7. ЭНЕРГИЯ И РАБОТА

Ранее мы вводили в качестве меры механического движения импульс тела. Применение такой меры допустимо, если передача механического движения от одного тела к другому происходит без превращения в другие формы движения материи (точнее, когда такими превращениями можно пренебречь).

Допустим, два одинаковых шарика из пластилина движутся с равными по абсолютной величине скоростями навстречу друг другу. После столкновения шарики останавливаются. До удара они двигались, после удара покоятся. Рассматривая импульс тела как универсальную меру движения, мы должны были бы сделать ложный вывод об исчезновении движения, которым обладал каждый шар вотдельности. Однако, если произвести измерение температуры шаров до ипосле столкновения, то можно обнаружить, что их температура врезультате удара повысилась. Другими словами, механическое движение шаров не исчезло, а перешло в молекулярную форму.

Результаты опытов, поставленных исследователями в разных странах, привели одного из первооткрывателей закона сохранения и превращения энергии Р. Майера в 1840 г. к мысли о том, что все формы движения могут быть количественно определены одной итой же мерой.

Ф. Энгельс показал, что такой мерой является энергия.

Энергия является универсальной мерой движения материи во всех её видах.

Весь опыт науки говорит, что материя и движение вечны и нерасторжимы. Обмен механическим движением между телами или переход механического движения в другие его формы происходит всегда в результате взаимодействия тел.

Процесс передачи механического движения от одного материального объекта к другому или перехода механического движения в другие формы движения называется работой.

Таким образом, энергия — мера количества любых видов движения, которым обладают тела некоторой системы, а работа — мера передачи механического движения от одного тела к другому или превращение его в другие виды движения в процессе взаимо­ действия.

Очевидно, что работа и энергия должны измеряться в одних и тех же единицах.

41

Величина работы измеряется скалярным произведением вектора силы, действующей на данную материальную точку, на вектор её перемещения:

∆A = (F, ∆r)= F∆r cos (F ^ ∆r).

Но F cos (F ^ r ) есть проекция силы наось, совпадающую сперемещением r, т. е. ∆A = F ∆r (рис. 25).

Если угол между вектором силы и вектором перемещения меньше 90˚, то работа положительна. Если этот

угол лежит в пределах от 90˚ до 180˚, то работа отрицательна. При равенстве этого угла 90˚ работа обращается в нуль.

Если сила переменна, то длярасчёта работы перемещение следует разбить на такие элементарные перемещения, чтобы в пределах каждого из них можно было считать величину силы постоянной. Вычисляя работу на каждом элементарном перемещении и подсчитав алгебраическую сумму элементарных работ, получим полную

Для вычисления интеграла надо знать зависимость силы F от S.

Работу можно вычислить также графически, если вспомнить геометрическое представление определённого интеграла.

Если FS = f (S ) (рис. 26), работа численно равна величине площади, заключенной между осью абсцисс, кривой АВ и ординатами кривой вначальной иконечной точках пути. Если наточку действует несколько сил, то работа результирующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил.

Практически важно знать не только работу, произведённую силой, но и время, в течение которого она произведена. Для сравнения механизмовпоихспособностисовершатьбольшуюилименьшуюработузаединицу временивводят величину,называемуюмощностью.

Мощность — величина, численно равная работе, совершаемой силой в единицу времени:

42

Если система состоит из поступательно движущихся тел, то её кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий тел, входящих в эту систему:

WкK = ∑in m2ivi2 .

=1

Величина скорости зависит от выбора системы отсчёта. В различных инерциальных системах, движущихся относительно друг друга, скорость одного и того же тела будет различной, а поэтому его кинетические энергии будут неодинаковыми. Значит, величина кинетической энергии зависит от системы отсчёта, но это обстоятельство несущественно, т. к., как правило, имеют дело сизменением кинетической энергии, а не с её абсолютной величиной.

7.2.Связь между кинетическими энергиями

вразличных системах отсчёта. Теорема Кёнига

Кинетическая энергия тела зависит от выбора системы отсчёта, относительно которой рассматривается его движение. Как преобразуется кинетическая энергия припереходе от одной системы отсчёта к другой?

2. Пусть данасистема материальныхточек. Полученнаяформула верна и для произвольной системы материальных точек. Достаточно написать её для каждой точки в отдельности, а затем просуммировать. Тогда снова получится такая же формула, но в ней pi′ — это уже импульс всей системы материальных точек

p′ = m1 v1′ + m2 v2′ +... + mn vn′,

который можно представить в виде

44

p′ = mvc′,

где m — суммарная масса, vc′ — скорость центра масс системы материальных точек относительно Kʹ.

Таким образом,

Wк =Wк′+ 1 mv2 +(v , vc′).

ê ê 2 0 0

Если центр масс покоится в системе Kʹ, т. е. vc′ = 0, то

Wк =Wк′ + 1 mv2 — теорема Кёнига.

ê ê 2 0

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии поступательного движения системы со скоростью v0 её центра масс и кинетической энергии WкK′ системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе отсчёта с началом в центре масс.

В частности, кинетическая энергия шара, который движется поступательно (рис. 27) со

7.3. Потенциальная энергия

Энергию, зависящую от взаимного положения взаимодействующих тел или частей тела, называют потенциальной.

Поскольку потенциальная энергия является энергией взаимодействия, то отдельно взятая материальная точка ею обладать неможет. Потенциальной энергией могут обладать системы, в которых тела находятся в относительном покое. Не противоречит ли это определению энергии, как меры движения?

Никакого противоречия здесь нет, т. к. покой является частным случаем движения.

Найдёмпотенциальнуюэнергиюупругодеформированноготела. Мерой её увеличения будет та работа, которая совершается над этим телом. Поэтому подсчитаем величину работы, которая совершается над упругим телом при деформации. При этом мы ограничимся рассмотрением случая деформации растяжения (сжатия).

45

Согласно закону Гука сила упругости

Fупрynp = −kx .

Работу совершает какое-либо другое тело, действующее нарассматриваемое упругое тело с силой F, которая согласно третьему

Видим, что и в этом случае работа связана не с абсолютным значением потенциальной энергии, а с её изменением (аналогично кинетической энергии). Поэтому выбор уровня потенциальной энергии, который мы примем за нулевой, можно осуществлять произвольно. В связи сэтим абсолютное значение потенциальной энергии оказывается зависящим от выбора нулевого уровня.

Подсчитаем потенциальную энергию системы «Земля — тело». Пусть в точке В находится тело (рис. 28). На него действует сила тяготения F . Элементарная работа, совершаемая полем тяготения над теломприегоперемещениинаdr,будетравна dA = F dr cosπ = −F dr.

Величину потенциальной энергии можно подсчитывать относи-

тельно любого начального уровня. Для того чтобы иметь возможность сравнивать потенциальные энергии тел в полях тяготения, созданных различными телами, за общий нулевой уровень принимается уровень, находящийся вбесконечности (Wпï →0 при r →∞ ).

46

не противоречат друг другу. Из второй вытекает первая как част-

Работа в поле силы тяжести не зависит от формы пути, а за-

висит только от положений начальной и конечной точек пути.

работа по замкнутому контуру равна нулю, называются консервативными. Механические системы, в которых действуют консервативные силы, называются консервативными. В консервативных системах нет перехода механического движения в другие формы движения и наоборот.

Силы, работа которых возрастает по величине при увеличении пути независимо от того, замкнут путь или нет, называются

47

диссипативными. В этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю энергию, и работа этих сил конечным и начальным положением тела определяется неоднозначно.

Сила гравитационного притяжения является частным случаем так называемых центральных сил. Сила называется центральной, если она направлена к одной и той же точке (или от одной и той же точки) и зависит только от расстояния до этой точки, называемой центром сил или силовым центром. Другим примером таких сил могут служить кулоновские силы электростатического взаимодействия.

Работа центральных сил зависит только от расстояний r1 и r2 до силового центра и не зависитr2от формы пути:

A12 = ∫F(r)dr.

r

Поле сил, вкотором работа силы1 , действующей наточку, зависит не от пути, а только от конечного и начального положения точки, называется потенциальным полем. Следовательно, гравитационное поле — это потенциальное поле.

Значит, если сила является консервативной, то соответствующее ей поле является потенциальным.

7.4. Связь между потенциальной энергией и силой

Каждой точке потенциального поля соответствует, содной стороны, некоторое значение вектора силы F, действующей на тело, с другой — некоторое значение потенциальной энергии тела Wп. Следовательно, между силой ипотенциальной энергией должна существовать определённая связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу А, совершаемую силами поля прималом перемещении тела на r, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой r. Эта работа равна ∆A = Fr ∆r, где Fr — проекция силы F на направление r. Поскольку в данном случае работа совершается за счёт запаса потенциальной энергии

48

Ясно, что при таком выборе координатных осей частные произ-

Изменим теперь обозначения. Единичный вектор нормали к по-

верхности уровня Wп = const обозначим символом n , а расстояние между двумя бесконечно близкими поверхностями уровня Wп и Wп + dWп, измеренное вдоль нормали, т. е. расстояние между точками 1 и 2, — символом dn.

Тогда, очевидно, ∂∂Wxпï = ∂∂Wnпï — производная скаляра Wп в на-

правлении нормали к поверхности уровня. В этом направлении величина Wп изменяется наиболее быстро. Таким образом, в новых

обозначениях

grad Wпï = ∂∂Wnпï n.

Итак, градиент функции Wп есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня Wп = const в сторону возрастания Wп ; его длина численно равна производной по нормали функции Wп к той же поверхности.

7.5. Силы и потенциальная энергия

Взаимодействие тел можно описывать либо спомощьюсил, либо

с помощью потенциальной энергиикакфункциикоординатвзаимо-

действующих частиц. В механике применяются оба способа. Первый способ обладает несколько большей общностью, т.к. он

применим ик таким силам, длякоторых нельзя ввести потенциальную энергию (например, силы трения).

Второй же способ применим только в случае консервативных сил.Знаядействующиесилыкакфункциикоординатматериальных точек системы, можно вычислить её потенциальную энергию. Эта задача решается интегрированием.

Можно поставить и обратную задачу: вычислить действующие силы по заданной потенциальной энергии как функции координат взаимодействующих материальных точек. Эта задача решаетсядиф-

ференцированием.

50

7.6. Закон изменения механической энергии

Полная механическая энергия W системы материальных точек складывается из её кинетической энергии Wк и потенциальной энергии Wп, т. е.

W = Wк + Wп.

При движении точек системы поддействием внутренних ивнешних сил, действующих на эти точки, изменяются как скорости точек, так и их взаимное расположение. Следовательно, изменяются и кинетическая, и потенциальная энергия системы.

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Изменение кинетической энергии материальной точки за некоторый промежуток времени равно суммарной работе, совершённой всеми (по второму закону Ньютона) силами, действующими наточку, втечение этого промежутка времени.

Следовательно, для произвольной i-й точки системы

∆Wкêii = Ai ,

где Ai — работа, совершённая за некоторый промежуток времени всеми действующими на материальную точку силами как внутренними, так ивнешними; Wк — изменение кинетической энергииi-й материальной точки за тот iже промежуток времени.

Просуммируем для всех точек системы:

Так как сумма изменений каких-либо величин равна изменению

суммы этих величин, то левая часть этого равенства представляет собой изменение кинетической энергии системы:

∑in ∆Wкêii = ∆ ∑in Wкêii = ∆Wкê .

=1 =1

Правую же часть, которая равна суммарной работе всех сил, дей-

ствующих на все точки системы, можно представить в виде суммы трёх работ:

1) Аконс — работы всех внутренних консервативных сил; 2) Адисс — работы всех внутренних диссипативных сил;

3) Авнеш — работы внешних сил. Таким образом,

Wк = Аконс + Адисс + Авнеш.

51

Суммарная работа всех внутренних консервативных сил Аконс равна с обратным знаком изменению потенциальной энергии сис-

темы Wп. Следовательно,

Wк = – Wп + Адисс + Авнеш.

Отсюда

Wк + Wп = Δ(Wк + Wп) = Адисс + Авнеш.

Поскольку W = Wк + Wп, то

W = Адисс + Авнеш.

Это выражение представляет собой закон изменения механиче-

ской энергии.

1.Если система замкнута, т.е. сумма внешних сил, действующих

на систему, равна нулю, то W = Адисс.

Следовательно, в системе будет переход механической энергии в другие виды энергии или наоборот, а потому механическая энергия сохраняться не будет.

2. Если система не замкнута, но консервативна, то W = Авнеш, т. е. внешние силы будут производить над системой работу.

3. Если система замкнута и консервативна, то W = 0 и W = = Wк + Wп = const, т. е. полная механическая энергия в замкнутой консервативной системе не изменяется с течением времени.

Это иесть закон сохранения механической энергии, представля-

7.7. Условие равновесия механической системы

В замкнутой консервативной системе полная энергия остаётся постоянной, поэтому кинетическая энергия может возрастать только за счёт уменьшения потенциальной энергии.

Если система находится в таком состоянии, что скорости всех тел равны нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне тела системы немогут прийти вдвижение, т. е. система будет находиться в равновесии.

Таким образом, для замкнутой консервативной системы равновесной может быть только такая конфигурация тел, которая соответствует минимуму потенциальной энергии системы.

52

Рассмотрим случай, когда взаимное расположение тел системы может быть определено с помощью только одной величины, напри- мер,координатых.ВозьмёмсистемуЗемля—шарик,скользящийбез трения по укреплённой неподвижно изогнутой проволоке (рис. 32).

Система может совершать движение либо в пределах от х1 до х2, либо в пределах от х3 до бесконечности. В область х <x1 иx2 < x < x3 система проникнуть неможет, т.к. потенциальная энергия неможет

53

стать больше полной. Следовательно, x2 < x < x3 — потенциальный барьер, через который система не может проникнуть, имея данный запас полной энергии (рис. 33).

Минимуму Wп соответствует значение x =x0 (для x = x0′ равнове­ сие является неустойчивым).

Условие минимумаWп имеетвид

dWdxпï = 0

или

F = 0.

Таким образом, конфигурация системы, соответствующая минимумупотенциальнойэнергии, обладает темсвойством, чтосилы, действующие на тела системы, равны нулю.

Этот результат справедлив и в общем случае, когда Wп является функцией нескольких переменных.

54