- •Случайные события
- •Стохастический мир
- •Случайные величины
- •Совместная и условная вероятности
- •Зависимость и независимость
- •Характеристическая функция
- •Модель аддитивного блуждания
- •Случайные процессы
- •Стохастические уравнения
- •Уравнение Ито
- •Остановка перед восхождением
- •Лемма Ито
- •Точные решения
- •Простые стохастические модели
- •Представление решений
- •Автокорреляция и спектр
- •Порождающий процесс Винера
- •Средние значения
- •Динамическое уравнение для средних
- •Процесс Феллера
- •Логистическое уравнение
- •Вероятности
- •Марковские плотности вероятности
- •Граничные условия
- •Стохастические интегралы
- •Площадь под траекторией Винера
- •Интегралы Ито
- •Интегрирование стохастических уравнений
- •Единственность решений
- •Метод последовательных приближений
- •Системы уравнений
- •Скоррелированные блуждания
- •Системы стохастических уравнений
- •Стохастический осциллятор
- •Линейные многомерные модели
- •Многомерие помогает одномерию
- •Как решать стохастические задачи?
- •Стохастическая природа
- •Теория броуновского движения
- •Стохастический осциллятор
- •Дрожание земной оси
- •Электронный шум
- •Хищники и их жертвы
- •Стохастическое общество
- •Финансовые рынки
- •Эмпирические закономерности
- •Диверсификация
- •Портфель на всю жизнь
- •Опционы
- •Кривая доходности
- •Компьютерное моделирование
- •Статистики
- •Случайные числа
- •Моделирование стохастических процессов
- •Ошибки вычислений и ускорение сходимости
- •Вычисление средних
- •R: Стохастический справочник
- •Основные соотношения теории
- •Системы уравнений с одинаковым шумом
- •M: Математические приложения
- •H: Помощь
- •C: Примечания
- •Рекомендуемая литература
110 |
Глава 4. |
4.4Граничные условия
При логарифмическом блуждании (2.24), ñòð. 58, линейная зависимость сноса и волатильности от x приводит к тому, что решение положительно x > 0. Однако не всегда возможно ограничить диапазон значений
решения в рамках только уравнений. Чаще задаются внешние к уравнению граничные условия. Они могут быть различных типов.
B Отражающие граничные условия изменяют знак приращения dx
при достижении границы. Например, броуновская частица, на которую действует сила тяжести, будет постепенно опускаться вниз. Однако сосуд, в котором она находится, ограничен снизу дном. При его достижении частица отразится и продолжит блуждание в соответствии с уравнением. Так как сила тяжести (снос) продолжает действовать, частица будет постоянно возвращаться и отражаться от граничной поверхности. В результате со временем установится некоторое стационарное распределение вероятностей координат и скорости броуновской частицы.
B Поглощающие граничные условия предполагают прекращение процесса при достижении границы. Если x координата частицы, то на
поглощающей границе она удаляется из пространства. Поэтому полная вероятность нахождения в пространстве должна со временем уменьшаться. Наиболее естественная интерпретация подобной ситуации состоит в блуждании в области [ :: ] большого числа частиц, концентрация кото-
рых пропорциональна плотности вероятности. По мере достижения ча- стицами границ они удаляются, и общая концентрация падает.
B Периодические граничные условия накладывают, когда при достижении некоторой границы x = происходит перемещение x на другую границу x = , откуда процесс продолжает развиваться в соответствии со
стохастическим уравнением. Примером периодических граничных условий будет блуждание броуновской частицы внутри кольца, заполненного водой. В этом случае угловая координата , задающая е¼ положение, об-
ладает свойством периодичности, так как значения = 0 и = 2 эквивалентны.
Решение стохастических дифференциальных уравнений при наличии граничных условий обычно уда¼тся получить только численным образом. Для этого моделируется процесс блуждания, в котором при достижении границы проводится локальное изменение x в соответствии с граничными
условиями. По большому числу реализаций подобных выборочных процессов можно вычислить средние значения интересующих нас величин или плотность условной вероятности.
Вероятности |
111 |
Более удобным инструментом изучения поведения системы в таких
ситуациях является уравнение Фоккера - Планка (4.10), ñòð. 107, для плотности вероятности P = P (x0; t0 ) x; t):
@P |
+ |
@ |
a(x; t) P |
1 @2 |
b2(x; t) P = 0: |
||
|
|
|
|
|
|||
@t |
@x |
2 @x2 |
Перепишем его в следующем виде:
@t + @x = 0; |
J(x; t) = a(x; t) P 2 |
|
@x |
: |
(4.15) |
|
@P @J |
1 |
@ b2 |
(x; t) P |
|
|
|
Функция J(x; t) называется потоком вероятности. Пусть эволюция x происходит в границах [ :: ]. При этом одна или обе границы могут находиться на бесконечности. Проинтегрируем (4.15) ïî x:
dt |
= J( ; t) J( ; t); |
|
P (x0; t0 ) x; t) dx: (4.16) |
p(t) = Z |
|||
dp(t) |
|
|
Изменение вероятности нахождения x в области < x < определяется значениями J на границах области. Уравнение (4.15) является законом
сохранения в дифференциальной форме, а (4.16) в интегральной. Ситуация эквивалентна любому закону сохранения. Так, сохранение заряда вобъ¼ме [ :: ] происходит, если суммарный ток на границе отсутствует
(сколько вошло зарядов за единицу времени, столько же и вышло). Для плотности вероятности более естественна аналогия с концентра-
цией частиц в единичном объ¼ме n(x; t). Если общее число частиц равно N, и вероятность нахождения в той или иной точке пространства равна P (x; t), то концентрация частиц равна n(x; t) = N P (x; t). В этом случае
ток вероятности представляет собой физический перенос частиц и определяется их скоростью в данной точке и концентрацией J = v n(x; t).
В тр¼хмерном пространстве дифференциальный и интегральный законы сохранения числа частиц имеют вид:
|
@t + rJ = 0; |
<=> |
dt Z n(x; t)dV = Z J dS; |
|||
@n |
|
d |
|
|||
|
|
|
|
|
V |
S |
где J = v n, v скорость частиц, а |
rJ = @Jx=@x + @Jy=@y + @Jz=@z |
|||||
- дивергенция. Вектор элементарной поверхности |
dS направлен перпен- |
дикулярно S из объ¼ма V , который окружает поверхность S, наружу.
Поэтому ток, направленный из объ¼ма, приводит к уменьшению числа частиц, а вовнутрь к увеличению.
112 |
Глава 4. |
Для отражающих или периодических границ полная вероятность p нахождения x в интервале [ :: ] не изменяется:
dp(t) |
= 0 |
=> |
J( ; t) = J( ; t): |
||
dt |
|
||||
|
|
|
При достижении периодической границы x = объект переносится в x = , так что токи на границах одинаковые и не равны нулю. При этом
плотность вероятности на границах должна совпадать, так как факти- чески это одна точка пространства (для блуждания внутри кольца это очевидно). В случае отражающих границ токи в точности нулевые. Символически это представлено на рисунках ниже:
При отражающих граничных условиях ток, отражаясь, образует прямое и встречное направления, поэтому суммарный поток на границе равен нулю. Поглощающая граница характеризуется нулевым значением вероятности P (x; t), так как частица в этой точке исчезает из пространства.
Таким образом, для тр¼х типов границ используются следующие граничные условия (P (x; t) = P (x0; t0 ) x; t)):
re ecting : |
J( ; t) = 0 |
absorbing : |
P ( ; t) = 0 |
periodic : |
J( ; t) = J( ; t); P ( ; t) = P ( ; t): |
Отражающая или поглощающая границы могут быть в единственном виде или сосуществовать одновременно (например, слева отражающая граница, а справа поглощающая). Если граница одна, то обычно предполагается выполнение поглощающего граничного условия на бесконеч- ности P (1; t) = 0. Периодические границы по своему смыслу должны
присутствовать одновременно.
Естественно, можно использовать и более затейливые границы. Например, полупрозрачная граница, на которой с некоторой вероятностью происходит отражение частицы или прохождение е¼ через границу. Понятно, что подобных полупрозрачных границ в пространстве может быть несколько. Однако в большинстве задач достаточно перечисленных выше границ тр¼х типов.
Уравнение Фоккера-Планка для одной и той же системы с различными граничными условиями приводит к качественно отличающимся решениям. Рассмотрим два простых примера.
Вероятности |
113 |
Для наглядности будем считать, что x координата частицы, которая испытывает постоянный снос, смещаясь в среднем влево (ось x направлена слева направо):
dx = dt + W:
Пусть в x = 0 существует отражающая граница. В этом случае воз-
можно стационарное решение уравнения Фоккера - Планка. Каким бы ни было начальное значение координаты x0 > 0, частица рано или поздно достигнет границы и отразится от не¼. Однако снос будет вс¼ время возвращать е¼ обратно. В результате установится стационарное состояние. При этом вероятность нахождения частицы в пространстве должна уменьшаться по мере удаления от границы. Найд¼м е¼ явный вид, решив стационарное уравнение Фоккера - Планка с @P=@t = 0:
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
P x |
|
|
P 0 |
x |
|
|
> |
P x |
|
e 2x= : |
|
) 2 |
) = 0 |
= |
|
|||||||
( |
|
( |
|
( ) = 2 |
|
Нормировочный множитель находим, интегрируя от нуля до бесконечности. В данном случае ток равен нулю не только на отражающей границе, но и во вс¼м пространстве. В противном случае не получилось бы стационарного решения.
Рассмотрим ту же систему, но с двумя периодическими границами [ :: ]. В этом случае (4.15) имеем:
|
2 |
|
J0 |
|
2 |
|
P (x) |
|
P 0(x) = J0 |
=> P (x) = |
|
+ P0 e 2x= : |
|
2 |
|
|||||
Мы снова интересуемся стационарным решением, поэтому |
J0 ýòî êîí- |
станта интегрирования по x уравнения Фоккера-Планка с @P=@t = 0. Граничные условия для потока вероятности J( ) = J( ) выполняются автоматически, так как J(x) = J0 = const. Периодические граничные условия для плотности вероятности P ( ) = P ( ) выполняются только
ïðè P0 = 0. В результате P (x) равна константе J0= , значение которой находится из условия нормировки. Поэтому, P (x) = 1=( ).
Смысл этого решения легко понять. При отрицательном сносе частица постепенно дрейфует к левой границе x = . При е¼ достижении она
переносится на правую границу x = , и процесс повторяется. Понят-
но, что со временем установится однородное распределение вероятностей. Аналогично, при блуждании броуновской частицы внутри кольца вероятность е¼ нахождения в той или иной точке пространства постепенно станет постоянной. Напомню, что в открытом пространстве вероятность расплывается и стационарного режима у системы быть не может.
114 |
Глава 4. |
4.5Вероятность достижения границы
Найд¼м теперь вероятность достижения при блуждании границ интервала [ :: ]. Пусть это будут поглощающие границы, и в начальный
момент времени t0 = 0 частица находится в некоторой точке < x0 < . Вероятность p(x0; t) того, что в момент времени t она ещ¼ ни разу не коснулась границ и находится внутри интервала [ :: ], равна:
|
|
|
|
p(x0; t) = Z |
P (x0; 0 ) x; t) dx = Z |
P (x0; t ) x; 0) dx: |
(4.17) |
Второе равенство записано для однородных систем, у которых снос и волатильность не зависят от времени. Именно их мы сейчас и рассмотрим. Для таких систем можно сдвинуть начало отсч¼та времени, считая начальным t0 = t, а конечным t = 0. Возьм¼м производную по t выражения (4.17) и воспользуемся первым уравнением Колмогорова (4.6), ñòð. 105. В результате уравнение для p = p(x0; t) имеет вид:
|
@p |
|
b2(x0) @2p @p |
|
|
||||
a(x0) |
|
+ |
|
|
|
= |
|
: |
(4.18) |
@x0 |
2 |
@x02 |
@t |
Для плотности вероятности справедливо начальное условие в виде функции Дирака P (x0; 0 ) x; 0) = (x x0). Поэтому из (4.17) следует
начальное условие: p(x0; 0) = 1 (частица гарантированно находится в< x0 < ). Кроме этого, если x0 оказывается на границе, вероятность дальнейшего пребывания в интервале [ :: ] будет равной нулю, поэтому:
p( ; t) = p( ; t) = 0:
Обозначим через T время достижения одной из границ. Понятно, что T -
случайная величина и p(x0; t) это интегральная вероятность того, что T > t ( вс¼ ещ¼ находится ). Вероятность, что T < t, равна 1 p(x0; t). Е¼ производная по t даст плотность вероятности того или иного времени пребывания в интервале [ :: ]. Поэтому, например, среднее время пребывания равно:
1 |
t @t 1 p(x0; t) |
|
1 |
p(x0; t) dt: |
||
hT i = Z |
|
dt = Z |
||||
|
@ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
Мы считаем, что p(x0; 1) = 0, т.к. частица в ограниченном пространстве [ :: ] рано или поздно достигает одной из границ. Для среднего n-той степени от T введ¼м следующее обозначение Tn(x0) = hT ni и найд¼м уравнение, которому удовлетворяет функция Tn(x0).
Вероятности |
115 |
Проведя интегрирование по частям в определении hT ni, получаем:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
; t |
) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Tn(x0) = hT ni = Z0 |
tn |
@p( 0 |
|
|
dt = n Z0 |
tn 1p(x0; t) dt: |
(4.19) |
|||||||||||||
|
@t |
|
|
|
||||||||||||||||
Умножим уравнение (4.18) íà ntn 1 и проинтегрируем по dt: |
|
|||||||||||||||||||
a |
x |
0) |
T 0 |
x |
0) + |
b2 |
(x0) |
T 00 |
x |
0) = |
nT |
x |
0) |
: |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( |
|
n( |
|
|
|
2 |
|
|
n ( |
|
n 1( |
|
|
|
Благодаря нормировочному условию h1i = 1 имеем T0(x0) = 1. Поэтому мы получили последовательность уравнений с правой частью, определяемой на предыдущей итерации. В частности, для среднего времени
T (x0) = T1(x0):
a(x0) T 0(x0) + b2(x0) T 00(x0) = 1 2
с граничными условиями T ( ) = T ( ) = 0 (если частица в начальном положении x0 была на границе, то она сразу покинет пространство).
Например, при винеровском блуждании с нулевым сносом = 0 и волатильностью имеем:
2 |
T 00 |
|
|
2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||
|
= 1 = |
> |
|
|
T |
= |
0 |
+ |
Ax |
0 |
+ |
B; |
||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
где A и B константы интегрирования. Пусть поглощающие границы находятся в точках x = 0; L. Тогда граничные условия T (0) = T (L) = 0 приводят к:
h |
T |
i |
= T (x |
) = |
x0 (L x0) |
: |
|
2 |
|||||||
|
0 |
|
|
Максимальное среднее время hT i = L2=4 2 достижения границ получа-
ется тогда, когда в начальный момент частица находится в центральной части интервала x0 = L=2. В силу симметрии задачи (сноса нет) этот результат вполне ожидаем. Даже если x0 находится недалеко от x = 0, то при L ! 1 среднее время также стремится к бесконечности.
В качестве упражнения (l H27) стоит решить эту же задачу при ненулевом сносе и рассмотреть предел широкого пространства L ! 1.
116 |
Глава 4. |
4.6Разложение вероятности по базису
Рассмотрим уравнение Фоккера-Планка с не зависящими от времени сносом a(x) и диффузией D(x) = b2(x):
@P |
+ |
|
@ |
a(x) P |
1 @2 |
D(x) P = 0: |
||
|
|
|
|
|
|
|||
@t |
@x |
2 @x2 |
Будем искать его решение в виде P = u (x) e t. Функция u(x) удовлетворяет уравнению (штрих - производная по x):
a(x)u (x) 0 |
1 |
D(x)u (x) 00 = u (x): |
(4.20) |
2 |
При наличии граничных условий (стр. 111) в интервале [ ::: ] это урав-
нение может приводить к дискретному набору разреш¼нных значений:
1; 2; ::: (собственные значения) и соответствующим им собственным функциям u (x). Используя их, можно записать общее решение уравнение Фоккера-Планка.
Для примера рассмотрим винеровское блуждание с нулевым сносом a(x) = 0 и диффузией D = 2. Уравнение (4.20) имеет вид:
u00(x) + !2u (x) = 0;
p
где w = 2 = . Его общее решение хорошо известно:
u (x) = A sin(!x) + B cos(!x):
Пусть граничные условия [0::L] являются поглощающими. В точках x = 0 и x = L плотность вероятности должна обращаться в нуль: u (0) = u (L) = 0: Подстановка решения в эти граничные условия приводит к следующим собственным функциям:
|
|
un(x) = r |
L |
sin(!nx); |
!n = L |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
||||
и n = 1; 2; ::: целые числа, нумерующие собственные значения |
n = |
||||||||||
разом, чтобы |
p |
|
|
|
|
|
|
||||
2!n2=2. Множитель 2=L при собственной функции выбран таким об- |
|||||||||||
|
|
выполнялось условие ортогональности: |
|
||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
L |
sin(!nx) sin(!mx)dx = nm; |
(4.21) |
|
Z0 |
un(x)um(x)dx = L Z0 |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
символ Кронекера, равный единице при n = m и нулю, если m 6= n. Теперь можно разложить общее решение уравнения в бесконеч- ный ряд по собственным функциям.
Вероятности |
117 |
Действительно, представим плотность вероятности в виде следующей
суммы:
1
X
P (x0; 0 ) x; t) = An un(x) e nt:
n=0
Благодаря ортогональности собственных функций un(x) мы всегда можем восстановить коэффициенты этого разложения. Используя начальное условие P (x0; 0 ) x; 0) = (x x0) è (4.21), имеем:
L |
L |
|
An = Z0 |
P (x0; 0 ) x; 0) un(x)dx = Z0 |
(x x0) un(x)dx = un(x0): |
Поэтому окончательно:
1
P (x0; 0 ) x; t) = L2 Xsin(!nx0) sin(!nx)e nt:
n=0
С течением времени общая вероятность нахождения частицы в диапазоне [0::L] уменьшается, так как частица рано или поздно будет захвачена
одной из границ.
Так же находится решение для отражающих границ. В этом случае на границах x = 0 и x = L ток (4.15), ñòð. 111:
J(x; t) = |
2 @P (x; t) |
= |
2e t |
u0 (x) |
||
|
|
|
|
|||
2 @x |
2 |
должен быть нулевым, а, следовательно, равна нулю производная собственной функции: u0 (0) = u0 (L) = 0: В результате:
u0(x) = p1L |
; un = r |
L |
cos(!nx); |
!n = L ; |
|||
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и n = 1; 2; ::. Несложно проверить, что эти функции также ортогональны. Поэтому окончательно:
1
P (x0; 0 ) x; t) = L1 + L2 Xcos(!nx0) cos(!nx)e nt:
n=0
При t ! 1 решение стремится к P (x0; 0 ) x; t) ! 1=L, и частицу можно равновероятно встретить в любой точке интервала шириной L.
Рассмотрим теперь общую теорию для задачи на собственные функции и значения для уравнения Фоккера-Планка.
118 |
|
|
|
|
Глава 4. |
|
Предположим, что ^ |
|
|||
|
|
|
), и справедливо уравнение следующего вида: |
|
|
|
|
|
|
A линейный дифференциальный оператор (на- |
|
пример, |
^ |
2 2 |
|
|
|
|
|
A = d =dx |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
(4.22) |
|
|
|
|
Au(x) = (x) u(x); |
где (x) действительная положительная функция. Если для произвольных функций (x) и (x) выполняется соотношение:
|
|
|
|
Z |
(x)A^ (x) dx = Z |
(x)A^ (x) dx; |
(4.23) |
то оператор ^
A называется самосопряж¼нным. Зв¼здочка (комплексное
сопряжение) может быть опущена для действительных операторов. Рассмотрим решения un(x), um(x) уравнения (4.22), соответствующие
различным собственным значениям n è m. Используя (4.22), запишем:
|
|
|
|
|
Z |
|
um(x)Au^ n(x) dx = n Z |
um(x)un(x) (x) dx; |
|
|
|
|
|
|
Z |
un(x)A^ um(x) dx = m |
Z |
um(x)un(x) (x) dx; |
где во втором соотношении взято комплексное сопряжение (4.22) и учтена действительность функции (x).
Если оператор ^ |
|
A самосопряж¼нный, то левые части этих равенств |
|
должны быть одинаковыми ( |
= um, = un). Приравняем их: |
|
|
( n m) Z |
um(x)un(x) (x) dx = 0: |
Если n = m, то подынтегральная функция положительна, и, следовательно, собственные значения действительны ( n = n). При n 6= m нулю равен интеграл, поэтому собственные функции ортогональны с ве-
^
сом (x). Оператор A линейный, следовательно, собственная функция
определена с точностью до постоянного множителя. Его удобно выбрать таким образом, чтобы выполнялось условие ортогональности
Z
um(x)un(x) (x) dx = nm
с весовой функцией (x).
Вероятности |
119 |
Теперь можно записать разложение общего решения по базису:
|
|
|
|
|
F (x) = |
fnun(x); |
=> |
fn = Z |
F (x)un(x) (x) dx; |
|
X |
|
|
|
где для коэффициентов fn использовано условие ортогональности. |
||||
Оператор |
^ |
|
|
|
|
A уравнения (4.20) не является самосопряж¼нным. Умно- |
жим обе части (4.20) на функцию = (x) и подбер¼м е¼ таким образом, чтобы выполнялось условие (4.23). Провед¼м интегрирование по частям:
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00D dx + I; |
|
Z |
|
0 2 D 00 dx = Z )0a 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где I значения подынтегральной функции на границах и : |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
I = |
a |
|
|
(D )0 |
+ |
|
|
( )0 D : |
(4.24) |
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
Раскроем производные в |
обоих интегралах. |
Оператор будет |
самосопря- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж¼нным, если при перестановке |
и местами вокруг него получается |
тот же результат (действительный случай). Это происходит, если:
2 a = D0 |
|
D 0 |
=> |
(x) = exp |
|
D0(x) 2a(x) |
dx: |
(4.25) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
D(x) |
|
|
|
||||||
Кроме этого, естественно, должны исчезать граничные члены ( I = 0). |
|||||||||||||||||||
Введ¼м в соответствии с (4.15) плотности тока вероятности: |
|
||||||||||||||||||
|
J |
|
|
a |
|
1 |
|
D 0; |
J |
|
a |
|
1 |
|
D |
0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
2 ( |
= |
2 |
( |
|
|
||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
) |
|
|
||||||||||
При помощи этих определений и уравнения (4.25) для функции |
(x), |
граничный член (4.24) можно переписать в следующем виде:
I = (x)( (x)J (x) (x)J (x)) = 0:
Несложно проверить, что все три типа граничных условий, рассмотренных в разделе x4.4, ñòð. 110 приводят к нулевому значению I. Таким
образом, мы показали, что оператор уравнения (4.20), умноженный на функцию (x) (4.25), оказывается самосопряженным. Поэтому общее ре-
шение уравнения Фоккера-Планка можно записать в следующем виде:
|
|
|
|
|
P (x; t) = |
n |
anun(x)e nt; |
an = Z |
P (x; 0) un(x) (x) dx; |
|
X |
|
|
|
где для определения an используются начальные условия P (x; 0).
120 |
Глава 4. |
4.7Уравнение для x(t; ")
Пусть случайный процесс x = f(t; ") в момент времени t выражен через гауссову переменную ". Несмотря на случайность величин, f(t; ")
представляет собой обычную функцию двух аргументов. Найд¼м уравнение, которому она удовлетворяет. При этом будем предполагать, что существует обратная к f функция " = g(x; t). Нам потребуются перехо-
ды от частных производных f к g. Для этого запишем дифференциалы:
d" = @xg dx + @tg dt; dx = @"f d" + @tf dt;
ãäå @xg = @g=@x, и т.д. Подставляя dx в первое уравнение, получаем:
2 |
|
1 |
= |
@"2f @xg |
|
@"f @xg = 1; @tg = @xg @tf; @xg = @x |
|
|
: (4.26) |
||
@"f |
(@"f)2 |
Выведем сначала уравнение для обратной функции g(x; t). Пусть в момент времени t случайная величина, от которой зависит x, равна "1. Через бесконечно малый интервал времени в t + dt это уже другая гауссова переменная "2:
|
|
|
"2 = g x + dx; |
t + dt ; |
"1 = g(x; t): |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвед¼м "2 |
в k-тую степень "2k |
= gk |
x + dx; t + dt и разложим в ряд |
||||||||||||||||
до первого порядка малости по |
|
|
, и до второго по dx: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
"k |
"k |
kgk 1 g0dx |
gdt |
|
|
k k |
|
gk 2g02 |
|
|
kgk 1g00 |
|
(dx)2 |
+ |
::; |
|
|
||
|
|
x |
|
2 |
|
|
|||||||||||||
где штрих обозначает частную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 = |
1 + |
|
( |
+ ) + ( 1) |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
производную по |
|
, а точка по времени. |
||||||||||||
В качестве |
dx |
подставим стохастическое уравнение |
|
|
|
|
p |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = adt + b" |
dt |
где случайное число " не зависит от "1. Усредняя левую и правую части
2 |
= |
1 |
h |
i = 0 |
|
|
D |
! |
|
D |
|||
"k |
|
"k , |
" |
, |
"2 |
|
= 1 и сдвигая k |
|
k + 1, получаем: |
||||
|
|
|
|
gk g0 a + g + |
|
g00 + kgk 1 |
|
g02 = 0; |
|||||
|
|
|
|
2 |
2 |
ãäå D = b2 диффузия процесса. Умножим это соотношение на произвольные коэффициенты Fk и просуммируем по k = 0; 1; ::::
F (g) |
g0 a + g + 2 g00 |
+ F 0(g) g02 |
2 |
= 0; |
|
|
|
D |
|
D |
|
ãäå F (g) = F0 + F1g + F2g2 + :: При усреднении производится интегри-
рование по "1 = g с плотностью вероятности P ("1). Для функций типа g0(x; t) предполагается, что после взятия производной необходимо выра-
çèòü x = f("1; t) и подставить в g0(x; t).
Вероятности |
121 |
Проинтегрируем по частям второе слагаемое в среднем:
1 |
F 0("1)g02 |
2 |
P ("1) d"1 |
1 |
F ("1)@"1 g02 |
2 P ("1) d"1: |
|||
Z |
= Z |
||||||||
|
|
D |
|
|
@ |
|
D |
||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
При вычислении производной можно воспользоваться неявным дифференцированием:
@"1 g02 |
2 = |
@x g02 |
2 |
@"1 |
= @x g02 |
2 |
g0 ; |
|
|||||||||||
@ |
|
D |
@ |
|
|
D |
|
@x |
@ |
|
|
D |
1 |
|
|
||||
где учтено, что @x=@"1 = f0 = 1=g0 (ñì. (4.26)). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вводя функцию |
("1) = P 0("1)=P ("1), получаем: |
|
|
g0 |
|
||||||||||||||
F (g) g0 a + g + 2 |
g00 + g02 |
2 |
("1) @x g02 |
2 |
|
= 0: |
|||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
D |
|
|
@ |
|
|
D |
1 |
|
|
|
В силу произвольности функции F жен быть равен нулю, поэтому для
множитель в круглых скобках дол- "1 = g(x; t) имеем:
|
1 |
@D(x; t) |
|
D x; t |
) |
|
(g) g02 g00 : |
|
||
g = |
|
|
|
|
g0 a(x; t)g0 |
( |
(4.27) |
|||
2 |
|
@x |
2 |
|
Воспользовавшись (4.26), после несложных вычислений получаем уравнение относительно f(t; "):
f_ |
= a(f; t) |
D0 |
(f; t) |
+ |
D(f; t) |
|
(") |
+ |
f00 |
|
; |
(4.28) |
|
|
2 |
|
2 |
f0 |
f02 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå D0 = @D=@f и опущен индекс у "1.
В детерминированном случае (D = 0) получается, как и следовало ожидать, обыкновенное дифференциальное уравнение f_ = a(f; t). Íà-
чальное условие для (4.28) имеет вид x(t0; ") = x0.
Для гауссового распределения (") = ". Однако в качестве случайного
числа " можно использовать величину с произвольным распределением. Так, для P (") " 1e " функция (") = ( 1)=".
В качестве упражнения (l H42) предлагается проверить, что уравнения (4.27) è (4.28) согласуются с уравнением Фоккера-Планка.
122 |
Глава 4. |