Вернуться 11. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ Дальше

Рассмотрим механизм возникновения и распространения колебаний в упругой среде, между частицами которой существуют силы взаимодействия, препятствующие тому или иному виду её деформации.

Тело, колеблющееся вупругой среде, периодически воздействует наприлегающие кнемучастицысреды, выводя ихизположения равновесия и заставляя совершать вынужденные колебания. При этом среда вблизи тела деформируется, и в ней возникают упругие силы. Эти силы действуют как на прилегающие к телу частицы, стремясь возвратить их в положение равновесия, так и на более удалённые от тела частицы, выводя их из положения равновесия. Таким образом, постепенно всё более и более удалённые от тела области среды вовлекаются в колебательное движение.

Рассмотренный нами процесс распространения колебаний

вупругой среде является примером волнового движения или волн. В дальнейшем будет показано, что наличие упругой среды неявляется необходимым условием распространения всяких волн. Так, например, электромагнитные волны могут распространяться нетолько

ввеществе, но и в вакууме. Такими же свойствами обладают гравитационные волны.

Поэтому в физике волнами называют всякие распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля.

Так, например, звуковые волны в газах или жидкости представляют собой колебания давления, распространяющиеся в этих средах, а электромагнитные волны — распространяющиеся в пространстве колебания напряжённостей E и H электромагнитного поля.

Механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде, называются упругими волнами. Если амплитуды соответствующих колебаний частиц среды невелики и частоты колебаний лежат в пределах 16–20000 Гц, то такие упругие волны называются

звуковыми или акустическими.

Упругая волна называется продольной, если колебания частиц среды происходит в направлении распространения волны (рис. 75).

Если же частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной (рис. 76).

115

Рис. 75. Модель продольной волны

Video

Рис. 76. Модель поперечной волны

Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твёрдых телах. Таковы, например, волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

Продольныеволнысвязаны с объёмной деформацией среды. По-

этому они могут распространяться как втвёрдых телах, так ив жидкостях или в газах.

Существенное отличие упругих волн в среде от любого другого упорядоченного движения её частиц состоит в том, что распростра-

нение волн не связано с переносом вещества.

Предположим, что точечный источник волн начал возбуждать в среде колебания в момент t = 0. По истечении времени t это коле-

116

бание распространится по различным направлениям на расстояние ri = vi t, где vi — скорость волны в данном направлении. Поверхность, до которой доходит колебание в некоторый момент времени, называется фронтом волны. Форма фронта волны определяется конфигурацией источника колебаний и свойствами среды.

В однородных средах скорость распространения волны везде одинакова. Среда называется изотропной, если эта скорость одинакова по всем направлениям. Фронт волны от точечного источника колебаний в однородной и изотропной среде имеет вид сферы; такие волны называются

сферическими (рис. 77).

В неоднородной и анизотропной среде, а также от неточечных источников колебаний фронт волны имеет сложную форму. Если фронт волны представляет собою плоскость и эта

форма сохраняется по мере распространения колебаний в среде, то волну называют плоской.

Малые участки фронта волны сложной формы можно считать плоской волной, если только рассматривать небольшие расстояния, проходимые этой волной (рис. 78).

Рис. 78. Плоская волна

Одной изосновных характеристик волнового движения является длина волныт λ.

117

Длиной волныназываетсярасстояниемеждудвумяближайшими точками среды, для которых разность фаз колебаний составляет 2π, что соответствует периоду колебаний Т.

Следовательно, за время одного периода Т волна распространяется на расстояние, равное длине волны:

λ= vT.

11.1.Уравнение волны. Волновое уравнение

Зависимость смещения у отпространственных координат ивре-

мени называется уравнением волны y = f(x, y, z, t).

Простейшимтипомволнявляютсятакназываемыесинусоидальные (гармонические) волны, при которых величины «у» для всех точек среды, охваченной волновым движением, совершают гармонические колебания одинаковой частоты. Для существования упругих синусоидальных волн необходимо, чтобы источник волн совершал незатухающие гармонические колебания.

Рассмотрим одномерную волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси ОХ и возбуждаемую источником, который находится в точке А (рис. 79).

Пусть для начальной точки А уравнение колебания будет

yA = y0 sin (ωt + ϕ0 ),

где y0 — амплитуда, ω — циклическая частота, φ0 — начальная фаза

колебания.

Точка В совершает колебание

Рис. 79. К выводу уравнения волны с запаздыванием по фазе на φ = ωt0,

соответствующей промежутку времени t0, за который волна проходит расстояние х между точками АиВ. Тогда для точки В уравнение колебаний будет

yB = y0 sin (ωt −ϕ+ ϕ0 )=

=y0 sin (ωt −ωt0 + ϕ0 )=

=y0 sin ω(t −t0 )+ ϕ0 .

Подставляя значение t0 = vx , получим

118

где k = 2λπ — волновое число.

Геометрическое место точек среды, для которых в рассматриваемый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, называется волновойповерхностью. Фронт волны— частный случай волновой поверхности для фазы, равной нулю.

В случае одномерной синусоидальной волны уравнение волно-

Таким образом, для синусоидальных волн скорость движения

поверхности постоянной фазы совпадает со скоростью v распространения волны.

Этот результат и явился причиной того, что скорость v была названа фазовой скоростью волны.

Мы выяснили, что смещение у точек среды в упругой одномерной волне является функцией двух переменных: времениt ирасстояния хданнойточкиотточкивозбужденияколебаний,т.е. y = f (x,t).

Для определённого момента времени (t = const) уравнение волны даёт зависимость смещения у точек среды, расположенных вдоль оси ОХ, от расстояния х.

График этой зависимости (как бы моментальную фотографию волны в момент времени t) называют графиком волны (рис. 80). Для простой гармонической волны график имеет форму синусоиды.

119

120

δ2 y = v2 δ2 y . δt2 δx2

При составлении уравнения для сферической волнынеобходимо учитывать, что амплитуда колебаний изменяется обратно пропорционально расстоянию от источника колебаний.

Уравнение сферической волны

yr = tr0 sin (ωt − kr + ϕ0 ),

гдеy0 — амплитуда волны вточках среды, которые находятся нарасстоянии r = 1 м от источника волн.

По мере увеличения радиуса кривизна волновой поверхности сферической волны уменьшается. Поэтому достаточно далеко от источника сферическую волну можно рассматривать как плоскую волну.

11.2. Фазовая скорость упругих волн

Найдём выражение для скорости v распространения продольных упругих волн в однородной газообразной или жидкой среде. Ради простоты будем считать, что газ или жидкость находятся внутри бесконечно длинного цилиндрического сосуда под подвижным невесомым поршнем (рис. 82).

Пусть вначале поршень покоился, а затем в некоторый момент времениt =t0 начал равномерно двигаться вдоль оси сосуда со скоростью v1, вызывая объёмную деформацию среды. Изменение импульса этой массы

газа или жидкости равно

∆mv1. С другой стороны, по второму­ закону Ньютона изменение импульса равно

импульсу Fсрñð ∆t средней силы, действующей на газ (жидкость) со стороны поршня:

∆mv1 = Fñðср ∆t.

За малое время ∆t возмущающее действие поршня охватит участок среды длиной v∆t , масса которого

∆m = ρSv∆t,

где S — площадь поршня, ρ = const — плотность среды.

121

Подставив это значение в уравнение ρSvv1 = Fср, найдём выра-

жение для скорости v распространения продольных упругих волн: v = Kρ .

Аналогичными рассуждениями можно показать, что скорость распространения поперечных упругих волн в неограниченной изо-

тропной твёрдой среде равна

v = Gρ ,

где G — модуль сдвига среды.

Для продольных волн в тонком стержне v = Eρ ,

где Е — модуль Юнга материала стержня.

Поскольку скорость распространения волны зависит от свойств среды, длина волны при переходе из одной среды в другую изменяется, хотя частота колебаний остаётся неизменной.

11.3. Интерференция волн. Стоячие волны

Если вупругой среде распространяется одновременно несколько волн, то в местах их наложения колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы

122

частицы прираспространении каждой изволн вотдельности. Таким образом, одна волна не искажает другой; когда они разойдутся, то они не несут на себе никаких следов прошедшего наложения.

Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн. Для выполнения принципа суперпозиции необходимо, чтобы волны имели малые амплитуды.

Источники волн, колеблющиеся с одинаковой частотой и не меняющейсясовременемразностьюфаз,называюткогерентными.Волны от когерентных источников называют когерентными волнами.

Наложение когерентных волн даёт явление интерференции, заключающееся в том, что в определённых местах пространства про-

наковой частотой. Рассмотрим, что будет происходить в точке L. В ней будут накладываться друг на друга две когерентные вол-

Амплитуда результирующего колебания найдётся по формуле

A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos (ϕ2 −ϕ1 ).

Максимальноезначениеамплитудырезультирующегоколебания

123

Условием максимума будет

∆x = 2πkn = nλ = 2n λ2 .

Рассуждая аналогично, получим условие минимума

∆x = (2n +1)λ2 .

Таким образом, если на разности хода волн укладывается чётное число полуволн, то при наложении волн в данной точке возникнет максимум амплитуды.

Если же для данной точки на разности хода волн укладывается нечётное число полуволн, то в ней будет минимум амплитуды колебаний.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложениидвух встречныхсинусоидальныхволнодинаковойамплитуды и частоты. Практически такие волны возникают приотражении от преград.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся

в противоположных направлениях,

y1 = Asin (ωt − kx);

y2 = Asin (ωt + kx).

Видно, что в начале координат (х = 0) обе волны вызывают колебания в одинаковой фазе. В некоторой же точке М с координатой х суммарное значение смещения будет

y = y1 + y2 =

= Asin (ωt − kx)+ Asin (ωt + kx)= = 2Acos kxsin ωt.

Видно, что все точки одновременно проходят через ноль, когда sin ωt = 0, и все одновременно досигают максимума смещения, когда sin ωt = ±1.

Выражение суммарного значения смещения показывает, что в результате интерференции прямой иобратной волн вкаждой точке среды с фиксированной координитой х происходит гармоническое

Из уравнения стоячей волны видно, что амплитуда результирующего колебания зависит от значения координаты х и не зависит от времени.

124

Точки, где cos kx = 0 и колебание отсутствует, называются уз-

лами.

Точки, где cos kx = ±1 амплитуда колебаний будет максимальна и равна 2А, называются пучностями.

Координаты узлов находятся по формуле

1)встоячейволнеамплитудыколебанийразличныв различных местах системы, в системе имеются узлы и пучности колебаний;

2)в пределах участка системы от одного узла до соседнего все точки среды колеблются в одинаковой фазе; при переходе к соседнему такому же участку фазы колебаний меняются на обратные;

3)в стоячей волне нет переноса энергии.

Стоячие волны могут образовываться и при поперечных, и

при продольных волнах любой физической природы.

Video

Video

11.4. Эффект Доплера

Движение источника влияет на некоторые свойства волн. Так, например, стоя наперроне вокзала, мы слышим, как тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении. Высота звука определяется частотой волн, излучаемыхисточником.Следовательно,движениеисточника(гудка)к приёмнику (нашему уху) меняет частоту принимаемых волн. Эффект изменения частоты волн при относительном движении излучателя и приёмника был впервые исследован К. Доплером (1842 г.).

125

Если V много меньше с и отношение Vc <<1, то все формулы для обоих случаев выглядят одинаково:

где знак «плюс» соответствует сближению, а знак «минус» удалению излучателя и приёмника волн друг от друга.

Однако, если скоростьV повеличине близка кскорости с (например, движущийся самолёт), то эффект Доплера различен для движения источника относительно приёмника и движения приёмника относительно источника.

Эффект Доплера наблюдается для любого вида волнового движения и широко используется в науке и технике.

Пример использования эффекта Доплера в астрофизике для определения лучевых (движение «к нам» и «от нас») скоростей солнечных образований представлен на рис. 85–87.

Рис. 85. Снимок солнечного протуберанца вцентре линии Нα

Рис. 86. Поле лучевых скоростей протуберанца (тёмные области кнам приближаются, светлые— удаляются)

127

12.1. Силы инерции при поступательном движении (силы инерции Даламбера)

Если система отсчёта движется относительно инерциальной с ускорением, то первый закон Ньютона в ней выполняться не будет, и она будет неинерциальной.

Основные утверждения механики Ньютона гласят:

1)ускорения вызываются только силами;

2)всякая сила обусловлена действием наданное тело каких-либо других тел.

Если в неинерциальной системе отсчёта оставить в силе первое утверждение, то не будет выполняться второе.

Для объяснения возникновения ускорений в неинерциальных системах отсчёта ввели силы, которые определяются движением системы отсчёта. Эти силы получили название сил инерции.

Поскольку силы инерции нехарактеризуют взаимодействия тел, то они не подчиняются третьему закону Ньютона. Определим, как вычислить силу инерции.

Из теоремы сложения скоростей имеем

v = v′+ v0 .

Взяв призводную по времени, получим

a = a′+ a0 ,

т. е. абсолютное ускорение равно геометрической сумме относи-

тельного и переносного ускорений или ma = ma′+ ma0 . Отсюда

n

ma′ = ma − ma0 , но ma = ∑Fi , т. к. в инерциальной системе выпол-

i=1

няется второй закон Ньютона. Следовательно,

n ma′ = ∑Fi − ma0 .

i=1

Сдругой стороны, если мы хотим пользоваться ив неинерциальной системе вторым законом Ньютона, то мы должны учесть кроме

i=1

где Fèи — сила инерции. Сопоставив последние равенства, видим, что

128

Fиè = −ma0 .

Можно сделать вывод, что при поступательном движении неинерциальной частицы силы инерции (даламберовы силы инерции) одинаковы во всех точках этой системы отсчёта и не зависят от скорости движения тела относительно неё.

12.2. Силы инерции, действующие на покоящееся тело во вращающейся системе отсчёта (силы инерции Эйлера)

Проведём эксперимент сврающающейся платформой, накоторой закреплены подвешенные на нитях шарики на разных расстояниях от оси вращения (рис. 88). Все шарики маятников (за исключением расположенного на оси вращения) отклонятся от вертикали, и чем дальше от оси — тем больше отклонение.

Рис. 88. К описанию эйлеровых сил инерции

Все маятники находятся в состоянии покоя относительно диска, но совершают равномерное движение по кругу относительно Земли (относительноинерциальнойсистемыотсчёта).Центростремительная сила F создаётся натяжением нити N и силой тяготения mg

(рис. 89).

А так как

F = −mω2 R , то tg α = ω2 R . g

129

Относительно диска маятники нахо-

дятся в состоянии покоя в отклонённом положении.

Следовательно, кроме сил тяготения, на грузики маятников действует ещё ка- кая-то горизонтальная сила, направленная от центра, и притом различная для различных маятников.

Эта сила и есть центробежная сила

инерции Fиè .

Она направлена по радиусу от центра

диска Fиè = mω2 R . Таким образом, в состоянии покоя относительно диска на грузик каждого маятника действует три силы

mg, N, Fиè . Сумма всех этих сил равна

нулю:

mg + N + Fиè = 0.

Рис. 89. Силы, действующие нашарик

12.3.Силы инерции, действующие на движущееся тело во вращающейся системе отсчёта

(силы инерции Кориолиса)

При рассмотрении неинерциальных систем координат, движущихся попрямой линии, соотношение между абсолютной, переноснойи относительнойскоростямии соответствующимиускорениями были совершенно одинаковыми. У вращающихся систем дело обстоит сложнее. Отличие обусловливается тем, что переносная скорость различных точек вращающейся системы координат различна. Аб-

солютная скорость по-прежнему является суммой переносной иотносительной скоростей v = v0 + v′, а абсолютное ускорение в таком простом виде не представляется.

При перемещении из одной точки вращающейся системы координат в другую изменяется переносная скорость точки. Поэтому,

если даже относительная скорость v′ точки при движении не изменяется, точка должна испытывать ускорение, отличное от переносного.

130

Пусть шарик движется прямолинейно и равномерно вдоль радиуса диска со скоростью v′ (рис. 90). Относительно неподвижной системы отсчёта движение шарика будет инепрямолинейным, инеравномерным.

Для того чтобы найти силы инерции во враща- ющейся системы отсчёта,

необходимосначалаопределить ускорение шарика относительно неподвижной системы отсчёта.

Пусть в момент времени t точка находилась на расстоянии R от оси вращения. Тогда скорость точки относительно не-

подвижной системы отсчёта можно представить из двух составляющих: v′, направленной по R , и ω, R R, где ω— угловая скорость вращения диска. Через промежуток времени dt обе составляющие повернутся на угол dα = ω dt (рис. 91).

Рис. 91. Иллюстрация квыводу

Проведём из одного начала составляющие векторов скорости в моменты t и t + dt (рис. 92). Видно, что приращение скорости заdt состоит из dv1, dv2 и dv3 , причём dv1 и dv2 R направлены водну сторону вдоль ω, R . Приращение dv3 направлено коси вращения.

131

Рис. 92. Иллюстрация кпричинам возникновения приращения скоростей

1. Приращение dv1 вызвано тем, что скорость относительного движения v′ вдоль радиуса R поворачивается вместе с радиусом

диска dv1 = v′dα = v′ωdt.

2. Приращение dv2 вызвано тем, что точка во время движения переходит к бόльшим окружным скоростям:

dv2 = ω(R + dR)−ωR = ωv′dt.

3. Приращение dv3 вызвано тем, что точка движется по кругу вместе с диском и составляющая скорости ω, R изменяет своё направление:

dv3 = ωR dα = ωR ωdt = ω2 R dt.

Зная приращение скорости за достаточно малое время dt, можно определить величины компонент ускорения.

Перпендикулярную крадиусу (тангенциальную составляющую)

можно получить так:

aτ = dv1 + dv2 = 2ωv′dt = 2ωv′. dt dt

Радиальную (нормальную) компоненту найдём так: an = dvdt3 = ω2 Rdt dt = ω2 R .

Очевидно, эта компонента равна известному нам центростре-

мительному ускорению.

132

Тангенциальнуюкомпонентуускоренияназывают кориолисовым (поворотным) ускорением:

aêк = 2ωv′.

Кориолисово ускорение в векторном виде запишется так:

aкê = 2[ω, v′].

Мы рассмотрели движение шарика подиску винерциальной системе отсчёта. Получили, что нашарик должна действовать ещё одна сила, вызывающая появление кориолисова ускорения.

12.4. Силы инерции во вращающейся системе координат

Имеем дляточки, движущейся вовращающейся системе отсчёта

Значит, сила инерции Кориолиса

FиКèê = −2m[ω, v′].

Видим,чтосилыинерцииразличныв разныхточкахнеинерциальной системы (центробежные силы) и зависят от относительной скорости движения (кориолисовы силы).

Напомним, что о силах инерции можно вести речь только в неинерциальных системах отсчёта.

Отметим, что кориолисова сила всегда перпендикулярна к от-

носительной скорости, поэтому при относительном движении она не совершает работы.

133

12.5. Законы сохранения

внеинерциальных системах

Сучётом сил инерции уравнения движения в неинерциальной системе ничем неотличаются отуравнений движения винерциальной системе отсчёта. В частности, при расчёте изменения энергии необходимоучитыватьработусилинерции,приниматьво внимание момент сил инерции в уравнении моментов и т. д.

Во вращающейся с ω= const неинерциальной системе силы инерции (центробежные) являются центральными силами (направ-

ленными от оси вращения). Но все центральные силы являются по-

тенциальными. Поэтому наряду с обычной потенциальной энергией надо учитывать потенциальную энергию, связанную с силами инерции.

12.6. О реальности существования сил инерции

Являются ли силы инерции реальными силами? Они реальны в том смысле, в каком являются реальными ускорения в неинерциальных системах отсчёта, для описания которых они введены. Они реальны также и в более глубоком смысле: при рассмотрении физических явлений в неинерциальных системах можно указать конкретные физические последствия действий сил инерции.

Например, в вагоне поезда силы инерции могут привести кувечьям пассажиров, т. е. к весьма конкретному и осязаемому результату. Поэтому силы инерции столь же реальны, как реален факт равномернорго и прямолинейного движения тел в инерциальных системах отсчёта, если отсутствуют «обычные» силы взаимодействия, как это формулируется в первом законе Ньютона.

134

Основанная назаконах Ньютона классическая механика справедлива только для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света в пустоте. Для описания движений, совершающихся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, Эйнштейн создал релятивистскуюмеханику,т. е.механику,учитывающуютребования специальной теории относительности.

Созданная Эйнштейном в 1905 г. специальная теория относительности представляет собой физическую теорию пространства и времени. Основу этой теории образуют два постулата, которые носят название принципа относительности Эйнштейна ипринципа постоянства скорости света.

Принцип относительности Эйнштейна является распространением механического принципа Галилея на все без исключения физические явления. Согласно этому принципу все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта, или, что то же самое: уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

Неизменность вида уравнения призамене в нём координат ивремени одной системы отсчёта координатами и временем другой называется инвариантностью уравнения.

Принцип постоянства скорости света утверждает, что скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчёта и не зависит от движения источников и приёмников света.

Из сформулированных постулатов вытекает ряд важных выводов, касающихся свойств пространства и времени.

В классической механике пространство и время рассматрива-

лись независимо друг от друга. Ньютон считал, что существует абсолютное пространство иабсолютное время. Абсолютное пространство определялось им как безотносительное к чему-либо внешнему вместилище всех вещей, остающееся всегда одинаковым и неподвижным.

О времени Ньютон писал: «Абсолютное, истинное или математическое время само по себе и в силу своей внутренней природы течёт равномерно, безотносительно к чему-либо внешнему». В соответствии с этим считалось совершенно очевидным, что два события,

135

одновременные в какой-либо системе отсчёта, будут одновременными и во всех остальных системах отсчёта.

В нерелятивистской механике переход от координат и времени одной инерциальной системы отсчёта ккоординатам и времени другой инерциальной системы осуществляется с помощью преобразований Галилея. Из этих преобразований возникает закон сложения

скоростей v = v′+ v0 .

Этотзаконнаходитсяв противоречиис принципомпостоянства скорости света, т. к. если в системе k′ световой сигнал распространяется в направлении вектора v0 со скоростью с, то в системе k скорость сигнала окажется равной c + v0 , т. е. больше с.

13.1.Следствия из преобразований Лоренца

1.Относительность одновременности.

Два события, происшедшие в различных точках x1 и x2 системы координат, называются одновременными, если они происходят

водин и тот же момент времени по часам этой системы координат.

Вкаждой из точек момент события фиксируется по часам, находящимся в соответствующей точке. Будем считать, что события произошли одновременно в неподвижной системе координат в момент t0. В движущейся системе координат эти события произошли

вточках x1′ и x2′ в моменты t1′ и t2′ , причём t1′ и t2′ являются показаниями часов движущейся системы координат, расположенных

136

Поскольку события происходят в точках на оси х, координаты y, z в обеих системах раны нулю. Из последних равенств видно, что в движущейся сисеме координат эти события происходят не одновременно (t2′ ≠ t1′), они разделены интервалом времени

∆t′ = t2′ −t1′ = cv2 (1x−1 −v2x2 ).

c2

Таким образом, события, одновременные водной системе координат, оказались неодновременными в другой.

Понятие одновременности не имеет абсолютного значения, независимого от системы координат. Чтобы утверждение об одновременности каких-либо событий имело определённое содержание, необходимо указать, к какой системе координат это утверждение относится.

Пусть человек, движущийся в космическом корабле (система kʹ) установил наносу икорме корабля часы. Расположимся как раз гдето посередине между часами. Из этой точки пошлём в обе стороны световые сигналы. Они будут двигаться с одинаковой скоростью и достигнут часов в одно и то же время. Но наблюдатель в неподвижной системе k сразу рассудит, что раз корабль движется, то часы на носу корабля удалялись от светового сигнала, и свету пришлось пройти больше половины длины корабля, прежде чем он достиг часов; часы накорме, наоборот, двигались навстречу световому сигналу — значит, путь сигнала сократился. Поэтому сигнал cначала дошёл до часов на корме, хотя космонавту в системе kʹ показалось, что сигналы достигли обоих часов одновременно.

Итак, выходит, что когда космонавт считает, что события в двух местах корабля произошли одновременно (при одном и том же значении tʹ в его системе координат), то в другой системе координат одинаковым tʹ отвечают разные значения t!

2. Относительность одновременности и причинность.

137

видно, что если x1 < x2, то в системе координат, движущейся в направлении положительных значений оси х (v > 0), имеет место не - равенство, а в системе координат, движущейся в противоположном направлении (v < 0), t2′ > t1′. Таким образом, последовательность одних и тех же событий в различных системах координат различна. Спрашивается, не может ли случиться так, что в одной системе координат причина предшествует следствию, а в другой наоборот, следствие предшествует причине? Ясно, что такая ситуация не может быть допущена в теории, которая признаёт объективную роль причинно-следственной связи в мире: от перемены точки зрения на события следствие и причина не могут меняться местами.

Чтобы причинно-следственная связь имела объективный характер и не зависела от системы координат, в которой она рассматривается, необходимо, чтобы никакие материальные воздействия, осуществляющие физическую связь событий, происходящих в различных точках, не могли передаваться со скоростью, большей скорости света в пустоте.

3. Длина движущегося тела.

Длиной движущегося тела называется расстояние между точками покоящейся системы координат, с которыми совпадают начало и конец движущегося стержня в некоторый момент времени по часам покоящейся системы координат.

Пусть стержень длиной l покоится в штрихованной системе координат, будучи расположенным вдоль оси xʹ. Заметим, что когда говорится о теле такой-то длины, то имеется в виду длина покоящегося тела. Координаты концов рассматриваемого стержня обозначим через x1′ и x2′ , причём, по определению, x2′ − x1′ = l. Величина l

написана без штриха, потому что она обозначает длину стержня в той системе координат, в которой он покоится, т. е. длину покоящегося стержня.

Отметим положение концов стержня движущегося со скоростью v в нештрихованной системе координат, в момент t0. По формулам преобразований Лоренца можно написать

138

Отсюда следует, что

где l′ = x2 − x1 — длина движущегося стержня.

Итак

l′ = l 1 − v2 . c2

Замечаем, что длина движущегося стержня, расположенного в направлении движения, меньше длины покоящегося.

Если стержень расположить перпендикулярно направлению движения, например, вдоль оси yʹ или z, то его длина не изменится, что следует из преобразований Лоренца.

4. Темп хода движущихся часов.

Пусть в точке x0′ движущейся системы координат происходят последовательно два события в моменты t1′ и t2′ . В неподвижной нештрихованной системе координат эти события происходят вразных точках в моменты t1 и t2.

Интервал времени между этими событиями в движущейся сис-

теме координат равен ∆t′ = t2′ −t1′, а в покоящейся — ∆t = t2 −t1 . На основании преобразований Лоренца имеем

времени t между теми же событиями, измеренный покоящимися часами.

139

Это означает, что темп хода движущихся часов замедлен относительно неподвижных.

Время ∆t′, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела. Собственное вре - мя всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела. Можно показать, что собственное время есть инвариант, т. е. одинаково во всех системах отсчёта.

получило непосредственное экспериментальное подтверждение. В составе космических лучей имеются частицы, именуемые μ+ и μ– мезонами. Эти частицы нестабильны — они распадаются самопроизвольно напозитрон (или электрон) идва нейтрино. Среднее время жизни μ-мезонов, измеренное вусловиях, когда они неподвижны (или движутся смалой скоростью), составляет около 2·10–6с. Казалось бы, что даже двигаясь со скоростью света, μ-мезоны могут пройти лишь путь порядка 600 м. Однако, как показывают наблюдения, μ-мезоны образуются в космических лучах на высоте 20–30 км и успевают в значмтельном количестве достигнуть земной поверхности.

Это объясняется тем, что 2·10–6 с — собственное время жиз - ни μ-мезона, т. е. время, измеренное по часам, движущимся вместе

сним. Время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного

сЗемлей, оказывается гораздо большим (скорость мезона близка к скорости света). Поэтому нет ничего удивительного в том, что этот экспериментатор наблюдает пробег мезона, значительно большим 600 м.

Отметим, что спозиции наблюдателя, движущегося вместе смезоном, расстояние, пролетаемое им до поверхности Земли, сокращается до 600 м, так что мезон успевает пролететь это расстояние за 2·10–6 с.

5. Парадокс близнецов.

Пусть из некоторой точки инерциальной системы координат

вмомент t = 0 вылетает ракета и, совершив полёт, возвращается

вэту же точку. При возвращении ракеты часы неподвижной системы координат показывают t, а часы, совершавшие полёт с ракетой,— время

140

∆t′ = ∆t 1 − v2 .

c2

Поэтому, если бы один из родившихся близнецов отправился

впутешествие на ракете, а другой остался в инерциальной системе координат, то при их встрече после возвращения ракеты первый был бы моложе второго.

Вэтом ничего пародоксального нет. Парадокс возникает в результате неправильного рассуждения, которое формулируется так: поскольку движение относительно, то можно сказать, что впутешествие отправился второй близнец, а близнец, находящийся на ракете, никуда не полетел. Тогда получается, что после встречи более молодым должен быть второй близнец, а не тот, который находился

вракете. Кто же из них будет действительно моложе? В этом и состоит парадокс.

Неправильность приведшего к парадоксу рассуждения состоит

втом, что системы отсчёта, связанные с близнецами, неэквивалентны — одна из них инерциальна, а вторая, связанная с ракетой, неинерциальна.

Поэтому, более молодым при встрече будет близнец, находившийся в ракете.

Расчёт в системе координат, связанной с ракетой, значительно сложнее и неможет быть выполнен спомощью преобразований Лоренца, верных для инерциальной системы отсчёта.

6. Сложение скоростей.

Пусть в движущейся системе координат движение материальной точки задано функциями

141

Из преобразований Лоренца имеем

dx = dx′ vdt′, dy = dy′, dz = dz′;

Это и есть искомые формулы сложения скоростей теории относительности. Формулы обратного преобразования согласно принципу относительности получаются, как обычно, заменой штрихованных величин на нештрихованные и скорости v на –v.

Сложение скоростей по(13.6) неприводит кскоростям, бόльшим

Этот результат вполне естественен, потому что сами формулы преобразований получены в конечном счёте из требования постоянства скорости света.

Видео

142

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Матвеев, А. Н. Механика и теория относительности : учеб. пособие / А. Н. Матвеев. 4-е изд., стер. СПб. : Лань, 2009. 324 с.

2.Савельев, И. В. Курс общей физики : учеб. пособие : в 3 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика / И. В. Савельев. 11-е изд., стер.

СПб. : Лань, 2011. 432 с.

3.Сивухин, Д. В. Общий курс физики : учеб. пособие : в 5 т. Т. 1. Механика / Д. В. Сивухин. 5-е изд. стер. М. : Физмат, 2010. 560 с.

4.Стрелков, С. П. Механика : учебник / С. П. Стрелков. 4-е изд.

стер. СПб. : Лань, 2005. 559 с.

5.Хайкин, С. Э. Физические основы механики : учеб. пособие / С. Э. Хайкин. 3-е изд. стер. СПб. : Лань, 2008. 754 с.

143

ББК В2я7

Б536

Серия основана в 2008 году

Печатается по решению редакционно-издательского совета Челябинского государственного университета

Рецензенты:

кафедра общей и теоретической физики Челябинского государственного педагогического университета; Л. А. Песин, доктор физико-математических наук, профессор

Бессонов, А. А.

Б536 Механика : конспект лекций / А. А. Бессонов. Челябинск : Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2013. 143 с. (Классическое университетское образование).

ISBN 978-5-7271-1161-1

Конспекты лекций соответствуют профессиональной образовательной программе курса физики и охватывают основные разделы механики.Лаконичноеи четкоеизложениематериала,продуманный отбор тем позволяют быстро и качественно подготовиться к семинарам, зачетам и экзаменам по данной дисциплине.

Предназначено для студентов 1-го курса всех форм обучения.

ББК В2я73-2