- •Случайные события
- •Стохастический мир
- •Случайные величины
- •Совместная и условная вероятности
- •Зависимость и независимость
- •Характеристическая функция
- •Модель аддитивного блуждания
- •Случайные процессы
- •Стохастические уравнения
- •Уравнение Ито
- •Остановка перед восхождением
- •Лемма Ито
- •Точные решения
- •Простые стохастические модели
- •Представление решений
- •Автокорреляция и спектр
- •Порождающий процесс Винера
- •Средние значения
- •Динамическое уравнение для средних
- •Процесс Феллера
- •Логистическое уравнение
- •Вероятности
- •Марковские плотности вероятности
- •Граничные условия
- •Стохастические интегралы
- •Площадь под траекторией Винера
- •Интегралы Ито
- •Интегрирование стохастических уравнений
- •Единственность решений
- •Метод последовательных приближений
- •Системы уравнений
- •Скоррелированные блуждания
- •Системы стохастических уравнений
- •Стохастический осциллятор
- •Линейные многомерные модели
- •Многомерие помогает одномерию
- •Как решать стохастические задачи?
- •Стохастическая природа
- •Теория броуновского движения
- •Стохастический осциллятор
- •Дрожание земной оси
- •Электронный шум
- •Хищники и их жертвы
- •Стохастическое общество
- •Финансовые рынки
- •Эмпирические закономерности
- •Диверсификация
- •Портфель на всю жизнь
- •Опционы
- •Кривая доходности
- •Компьютерное моделирование
- •Статистики
- •Случайные числа
- •Моделирование стохастических процессов
- •Ошибки вычислений и ускорение сходимости
- •Вычисление средних
- •R: Стохастический справочник
- •Основные соотношения теории
- •Системы уравнений с одинаковым шумом
- •M: Математические приложения
- •H: Помощь
- •C: Примечания
- •Рекомендуемая литература
198 |
Глава 7. |
7.5Хищники и их жертвы
Рассмотрим пример очень простой модели, описывающей динамику популяции двух видов живых существ. Одни из них будут безобидными кроликами ( жертвы ), а вторые коварными лисами ( хищники ). Детерминированная система уравнений имеет вид:
x = x xy x2 y = y + xy:
Количество кроликов обозначено через x, а лис через y. Точка над
переменной, как обычно, - производная по времени. Кролики размножаются в соответствии с логистическим уравнением, однако их смертность зависит также от встречи с хищником, которая тем вероятнее, чем больше жертв и хищников. Поэтому в уравнение добавлен член x y. По-
пуляция лис при отсутствии питания вымирает ( y). Положительный
прирост возможен только при активной и недружественной встрече с кроликами (+ xy). Если ресурсы питания для кроликов не ограничены
( = 0), то эту систему называют уравнениями Лотка-Вольтерра (Lotka-
Volterra equation, predator-prey equations).
Модель содержит большое число параметров. Не все из них имеют существенное значение при анализе качественных свойств поведения решения. Поэтому целесообразно уменьшить их количество. Для этого сделаем преобразования масштаба: x ) ax, y ) by и t ) t, где константы
a, b и являются единицами измерения численности особей и времени. Подставим эти преобразования в уравнения (при этом x ) (a= )x) и выберем a = 1= , b = 1= и = 1= .
Тогда, с точностью до масштабирования, система уравнений становится двухпараметрической и записывается в следующем виде:
x = xy + !2 x 2 x2 y = xy y;
ãäå !2 = = , 2 = = . Е¼ качественный анализ начинается с определения особых точек, в которых x = y = 0:
(
x1 ( y1 + !2 2 x1) = 0 y1 (x1 1) = 0:
Несложно видеть, что существует три решения этих уравнений:
x1 = 1; y1 = !2 2 ; |
x10 = y10 = 0 ; |
x100 = !2=2 ; y100 = 0 : |
Последние два достаточно тривиальны и сводятся в первом случае к полному вымиранию всех особей, а во втором к вымиранию хищников.
Стохастическая природа |
199 |
Рассмотрим решения системы в окрестности первой особой точки. Вве-
д¼м отклонения численности популяций |
X = x x1, Y |
= y y1 è |
|||||
разложим правую часть уравнений в ряд по X = fX; Y g: |
|
|
|||||
( Y_ = (!2 2 )X |
|
|
|
!2 2 0 |
|||
_ |
_ |
|
|
|
2 |
|
1 |
X = 2 X Y |
|
A = |
|
|
|||
|
X = A X; |
|
: |
Это линеаризованное уравнение будем решать стандартными методами, рассмотренными в разделе x6.4, ñòð. 164. Характеристическое уравнение
a2 + 2 a + !2 2 = 0 для собственных значений матрицы A имеет два решения:
p
a1;2 = i !2 2 2:
Если пищевые ресурсы жертв не ограничены = 0, то в системе устанавливаются незатухающие периодические колебания с частотой !. При6= 0 эти колебания будут затухающими. Колебательного режима не будет, если очень велико. В этом случае оба решения отрицательны и
действительны.
Бифуркация в системе возникает, когда подкоренное выраpжение становится равным нулю, что соответствует значению 0 = 1 + !2 1.
Ïðè > 0 решение уравнений монотонно затухает, а при < 0 проис- ходит качественная перестройка и возникают колебания, сначала сильно затухающие, а по мере уменьшения постепенно переходящие в перио-
дические. |
|
|
|
|
2 |
x0=1 y0=0.1 |
|
|
x0=1 y0=1 |
|
|
|
||
x(t) |
|
2 |
x(t) |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
y(t) |
|
y(t) |
|
|
|
|
0 |
50 |
0 |
|
50 |
25 |
|
25 |
Выше представлена динамика численности особей при = 0, и ! = 0:5. На левом рисунке начальные значения x0 = 1 è y0 = 0:1, а на правом: x0 = 1 è y0 = 1. Если начальное отклонение от точки равновесия x1 = 1, y1 = 0:25 невелико, колебания будут практически гармониче- скими. Однако при существенных отклонениях начинают сказываться нелинейности, и синусоида становится сильно искаж¼нной.
Стоит обратить внимание на сдвиг кривых относительно друг друга. Когда лис мало кролики быстро размножаются. Это приводит к росту численности лис, что тормозит рост популяции кроликов. Как и любая колебательная система, модель хищник-жертва обладает инертностью. Поэтому популяция лис продолжает увеличиваться, тогда как ряды кроликов стремительно редеют.
200 |
Глава 7. |
При описании реальных популяций эта модель обладает одним неприятным свойством. Если начальное значение хищников заметно отлича- ется от равновесия, то их численность испытывает очень большие колебания, прижимаясь в минимуме к нулевому значению. Так, выше, на правом графике (x0 = 1, y0 = 1), численность лис падает до 0.02 (в 50 раз), тогда как популяция кроликов изменяется только в 4 раза. Этот эффект называют атто-лисьей проблемой (atto-fox problem), так как
иногда при моделировании численность хищников падает практически до нуля ( атто это 10 18 часть чего либо).
|
Рассмотрим ситуацию ограниченных ресурсов. Если ! = 0:5, то крити- |
|||||||
ческое значение 0 = 0:12. Выберем = 0:01 (слева) и = 0:05 (справа): |
||||||||
|
|
|
|
=0.01 |
2 |
|
=0.05 |
|
2 |
x(t) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
25 |
50 |
75 |
100 |
25 |
50 |
75 |
100 |
Затухание наглядно видно также на фазовой диаграмме в плоскости (x; y). Ниже на первом рисунке представлены фазовые кривые при раз-
личных начальных условиях и неограниченных ресурсах ( = 0). При
этом всегда x0 = 1, à y0 меняется от 0.2 до 0.8 c шагом 0.1. На втором и третьем рисунках приведена единичная траектория, соответствующая затухающим колебаниям с = 0:01 и = 0:05 от точки x0 = 1, y0 = 0:8:
y |
|
|
=0 |
|
y |
|
=0.01 |
|
|
y |
|
=0.05 |
|
0.6 |
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
Перейд¼м теперь к стохастической задаче. Будем считать, что рож-
даемость подвержена случайным факторам, так что относительный прирост dx=x является винеровским шумом с амплитудой sx
è sy äëÿ ëèñ:
dx = ( xy + !2 x 2 x2) dt + x sx Wx dy = ( xy y) dt + y sy Wy:
Линеаризованные в окрестности особой точки уравнения имеют решение для средних, аналогичное детерминированному случаю.
Стохастическая природа |
201 |
Для колебательного режима средняя численность популяции кроликов стремится к единице, а лис к !2 2 . Так как снос уравнений не
линеен, это, на самом деле, лишь первое приближение к точному асимптотическому пределу. Найд¼м его при помощи уравнения для средних (6.15), ñòð. 159. Выбирая F = ln x и F = ln y и положив производные по
времени равными нулю, получаем:
|
sy2 |
|
2 |
2 |
|
|
sx2 |
||
x = 1 + |
|
; |
y = ! |
|
2 sy |
|
|
|
: |
2 |
|
2 |
|||||||
Равновесное значение средней численности кроликов |
увеличивается за |
сч¼т флуктуации рождаемости лис, а численность лис уменьшается (по
сравнению с детерминированным случаем) от шумов обоих популяций. Аналогично, выбор F = x и F = y позволяет найти x2 = (x x)2
дисперсию колебания численности популяции кроликов вокруг средних:
x2 = 41 s2x + (!2 2 ) s2y s4y :
и коэффициент ковариации:
s2 cov(x; y) = 2x y:
Он имеет отрицательное значение, что свидетельствует о противофазности динамики лис и кроликов.
Рассмотрим численности популяций x(t), y(t) со следующими параметрами: ! = 0:5, = 0:01, sx = 0:05, sy = 0:
2
x(t)
1 |
y(t) |
0
100 |
200 |
300 |
Как и в случае линейного стохастического осциллятора, колебательный режим продолжается и при наличии затухания (параметр ). Однако
это колебание оказывается квазипериодическим с плавающим периодом
èамплитудой.
Âприроде не происходит гладких колебаний численности популяций. Их динамика существенно стохастична. При этом стохастичность не является досадным шумом, который искажает теоретически гладкую динамику, а приводит к эффекту появления колебаний, когда в детерминированной системе они исчезают. Ограниченность пищевых ресурсов кроликов играет стабилизирующую роль в системе, ослабляя атто-лисий эффект.
202 |
Глава 7. |