключительно важен.